Mecánica clásica de Koopman – von Neumann

La mecánica de Koopman-von Neumann es una descripción de la mecánica clásica en términos del espacio de Hilbert , introducida por Bernard Koopman y John von Neumann en 1931 y 1932, respectivamente. ^{[1] [2] [3]}

Como se ha demostrado Koopman y von Neumann, un espacio de Hilbert de complejos , integrables cuadrados funciones de onda se puede definir en la que la mecánica clásica se pueden formular como una teoría operatorial similar a la mecánica cuántica .

Historia

La mecánica estadística describe los sistemas macroscópicos en términos de conjuntos estadísticos , como las propiedades macroscópicas de un gas ideal . La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que surge del estudio de la mecánica estadística.

Teoría ergódica

Los orígenes de la teoría de Koopman – von Neumann (KvN) están estrechamente relacionados con el aumento ^{[ ¿cuándo? ]} de la teoría ergódica como una rama independiente de las matemáticas, en particular con la hipótesis ergódica de Boltzmann .

En 1931, Koopman y André Weil observaron independientemente que el espacio de fase del sistema clásico se puede convertir en un espacio de Hilbert postulando una regla de integración natural sobre los puntos del espacio de fase como la definición del producto escalar, y que esta transformación permite dibujar de conclusiones interesantes sobre la evolución de los observables físicos a partir del teorema de Stone , que había sido probado poco antes. Este hallazgo inspiró a von Neumann a aplicar el formalismo novedoso al problema ergódico. Ya en 1932 completó la reformulación del operador de la mecánica clásica conocida actualmente como teoría de Koopman-von Neumann. Posteriormente, publicó varios resultados seminales en la teoría ergódica moderna, incluida la prueba de su teorema ergódico medio .

Definición y dinámica

Derivación a partir de la ecuación de Liouville

En el enfoque de Koopman y von Neumann ( KvN ), la dinámica en el espacio de fase se describe mediante una densidad de probabilidad (clásica), recuperada de una función de onda subyacente, la función de onda de Koopman-von Neumann, como el cuadrado de su valor absoluto (más precisamente, como la amplitud multiplicada por su propio complejo conjugado ). Esto es análogo a la regla de Born en mecánica cuántica. En el marco de KvN, los observables se representan mediante operadores autoadjuntos conmutados que actúan sobre el espacio de Hilbert de las funciones de onda de KvN. La conmutatividad implica físicamente que todos los observables son mensurables simultáneamente. Compare esto con la mecánica cuántica, donde los observables no necesitan conmutar, lo que subraya el principio de incertidumbre , el teorema de Kochen-Specker y las desigualdades de Bell . ^[4]

Se postula que la función de onda KvN evoluciona de acuerdo exactamente con la misma ecuación de Liouville que la densidad de probabilidad clásica. A partir de este postulado se puede demostrar que efectivamente se recupera la dinámica de densidad de probabilidad.

Dinámica de la densidad de probabilidad (prueba)  -

En la mecánica estadística clásica, la densidad de probabilidad (con respecto a la medida de Liouville ) obedece a la ecuación de Liouville ^{[5] [6]}

$${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)={\hat {L}}\rho (x,p,t)}$$

con el autoadjunto Liouvillian

$${\displaystyle {\hat {L}}=-i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}},}$$

dónde ${\displaystyle H(x,p)}$denota el hamiltoniano clásico (es decir, el de Liouvillian es ${\displaystyle i}$veces el campo vectorial hamiltoniano considerado como un operador diferencial de primer orden). Se postula la misma ecuación dinámica para la función de onda KvN

$${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)={\hat {L}}\psi (x,p,t),}$$

por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi (x,p,t),}$$

y por su complejo conjugado

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi ^{*}(x,p,t).}$$

De

$${\displaystyle \rho (x,p,t)=\psi ^{*}(x,p,t)\psi (x,p,t)}$$

sigue usando la regla del producto que

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\rho (x,p,t)}$$

lo que demuestra que la dinámica de densidad de probabilidad se puede recuperar a partir de la función de onda KvN.

Observación

El último paso de esta derivación se basa en el operador clásico de Liouville que contiene solo derivadas de primer orden en la coordenada y el momento; este no es el caso de la mecánica cuántica, donde la ecuación de Schrödinger contiene derivadas de segundo orden.

