En la mecánica cuántica no relativista , se puede dar una explicación de la existencia de masa y espín (normalmente explicada en la clasificación de Wigner de la mecánica relativista) en términos de la teoría de la representación del grupo galileano , que es el grupo de simetría espaciotemporal de la mecánica cuántica no relativista.
En 3 + 1 dimensiones, este es el subgrupo del grupo afín en ( t, x, y, z ), cuya parte lineal deja invariantes tanto la métrica ( g μν = diag (1, 0, 0, 0) ) como la métrica dual (independiente) ( g μν = diag (0, 1, 1, 1) ). Se aplica una definición similar para n + 1 dimensiones.
Estamos interesados en representaciones proyectivas de este grupo, que son equivalentes a representaciones unitarias de la extensión central no trivial del grupo de cobertura universal del grupo galileo por el grupo de Lie unidimensional R , cf. el artículo Grupo galileo para la extensión central de su álgebra de Lie . Se utilizará el método de representaciones inducidas para estudiarlos.
Aquí nos enfocamos en el álgebra de Lie (de Bargmann extendido centralmente), porque es más simple de analizar y siempre podemos extender los resultados al grupo de Lie completo a través del teorema de Frobenius .
E es el generador de traducciones de tiempo ( hamiltonianas ), P i es el generador de traducciones ( operador de momento ), C i es el generador de refuerzos de Galileo, y L ij representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ). La carga central M es un invariante de Casimir .
El invariante de masa-capa
es un invariante de Casimir adicional .
En 3 + 1 dimensiones, un tercer invariante de Casimir es W 2 , donde
algo análogo al pseudovector de Pauli-Lubanski de la mecánica relativista.
De manera más general, en n + 1 dimensiones, las invariantes serán una función de
y
así como de la carga central e invariante de capa de masa anterior.
Utilizando el lema de Schur , en una representación unitaria irreductible , todos estos invariantes de Casimir son múltiplos de la identidad. Llamar a estos coeficientes m y mE 0 y (en el caso de 3 + 1 dimensiones) w , respectivamente. Recordando que aquí estamos considerando representaciones unitarias, vemos que estos valores propios tienen que ser números reales .
Por tanto, m > 0 , m = 0 y m <0 . (El último caso es similar al primero). En 3 + 1 dimensiones, cuando In m > 0 , podemos escribir, w = ms para el tercer invariante, donde s representa el giro o momento angular intrínseco. Más generalmente, en n + 1 dimensiones, los generadores L y C estarán relacionados, respectivamente, con el momento angular total y el momento del centro de masa por
Desde un punto de vista puramente teórico de la representación, habría que estudiar todas las representaciones; pero, aquí, solo nos interesan las aplicaciones a la mecánica cuántica. Allí, E representa la energía , que debe limitarse por debajo, si se requiere estabilidad termodinámica. Considere primero el caso donde m es distinto de cero.
Considerando el espacio ( E , P → ) con la restricción
vemos que los impulsos galileanos actúan de forma transitiva en esta hipersuperficie. De hecho, tratando la energía E como el hamiltoniano, diferenciando con respecto a P , y aplicando las ecuaciones de Hamilton, obtenemos la relación masa-velocidad m v → = P → .
La hipersuperficie está parametrizada por esta velocidad In v → . Considere el estabilizador de un punto en la órbita , ( E 0 , 0 ), donde la velocidad es 0 . Debido a la transitividad, sabemos que el irrep unitario contiene un subespacio lineal no trivial con estos valores propios de energía-momento. (Este subespacio solo existe en un espacio de Hilbert manipulado , porque el espectro de impulso es continuo).
El subespacio está dividido en E , P → , M y L ij . Ya sabemos cómo el subespacio del irrep se transforma bajo todos los operadores excepto el momento angular . Tenga en cuenta que el subgrupo de rotación es Spin (3) . Hay que fijarse en su doble portada , porque estamos considerando representaciones proyectivas. Esto se llama el pequeño grupo , un nombre dado por Eugene Wigner . Su método de representaciones inducidas Especifica que la irrep está dada por la suma directa de todas las fibras en un paquete del vector sobre el mE = mE 0 + P 2 /2 hipersuperficie, cuyas fibras son un irrep unitaria de centrifugado (3) .
Spin (3) no es otro que SU (2) . (Véase la teoría de la representación de SU (2) , donde se muestra que los irreps unitarios de SU (2) están etiquetados por s , un múltiplo entero no negativo de la mitad. Esto se llama espín , por razones históricas).
- En consecuencia, para m ≠ 0 , los irreps unitarios se clasifican por m , E 0 y un espín s .
- Al observar el espectro de E , es evidente que si m es negativo, el espectro de E no está acotado por debajo. Por lo tanto, solo el caso con una masa positiva es físico.
- Ahora, considere el caso m = 0 . Por unitaridad,
no es positivo. Suponga que es cero. Aquí, son también los impulsos y las rotaciones los que constituyen el pequeño grupo. Cualquier irrep unitario de este pequeño grupo da lugar también a un irrep proyectivo del grupo galileo. Por lo que podemos decir, solo el caso que se transforma trivialmente bajo el pequeño grupo tiene alguna interpretación física, y corresponde al estado sin partículas, el vacío .
El caso en el que el invariante es negativo requiere un comentario adicional. Esto corresponde a la clase de representación para m = 0 y P → distinto de cero . Extendiendo la clasificación de bradyon , luxon , taquión de la teoría de la representación del grupo de Poincaré a una clasificación análoga, aquí, uno puede llamar estos estados como sincrónicos . Representan una transferencia instantánea de momento distinto de cero a través de una distancia (posiblemente grande). Asociado con ellos, por arriba, hay un operador de "tiempo"
que puede identificarse con el momento de la transferencia. Estos estados se interpretan naturalmente como los portadores de fuerzas instantáneas de acción a distancia.
NB En el grupo Galilei de 3 + 1 dimensiones, el generador de impulso puede descomponerse en
con W → desempeñando un papel análogo a la helicidad .
Ver también
- Formulación del tensor covariante de Galilei
- Teoría de la representación del grupo de Poincaré
- Clasificación de Wigner
- Pseudovector de Pauli – Lubanski
- Teoría de la representación del grupo difeomorfismo
- Operador de rotación
Referencias
- Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos", Annals of Mathematics , Segunda serie, 59 , No. 1 (enero de 1954), págs. 1-46
- Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967), "Partículas no relativistas y ecuaciones de onda", Comunicaciones en física matemática , Springer, 6 (4): 286–311 , Bibcode : 1967CMaPh ... 6..286L , doi : 10.1007 / bf01646020.
- Ballentine, Leslie E. (1998). Mecánica cuántica, un desarrollo moderno . World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4.
- Gilmore, Robert (2006). Grupos de mentira, álgebras de mentira y algunas de sus aplicaciones (Dover Books on Mathematics) ISBN 0486445291