Emanuel Lodewijk Elte (16 de marzo de 1881 en Amsterdam - 9 de abril de 1943 en Sobibór ) [1] fue un matemático holandés . Se destaca por descubrir y clasificar politopos semirregulares en dimensiones cuatro y superiores.
El padre de Elte, Hartog Elte, era director de una escuela en Amsterdam. Emanuel Elte se casó con Rebecca Stork en 1912 en Amsterdam, cuando era profesor en un instituto de esa ciudad. En 1943, la familia vivía en Haarlem . Cuando el 30 de enero de ese año un oficial alemán fue baleado en esa ciudad, en represalia un centenar de habitantes de Haarlem fueron transportados al Campamento Vught , entre ellos Elte y su familia. Como judíos, él y su esposa fueron deportados a Sobibór, donde ambos murieron, mientras que sus dos hijos murieron en Auschwitz . [1]
Politopos semirregulares de Elte del primer tipo
Su trabajo redescubrió los politopos semirregulares finitos de Thorold Gosset , y permitió además no solo facetas regulares , sino también recursivamente permitiendo una o dos semirregulares. Estos fueron enumerados en su libro de 1912, Los politopos semirregulares de los hiperespacios . [2] Los llamó politopos semirregulares del primer tipo , limitando su búsqueda a uno o dos tipos de caras k regulares o semirregulares . Estos politopos y más fueron redescubiertos nuevamente por Coxeter y renombrados como parte de una clase más grande de politopos uniformes . [3] En el proceso, descubrió a todos los principales representantes de la excepcional familia de politopos E n , salvo sólo 1 42 que no satisfacían su definición de semiregularidad.
norte | Notación elte | Vértices | Bordes | Caras | Células | Facetas | Símbolo de Schläfli | Símbolo de coxeter | Diagrama de Coxeter |
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Poliedros ( sólidos de Arquímedes ) | |||||||||
3 | tT | 12 | 18 | 4p 3 + 4p 6 | t {3,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
tC | 24 | 36 | 6p 8 + 8p 3 | t {4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
a | 24 | 36 | 6p 4 + 8p 6 | t {3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
tD | 60 | 90 | 20p 3 + 12p 10 | t {5,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
tI | 60 | 90 | 20p 6 + 12p 5 | t {3,5} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
TT = O | 6 | 12 | (4 + 4) p 3 | r {3,3} = {3 1,1 } | 0 11 | ![]() ![]() ![]() | |||
CO | 12 | 24 | 6p 4 + 8p 3 | r {3,4} | ![]() ![]() ![]() | ||||
IDENTIFICACIÓN | 30 | 60 | 20p 3 + 12p 5 | r {3,5} | ![]() ![]() ![]() | ||||
P q | 2q | 4q | 2p q + qp 4 | t {2, q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
AP q | 2q | 4q | 2p q + 2qp 3 | s {2,2q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
semirregulares 4-politopos | |||||||||
4 | tC 5 | 10 | 30 | (10 + 20) p 3 | 5O + 5T | r {3,3,3} = {3 2,1 } | 0 21 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
tC 8 | 32 | 96 | 64p 3 + 24p 4 | 8CO + 16T | r {4,3,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
tC 16 = C 24 (*) | 48 | 96 | 96p 3 | (16 + 8) O | r {3,3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
tC 24 | 96 | 288 | 96 p. 3 + 144 p. 4 | 24 CO + 24 C | r {3,4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
tC 600 | 720 | 3600 | (1200 + 2400) p 3 | 600O + 120 I | r {3,3,5} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
tC 120 | 1200 | 3600 | 2400 p. 3 + 720 p. 5 | 120ID + 600T | r {5,3,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
HM 4 = C 16 (*) | 8 | 24 | 32 p 3 | (8 + 8) T | {3,3 1,1 } | 1 11 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
- | 30 | 60 | 20 p 3 + 20 p 6 | (5 + 5) tT | 2 t {3,3,3} | ![]() ![]() ![]() | |||
- | 288 | 576 | 192 p. 3 + 144 p. 8 | (24 + 24) tC | 2 t {3,4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
- | 20 | 60 | 40 p. 3 + 30 p. 4 | 10 T + 20 P 3 | t 0,3 {3,3,3} | ![]() ![]() ![]() | |||
- | 144 | 576 | 384 pág. 3 + 288 pág. 4 | 48O + 192 P 3 | t 0,3 {3,4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
- | q 2 | 2 q 2 | q 2 p 4 + 2 qp q | ( q + q ) P q | 2t { q , 2, q } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
semirregulares 5-politopos | |||||||||