^{[5] [6]}

Derivación a partir de axiomas del operador

Por el contrario, es posible partir de postulados de operadores, similares a los axiomas espaciales de Hilbert de la mecánica cuántica , y derivar la ecuación de movimiento especificando cómo evolucionan los valores esperados. ^[7]

Los axiomas relevantes son que, como en la mecánica cuántica (i) los estados de un sistema están representados por vectores normalizados de un espacio de Hilbert complejo, y los observables están dados por operadores autoadjuntos que actúan sobre ese espacio, (ii) el valor esperado de un observable se obtiene de la misma manera que el valor esperado en mecánica cuántica , (iii) las probabilidades de medir ciertos valores de algunos observables se calculan mediante la regla de Born , y (iv) el espacio de estados de un sistema compuesto es el producto tensorial de los espacios del subsistema.

Forma matemática de los axiomas del operador

Los axiomas anteriores (i) a (iv), con el producto interno escrito en notación entre corchetes , son

1. ${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =1}$,
2. El valor esperado de un observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ en el momento ${\displaystyle t}$ es ${\displaystyle \langle A(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle .}$
3. La probabilidad de que una medición de un observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ en el momento ${\displaystyle t}$ rendimientos ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle \left|\langle A|\Psi (t)\rangle \right|^{2}}$, dónde ${\displaystyle {\hat {A}}|A\rangle =A|A\rangle }$. (Este axioma es un análogo de la regla de Born en mecánica cuántica. ^[8] )
4. (ver Producto tensorial de espacios de Hilbert ).

Estos axiomas nos permiten recuperar el formalismo tanto de la mecánica clásica como de la cuántica. ^[7] Específicamente, bajo el supuesto de que los operadores clásicos de posición y momento conmutan , la ecuación de Liouville para la función de onda KvN se recupera de las leyes de movimiento de Newton promediadas . Sin embargo, si la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica , se obtiene la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica.

Mecánica clásica de los axiomas del operador (derivación)

Partimos de las siguientes ecuaciones para los valores esperados de la coordenada xy el momento p

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle ,}$

también conocido como las leyes del movimiento de Newton promediadas sobre el conjunto. Con la ayuda de los axiomas del operador , se pueden reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Observe una gran semejanza con los teoremas de Ehrenfest en mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone ${\displaystyle i|d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {L}}|\Psi (t)\rangle }$ y obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}im\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {x}}]|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\i\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {p}}]|\Psi (t)\rangle &=-\langle \Psi (t)|U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, el promedio se puede eliminar y el sistema de ecuaciones del conmutador para lo desconocido. ${\displaystyle {\hat {L}}}$ es derivado

${\displaystyle im[{\hat {L}},{\hat {x}}]={\hat {p}},\qquad i[{\hat {L}},{\hat {p}}]=-U'({\hat {x}}).}$

( ecuaciones del conmutador para L )

Suponga que la coordenada y el impulso conmutan ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=0}$. Esta suposición significa físicamente que la coordenada y el momento de la partícula clásica se pueden medir simultáneamente, lo que implica la ausencia del principio de incertidumbre .

La solución ${\displaystyle {\hat {L}}}$ no puede ser simplemente de la forma ${\displaystyle {\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {p}})}$ porque implicaría las contracciones ${\displaystyle im[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {x}}]=0={\hat {p}}}$ y ${\displaystyle i[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {p}}]=0=-U'({\hat {x}})}$. Por lo tanto, debemos utilizar operadores adicionales.${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{x}}$ y ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{p}}$ obedecer

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p}]=i,\quad [{\hat {x}},{\hat {p}}]=[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{p}]=[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {\lambda }}_{p}]=0.}$

( Álgebra KvN )

La necesidad de emplear estos operadores auxiliares surge porque todos los observables clásicos se conmutan. Ahora buscamos${\displaystyle {\hat {L}}}$ en la forma ${\displaystyle {\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p})}$. Utilizando el álgebra de KvN , las ecuaciones del conmutador para L se pueden convertir en las siguientes ecuaciones diferenciales

^{[7] [9]}

${\displaystyle mL'_{\lambda _{x}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=p,\qquad L'_{\lambda _{p}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=-U'(x).}$

De donde, concluimos que la función de onda clásica de KvN ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$evoluciona de acuerdo con la ecuación de movimiento similar a la de Schrödinger

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle ={\hat {L}}|\Psi (t)\rangle ,\qquad {\hat {L}}={\frac {\hat {p}}{m}}{\hat {\lambda }}_{x}-U'({\hat {x}}){\hat {\lambda }}_{p}.}$

( Ecualizador dinámico de KvN )

Demostremos explícitamente que la ecuación dinámica de KvN es equivalente a la mecánica clásica de Liouville .

