5 simplex | 5-simplex rectificado | Birectificado 5-simplex |
Proyecciones ortogonales en el plano A 5 Coxeter |
---|
En geometría de cinco dimensiones , un 5-simplex rectificado es un 5-politopo uniforme convexo , siendo una rectificación del 5-simplex regular .
Hay tres grados únicos de rectificaciones, incluido el cero, el 5-simplex en sí. Los vértices del 5-simplex rectificado se encuentran en los centros de los bordes del 5-simplex . Los vértices del 5-simplex birectificado se encuentran en los centros de las caras triangulares del 5-simplex .
5-simplex rectificado
Hexateron rectificado 5-simplex rectificado (rix) | ||
---|---|---|
Tipo | 5 politopos uniformes | |
Símbolo de Schläfli | r {3 4 } o | |
Diagrama de Coxeter | o | |
4 caras | 12 | 6 {3,3,3} 6 r {3,3,3} |
Células | 45 | 15 {3,3} 30 r {3,3} |
Caras | 80 | 80 {3} |
Bordes | 60 | |
Vértices | 15 | |
Figura de vértice | {} x {3,3} | |
Grupo Coxeter | A 5 , [3 4 ], orden 720 | |
Doble | ||
Punto base | (0,0,0,0,1,1) | |
Circumradius | 0,645497 | |
Propiedades | convexo , isotoxal isogonal |
En geometría de cinco dimensiones , un 5-simplex rectificado es un 5-politopo uniforme con 15 vértices , 60 aristas , 80 caras triangulares , 45 celdas (15 tetraédricas y 30 octaédricas ) y 12 de 4 caras (6 de 5 celdas y 6 rectificados de 5 celdas ). También se le llama 0 3,1 por su diagrama de Coxeter-Dynkin ramificado, que se muestra como .
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como S1
5.
Nombres Alternativos
- Hexateron rectificado (Acrónimo: rix) (Jonathan Bowers)
Coordenadas
Los vértices del 5-simplex rectificado se pueden colocar más simplemente en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,0,0,0,1,1) o (0,0,1,1,1,1) . Estas construcciones pueden verse como facetas del 6-ortoplex rectificado o del 6-cubo birectificado, respectivamente.
Como configuración
Esta matriz de configuración representa el 5-simplex rectificado. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el 5-simplex rectificado completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. [1] [2]
Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [3]
A 5 | cara-k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | k -figura | notas | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 3 A 1 | () | f 0 | 15 | 8 | 4 | 12 | 6 | 8 | 4 | 2 | {3,3} x {} | A 5 / A 3 A 1 = 6! / 4! / 2 = 15 | |
A 2 A 1 | {} | f 1 | 2 | 60 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} V () | A 5 / A 2 A 1 = 6! / 3! / 2 = 60 | |
A 2 A 2 | r {3} | f 2 | 3 | 3 | 20 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | A 5 / A 2 A 2 = 6! / 3! / 3! = 20 | |
A 2 A 1 | {3} | 3 | 3 | * | 60 | 1 | 2 | 2 | 1 | { }X( ) | A 5 / A 2 A 1 = 6! / 3! / 2 = 60 | ||
A 3 A 1 | r {3,3} | f 3 | 6 | 12 | 4 | 4 | 15 | * | 2 | 0 | {} | A 5 / A 3 A 1 = 6! / 4! / 2 = 15 | |
A 3 | {3,3} | 4 | 6 | 0 | 4 | * | 30 | 1 | 1 | A 5 / A 3 = 6! / 4! = 30 | |||
A 4 | r {3,3,3} | f 4 | 10 | 30 | 10 | 20 | 5 | 5 | 6 | * | () | A 5 / A 4 = 6! / 5! = 6 | |
A 4 | {3,3,3} | 5 | 10 | 0 | 10 | 0 | 5 | * | 6 | A 5 / A 4 = 6! / 5! = 6 |
Imagenes
Proyección estereográfica de forma esférica |
Un avión de Coxeter k | A 5 | A 4 |
---|---|---|
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [5] |
Un avión de Coxeter k | A 3 | A 2 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [4] | [3] |
Politopos relacionados
El 5-simplex rectificado, 0 31 , es el segundo en una serie dimensional de politopos uniformes, expresados por Coxeter como una serie 1 3k . La quinta figura es un panal euclidiano, 3 31 , y la final es un panal hiperbólico no compacto, 4 31 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 23,040 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | −1 31 | 0 31 | 1 31 | 2 31 | 3 31 | 4 31 |