5 | S 5 1 | 15 | 60 | (20 + 60) p 3 | 30T + 15O | 6C 5 + 6tC 5 | r {3,3,3,3} = {3 3,1 } | 0 31 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
S 5 2 | 20 | 90 | 120p 3 | 30T + 30O | (6 + 6) C 5 | 2r {3,3,3,3} = {3 2,2 } | 0 22 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
HM 5 | dieciséis | 80 | 160p 3 | (80 + 40) T | 16C 5 + 10C 16 | {3,3 2,1 } | 1 21 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Cr 5 1 | 40 | 240 | (80 + 320) p 3 | 160T + 80O | 32tC 5 + 10C 16 | r {3,3,3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Cr 5 2 | 80 | 480 | (320 + 320) p 3 | 80T + 200O | 32tC 5 + 10C 24 | 2r {3,3,3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
semirregulares 6-politopos | |||||||||
6 | S 6 1 (*) | r {3 5 } = {3 4,1 } | 0 41 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
S 6 2 (*) | 2r {3 5 } = {3 3,2 } | 0 32 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||||
HM 6 | 32 | 240 | 640p 3 | (160 + 480) T | 32S 5 + 12HM 5 | {3,3 3,1 } | 1 31 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 27 | 27 | 216 | 720p 3 | 1080T | 72S 5 + 27HM 5 | {3,3,3 2,1 } | 2 21 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 72 | 72 | 720 | 2160p 3 | 2160T | (27 + 27) HM 6 | {3,3 2,2 } | 1 22 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
semirregulares 7-politopos | |||||||||
7 | S 7 1 (*) | r {3 6 } = {3 5,1 } | 0 51 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
S 7 2 (*) | 2r {3 6 } = {3 4,2 } | 0 42 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||||
S 7 3 (*) | 3r {3 6 } = {3 3,3 } | 0 33 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||||
HM 7 (*) | 64 | 672 | 2240p 3 | (560 + 2240) T | 64S 6 + 14HM 6 | {3,3 4,1 } | 1 41 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 56 | 56 | 756 | 4032p 3 | 10080T | 576S 6 + 126Cr 6 | {3,3,3,3 2,1 } | 3 21 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 126 | 126 | 2016 | 10080p 3 | 20160T | 576S 6 + 56V 27 | {3,3,3 3,1 } | 2 31 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 576 | 576 | 10080 | 40320p 3 | (30240 + 20160) T | 126HM 6 + 56V 72 | {3,3 3,2 } | 1 32 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
semirregulares 8-politopos | |||||||||
8 | S 8 1 (*) | r {3 7 } = {3 6,1 } | 0 61 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
S 8 2 (*) | 2r {3 7 } = {3 5,2 } | 0 52 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||||
S 8 3 (*) | 3r {3 7 } = {3 4,3 } | 0 43 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||||
HM 8 (*) | 128 | 1792 | 7168p 3 | (1792 + 8960) T | 128S 7 + 16HM 7 | {3,3 5,1 } | 1 51 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 2160 | 2160 | 69120 | 483840p 3 | 1209600T | 17280S 7 + 240V 126 | {3,3,3 4,1 } | 2 41 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
V 240 | 240 | 6720 | 60480p 3 | 241920T | 17280S 7 + 2160Cr 7 | {3,3,3,3,3 2,1 } | 4 21 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- (*) Agregado en esta tabla como una secuencia que Elte reconoció pero no enumeró explícitamente
Familias dimensionales regulares:
- S n = n - simplex : S 3 , S 4 , S 5 , S 6 , S 7 , S 8 , ...
- M n = n - cubo = medida politopo: M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , ...
- HM n = n - demicube = politopo de media medida: HM 3 , HM 4 , M 5 , M 6 , HM 7 , HM 8 , ...
- Cr n = n - ortoplex = politopo cruzado: Cr 3 , Cr 4 , Cr 5 , Cr 6 , Cr 7 , Cr 8 , ...
Politopos semirregulares de primer orden:
- V n = politopo semirregular con n vértices
Polígonos
- P n = n -gon regular
Poliedros:
- Regular: T , C , O , I , D
- Truncado: tT , tC , tO , tI , tD
- Cuasirregular (rectificado): CO , ID
- Cantelado: RCO , RID
- Quasiregular truncado ( omnitruncated ): t CO , tID
- Prismático: P n , AP n
4 politopos:
- C n = 4 politopos regulares con n células: C 5 , C 8 , C 16 , C 24 , C 120 , C 600
- Rectificado: tC 5 , tC 8 , tC 16 , tC 24 , tC 120 , tC 600
Ver también
- Figuras de Gosset-Elte
Notas
- ^ a b Emanuël Lodewijk Elte en joodsmonument.nl
- ^ Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen, ISBN 1-4181-7968-X [1] [2]
- ↑ Coxeter, HSM Regular polytopes , 3rd Edn, Dover (1973) p. 210 (11.x Comentarios históricos)
- ^ Página 128