Desde ${\displaystyle {\hat {x}}}$ y ${\displaystyle {\hat {p}}}$conmutan, comparten los autovectores comunes

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle =x|x,p\rangle ,\quad {\hat {p}}|x,p\rangle =p|x,p\rangle ,\quad A({\hat {x}},{\hat {p}})|x,p\rangle =A(x,p)|x,p\rangle ,}$

( xp eigenvec )

con la resolución de la identidad ${\displaystyle 1=\int dxdp\,|x,p\rangle \langle x,p|.}$Entonces, se obtiene de la ecuación ( álgebra KvN )

${\displaystyle \langle x,p|{\hat {\lambda }}_{x}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial x}}\langle x,p|\Psi \rangle ,\qquad \langle x,p|{\hat {\lambda }}_{p}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial p}}\langle x,p|\Psi \rangle .}$

Proyectar la ecuación (ecuación dinámica KvN ) en${\displaystyle \langle x,p|}$, obtenemos la ecuación de movimiento para la función de onda KvN en la representación xp

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial }{\partial x}}-U'(x){\frac {\partial }{\partial p}}\right]\langle x,p|\Psi (t)\rangle =0.}$

( Ecuación dinámica de KvN en xp )

La cantidad ${\displaystyle \langle x,\,p|\Psi (t)\rangle }$ es la amplitud de probabilidad de que una partícula clásica esté en el punto ${\displaystyle x}$ con impulso ${\displaystyle p}$ en el momento ${\displaystyle t}$. De acuerdo con los axiomas anteriores , la densidad de probabilidad viene dada por${\displaystyle \rho (x,p;t)=\left|\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right|^{2}}$. Utilizando la identidad

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p;t)=\langle \Psi (t)|x,p\rangle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle +\langle x,p|\Psi (t)\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right)^{*}}$

así como ( ecuación dinámica de KvN en xp ), recuperamos la ecuación clásica de Liouville

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial }{\partial x}}-U'(x){\frac {\partial }{\partial p}}\right]\rho (x,p;t)=0.}$

( Eq . De Liouville )

Además, según los axiomas del operador y ( xp eigenvec ),

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\langle \Psi (t)|A({\hat {x}},{\hat {p}})|\Psi (t)\rangle =\int dxdp\,\langle \Psi (t)|x,p\rangle A(x,p)\langle x,p|\Psi (t)\rangle \\&=\int dxdp\,A(x,p)\langle \Psi (t)|x,p\rangle \langle x,p|\Psi (t)\rangle =\int dxdp\,A(x,p)\rho (x,p;t).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la regla para calcular promedios de observables ${\displaystyle A(x,p)}$en mecánica estadística clásica se ha recuperado de los axiomas del operador con el supuesto adicional${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=0}$. Como resultado, la fase de una función de onda clásica no contribuye a los promedios observables. Al contrario de la mecánica cuántica, la fase de una función de onda KvN es físicamente irrelevante. Por lo tanto, la inexistencia del experimento de doble rendija ^{[6] [10] [11]} así como el efecto Aharonov-Bohm ^[12] se establece en la mecánica de KvN.

Proyectar ecualización dinámica de KvN en el vector propio común de los operadores${\displaystyle {\hat {x}}}$ y ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{p}}$ (es decir, ${\displaystyle x\lambda _{p}}$-representación), se obtiene la mecánica clásica en el espacio de configuración doble, ^[13] cuya generalización conduce ^{[13] [14] [15] [16] [17]} a la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica .

Mecánica cuántica de los axiomas del operador (derivación)

Al igual que en la derivación de la mecánica clásica , partimos de las siguientes ecuaciones para los promedios de la coordenada xy la cantidad de movimiento p

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle .}$

Con la ayuda de los axiomas del operador , se pueden reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Estos son los teoremas de Ehrenfest en mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone

${\displaystyle i\hbar |d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ,}$

dónde ${\displaystyle \hbar }$se introdujo como una constante de normalización para equilibrar la dimensionalidad. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede eliminar el promedio y el sistema de ecuaciones del conmutador para el generador cuántico de movimiento desconocido.${\displaystyle {\hat {H}}}$ son derivados

${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar U'({\hat {x}}).}$

Contrariamente al caso de la mecánica clásica , asumimos que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$. Configuración${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$, las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en ecuaciones diferenciales ^{[7] [9]}

${\displaystyle mH'_{p}(x,p)=p,\qquad H'_{x}(x,p)=U'(x),}$

cuya solución es el familiar cuántico hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+U({\hat {x}}).}$

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest asumiendo la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Esta derivación, así como la derivación de la mecánica clásica de KvN, muestra que la diferencia entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce esencialmente al valor del conmutador.${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]}$.

Mediciones

En el espacio de Hilbert y la formulación del operador de la mecánica clásica, la función de onda de Koopman von Neumann toma la forma de una superposición de estados propios, y la medición colapsa la función de onda KvN al estado propio que está asociado al resultado de la medición, en analogía con el colapso de la función de onda de mecánica cuántica.

Sin embargo, se puede demostrar que para la mecánica clásica de Koopman-von Neumann las mediciones no selectivas dejan la función de onda KvN sin cambios. ^[5]

Mecánica de KvN vs Liouville

La ecuación dinámica de KvN (ecuación dinámica de KvN en xp ) y la ecuación de Liouville ( ecuación de Liouville ) son ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden . Se recuperan las leyes del movimiento de Newton aplicando el método de las características a cualquiera de estas ecuaciones. Por lo tanto, la diferencia clave entre las mecánicas de KvN y Liouville radica en la ponderación de trayectorias individuales: las ponderaciones arbitrarias, subyacentes a la función de onda clásica, se pueden utilizar en la mecánica de KvN, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos, que representan la densidad de probabilidad ( ver este esquema ).

La distinción esencial entre las mecánicas de KvN y Liouville radica en ponderar (colorear) las trayectorias individuales: cualquier peso se puede utilizar en la mecánica de KvN, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos. Las partículas se mueven a lo largo de trayectorias newtonianas en ambos casos. ( Con respecto a un ejemplo dinámico, consulte a continuación ) .

Analogía cuántica

Al estar basada explícitamente en el lenguaje espacial de Hilbert, la mecánica clásica de KvN adopta muchas técnicas de la mecánica cuántica, por ejemplo, técnicas de perturbación y diagrama ^[18] , así como métodos integrales funcionales . ^{[19] [20] [21]} El enfoque KvN es muy general y se ha extendido a sistemas disipativos , ^[22] mecánica relativista , ^[23] y teorías de campo clásicas . ^{[7] [24] [25] [26]}

El enfoque KvN es fructífero en estudios sobre la correspondencia cuántica-clásica ^{[7] [8] [27] [28] [29]} ya que revela que la formulación del espacio de Hilbert no es exclusivamente mecánica cuántica. ^[30] Incluso los espinores de Dirac no son excepcionalmente cuánticos, ya que se utilizan en la generalización relativista de la mecánica KvN. ^[23] De manera similar a la formulación de espacio de fase más conocida de la mecánica cuántica, el enfoque KvN puede entenderse como un intento de llevar la mecánica clásica y cuántica a un marco matemático común. De hecho, la evolución temporal de la función de Wigner se aproxima, en el límite clásico, a la evolución temporal de la función de onda KvN de una partícula clásica. ^{[23] [31]} Sin embargo, una semejanza matemática con la mecánica cuántica no implica la presencia de efectos cuánticos característicos. En particular, la imposibilidad del experimento de doble rendija ^{[6] [10] [11]} y el efecto Aharonov-Bohm ^[12] se demuestran explícitamente en el marco KvN.

Propagación de KvN vs propagación de Wigner

• "> Reproducir medios

  La evolución en el tiempo de la función de onda clásica KvN para el potencial Morse :${\displaystyle U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}}$. Los puntos negros son partículas clásicas que siguen la ley de movimiento de Newton . Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$. Este video ilustra la diferencia fundamental entre las mecánicas de KvN y Liouville .

"> Reproducir medios

Contraparte cuántica de la propagación clásica de KvN a la izquierda: la función de Wigner, evolución temporal del potencial Morse en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano subyacente . Tenga en cuenta que la misma condición inicial utilizada para esta propagación cuántica, así como para la propagación KvN a la izquierda.