Birectificado 5-simplex
Hexateron birectificado 5-simplex birectificado (punto) | ||
---|---|---|
Tipo | 5 politopos uniformes | |
Símbolo de Schläfli | 2r {3 4 } = {3 2,2 } o | |
Diagrama de Coxeter | o | |
4 caras | 12 | 12 r {3,3,3} |
Células | 60 | 30 {3,3} 30 r {3,3} |
Caras | 120 | 120 {3} |
Bordes | 90 | |
Vértices | 20 | |
Figura de vértice | {3} x {3} | |
Grupo Coxeter | A 5 × 2, [[3 4 ]], pedido 1440 | |
Doble | ||
Punto base | (0,0,0,1,1,1) | |
Circumradius | 0.866025 | |
Propiedades | convexo , isotoxal isogonal |
El 5-simplex birectificado es isotópico , con sus 12 facetas como 5-celdas rectificadas . Tiene 20 vértices , 90 aristas , 120 caras triangulares , 60 celdas (30 tetraédricas y 30 octaédricas ).
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como S2
5.
También se le llama 0 2,2 por su diagrama de Coxeter-Dynkin ramificado, que se muestra como. Se ve en la figura del vértice del 1 22 de 6 dimensiones ,.
Nombres Alternativos
- Hexateron birectificado
- dodecateron (Acrónimo: dot) (Para polyteron de 12 facetas) (Jonathan Bowers)
Construcción
Los elementos de los politopos regulares se pueden expresar en una matriz de configuración . Las filas y columnas hacen referencia a vértices, aristas, caras y celdas, con elementos diagonales en sus recuentos ( vectores f ). Los elementos no diagonales representan el número de elementos de fila que inciden en el elemento de columna. [4] [5]
Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [6]
A 5 | cara-k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | k -figura | notas | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 2 A 2 | () | f 0 | 20 | 9 | 9 | 9 | 3 | 9 | 3 | 3 | 3 | {3} x {3} | A 5 / A 2 A 2 = 6! / 3! / 3! = 20 | |
A 1 A 1 A 1 | {} | f 1 | 2 | 90 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | {} ∨ {} | A 5 / A 1 A 1 A 1 = 6! / 2/2/2 = 90 | |
A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 60 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {} v () | A 5 / A 2 A 1 = 6! / 3! / 2 = 60 | |
A 2 A 1 | 3 | 3 | * | 60 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | |||||
A 3 A 1 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 0 | 15 | * | * | 2 | 0 | {} | A 5 / A 3 A 1 = 6! / 4! / 2 = 15 | |
A 3 | r {3,3} | 6 | 12 | 4 | 4 | * | 30 | * | 1 | 1 | A 5 / A 3 = 6! / 4! = 30 | |||
A 3 A 1 | {3,3} | 4 | 6 | 0 | 4 | * | * | 15 | 0 | 2 | A 5 / A 3 A 1 = 6! / 4! / 2 = 15 | |||
A 4 | r {3,3,3} | f 4 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | 0 | 6 | * | () | A 5 / A 4 = 6! / 5! = 6 | |
A 4 | 10 | 30 | 10 | 20 | 0 | 5 | 5 | * | 6 |
Imagenes
La proyección A5 tiene una apariencia idéntica al Cubo de Metatron . [7]
Un avión de Coxeter k | A 5 | A 4 |
---|---|---|
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [[5]] = [10] |
Un avión de Coxeter k | A 3 | A 2 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [4] | [[3]] = [6] |
Intersección de dos 5 simples
El birectified 5-simplex es la intersección de dos regulares 5-simplexes en doble configuración. Los vértices de una birectificación existen en el centro de las caras de los politopos originales. Esta intersección es análoga al octaedro estrellado 3D , visto como un compuesto de dos tetraedros regulares e intersecados en un octaedro central , mientras que esa es una primera rectificación donde los vértices están en el centro de los bordes originales.
Duales 5-simplex (rojo y azul), y su intersección birectificada de 5-simplex en verde, vista en planos Coxeter A5 y A4. Los símplex se superponen en la proyección A5 y están dibujados en magenta. |
También es la intersección de un cubo de 6 con el hiperplano que biseca ortogonalmente la diagonal larga del cubo de 6. En este sentido, es el análogo de 5 dimensiones del hexágono regular, octaedro y 5 celdas bitruncadas . Esta caracterización produce coordenadas simples para los vértices de un 5-simplex birectificado en 6-espacio: las 20 permutaciones distintas de (1,1,1, −1, −1, −1).
Los vértices del 5-simplex birectificado también se pueden colocar en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,0,0,1,1,1). Esta construcción puede verse como facetas del 6-ortoplex birectificado .
Politopos relacionados
politopos k_22
El 5-simplex birectificado , 0 22 , es el segundo en una serie dimensional de politopos uniformes, expresados por Coxeter como la serie k 22 . El 5-simplex birectificado es la figura del vértice del tercero, el 1 22 . La cuarta figura es un panal euclidiano, 2 22 , y la final es un panal hiperbólico no compacto, 3 22 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | E 6 | = E 6 + | = E 6 ++ | |
Diagrama de Coxeter | |||||
Simetría | [[3 2,2, -1 ]] | [[3 2,2,0 ]] | [[3 2,2,1 ]] | [[3 2,2,2 ]] | [[3 2,2,3 ]] |
Pedido | 72 | 1440 | 103.680 | ∞ | |
Grafico | ∞ | ∞ | |||
Nombre | −1 22 | 0 22 | 1 22 | 2 22 | 3 22 |
Politopos isotópicos
Oscuro. | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre Coxeter | Hexágono = t {3} = {6} | Octaedro = r {3,3} = {3 1,1 } = {3,4} | Decachoron 2t {3 3 } | Dodecateron 2r {3 4 } = {3 2,2 } | Tetradecapeton 3t {3 5 } | Hexadecaexón 3r {3 6 } = {3 3,3 } | Octadecazetton 4t {3 7 } |
Imagenes | |||||||
Figura de vértice | () v () | {} × {} | {} v {} | {3} × {3} | {3} v {3} | {3,3} x {3,3} | {3,3} v {3,3} |
Facetas | {3} | t {3,3} | r {3,3,3} | 2t {3,3,3,3} | 2r {3,3,3,3,3} | 3t {3,3,3,3,3,3} | |
Como intersección de doble simplex | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ |
5 politopos uniformes relacionados
Este politopo es la figura del vértice del 6-demicubo y la figura del borde del politopo uniforme 2 31 .
También es uno de los 19 polytera uniformes basados en el grupo [3,3,3,3] Coxeter , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano A 5 Coxeter . (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyección, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, morado teniendo progresivamente más vértices)
Politopos A5 | |||||||||||
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t 0 | t 1 | t 2 | t 0,1 | t 0,2 | t 1,2 | t 0,3 | |||||
t 1,3 | t 0,4 | t 0,1,2 | t 0,1,3 | t 0,2,3 | t 1,2,3 | t 0,1,4 | |||||
t 0,2,4 | t 0,1,2,3 | t 0,1,2,4 | t 0,1,3,4 | t 0,1,2,3,4 |
Referencias
- ^ Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
- ^ Klitzing, Richard. "o3x3o3o3o - rix" .
- ^ Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
- ^ Klitzing, Richard. "o3o3x3o3o - punto" .
- ^ Melquisedec, Drunvalo (1999). El antiguo secreto de la flor de la vida . 1 . Publicación de tecnología ligera. p.160 Figura 6-12
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera)" . o3x3o3o3o - rix, o3o3x3o3o - punto
enlaces externos
- Glosario de hiperespacio , George Olshevsky.
- Politopos de varias dimensiones , Jonathan Bowers
- Politera uniforme rectificada (Rix), Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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