S es una teoría de conjuntos axiomática establecida por George Boolos en su artículo de 1989, "Iteration Again". S , una teoría de primer orden , se clasifica en dos categorías porque su ontología incluye tanto "etapas" como conjuntos . Boolos diseñó S para incorporar su comprensión de la "concepción iterativa de conjunto" y la jerarquía iterativa asociada . S tiene la propiedad importante de que todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo Z , excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de elección , son teoremas de S o una ligera modificación del mismo.
Ontología
Cualquier agrupación de objetos matemáticos , abstractos o concretos, cualquiera que sea su forma, es una colección , un sinónimo de lo que otras teorías de conjuntos denominan clase . Las cosas que componen una colección se llaman elementos o miembros. Un ejemplo común de una colección es el dominio del discurso de una teoría de primer orden .
Todos los conjuntos son colecciones, pero hay colecciones que no son conjuntos. Un sinónimo de colecciones que no son conjuntos es clase propia . Una tarea esencial de la teoría axiomática de conjuntos es distinguir los conjuntos de las clases adecuadas, aunque sólo sea porque las matemáticas se basan en conjuntos, con las clases adecuadas relegadas a un papel puramente descriptivo.
El universo de Von Neumann implementa la "concepción iterativa de conjunto" estratificando el universo de conjuntos en una serie de "etapas", siendo los conjuntos en una etapa dada posibles miembros de los conjuntos formados en todas las etapas superiores. La noción de escenario es la siguiente. A cada etapa se le asigna un número ordinal . La etapa más baja, la etapa 0, consta de todas las entidades que no tienen miembros. Suponemos que la única entidad en la etapa 0 es el conjunto vacío , aunque esta etapa incluiría cualquier elemento que quisiéramos admitir. La etapa n , n > 0, consta de todos los conjuntos posibles formados a partir de elementos que se encuentran en cualquier etapa cuyo número sea menor que n . Cada conjunto formado en la etapa n también se puede formar en cada etapa mayor que n . [1]
Por tanto, las etapas forman una secuencia anidada y bien ordenada , y formarían una jerarquía si la pertenencia al conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa se ha vuelto gradualmente más aceptada, a pesar de una comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.
La concepción iterativa de conjunto se aleja, de una manera bien motivada, de las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Todas estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua . Las colecciones como "la clase de todos los conjuntos" o "la clase de todos los ordinales " incluyen conjuntos de todas las etapas de la jerarquía iterativa. Por tanto, tales colecciones no pueden formarse en una etapa determinada y, por tanto, no pueden ser conjuntos.
Nociones primitivas
Esta sección sigue a Boolos (1998: 91). Las variables x e y rango sobre conjuntos, mientras que r , s , y t rango sobre etapas. Hay tres predicados primitivos de dos lugares :
- Conjunto-conjunto: x ∈ y denota, como de costumbre, que el conjunto x es un miembro del conjunto y ;
- Escenario fijo : Fxr denota que el conjunto x "se forma en" el estadio r ;
- Etapa-etapa: r < s denota que la etapa r "es anterior" a la etapa s .
Los axiomas siguientes incluyen un predicado de escenario definido de dos lugares, Bxr , que abrevia:
Bxr se lee como "el conjunto x se forma antes de la etapa r ".
La identidad , denotada por el infijo '=', no juega el papel en S que juega en otras teorías de conjuntos, y Boolos no hace completamente explícito si la lógica de fondo incluye la identidad. S no tiene axioma de extensionalidad y la identidad está ausente de los otros axiomas de S. Identidad aparece en el esquema del axioma distinguir S + de S , [2] y en la derivación en S del emparejamiento , conjunto nulo , y infinito axiomas de Z . [3]
Axiomas
Los axiomas simbólicos que se muestran a continuación son de Boolos (1998: 91) y gobiernan cómo se comportan e interactúan los conjuntos y las etapas. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas están destinadas a ayudar a la intuición.
Los axiomas vienen en dos grupos de tres. El primer grupo consta de axiomas que pertenecen únicamente a las etapas y la relación etapa-etapa '<'.
Tra :
"Antes que" es transitivo.
Neto :
Una consecuencia de Net es que cada etapa es anterior a alguna etapa.
Inf :
El único propósito de Inf es permitir derivar en S el axioma de infinito de otras teorías de conjuntos.
El segundo y último grupo de axiomas involucra tanto conjuntos como etapas, y los predicados distintos de '<':
Todos :
Cada conjunto se forma en alguna etapa de la jerarquía.
Cuando :
Un conjunto se forma en alguna etapa si sus miembros se forman en etapas anteriores.
Sea A ( y ) una fórmula de S donde y es libre pero x no lo es. Entonces se cumple el siguiente esquema de axioma:
Especificación :
Si existe una etapa r tal que todos los conjuntos que satisfacen A ( y ) se forman en una etapa anterior a r , entonces existe un conjunto x cuyos miembros son solo aquellos conjuntos que satisfacen A ( y ). El papel de Spec en S es análoga a la del esquema del axioma de especificación de Z .
Discusión
El nombre de Boolos para la teoría de conjuntos de Zermelo menos la extensionalidad era Z- . Boolos derivó en S todos los axiomas de Z- excepto el axioma de elección . [4] El propósito de este ejercicio era mostrar cómo la mayor parte de la teoría de conjuntos convencional se pueden derivar de la concepción iterativa de conjunto, asumió materializa en S . Extensionalidad no se desprende de la concepción iterativa, y por lo tanto no es un teorema de S . Sin embargo, S + Extensionality está libre de contradicciones si S está libre de contradicciones.
Luego, Boolos alteró Spec para obtener una variante de S que llamó S + , de modo que el esquema de axioma de reemplazo es derivable en S + + Extensionality. Por lo tanto, la extensionalidad S + + tiene el poder de ZF . Boolos también argumentó que el axioma de elección no se sigue de la concepción iterativa, pero no abordó si Elección podría agregarse a S de alguna manera. [5] Por lo tanto, la extensionalidad S + + no puede probar los teoremas de la teoría de conjuntos convencional ZFC cuyas demostraciones requieren Elección.
Inf garantiza la existencia de las etapas ω, y de ω + n para n finito , pero no de la etapa ω + ω. Sin embargo, S cede suficiente del paraíso de Cantor para fundamentar casi todas las matemáticas contemporáneas. [6]
Boolos compara S con cierta extensión a una variante del sistema de Frege ‘s Grundgesetze , en el que el principio de Hume , tomada como un axioma, reemplaza de Frege Ley Básica V, una comprensión sin restricciones axioma que hizo inconsistente sistema de Frege; vea la paradoja de Russell .
Notas al pie
- ^ Boolos (1998: 88).
- ^ Boolos (1998: 97).
- ↑ Boolos (1998: 103-04).
- ↑ Boolos (1998: 95–96; 103–04).
- ^ Boolos (1998: 97).
- ^ "... la abrumadora mayoría de las matemáticas del siglo XX es directamente representable por conjuntos de rangos infinitos bastante bajos, ciertamente menos de ω + 20." (Potter 2004: 220). Las excepciones a la afirmación de Potter incluyen presumiblemente la teoría de categorías , que requiere los cardinales débilmente inaccesibles que ofrece la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , y los alcances superiores de la propia teoría de conjuntos.
Referencias
- Boolos, George (1989), "Iteration Again", Temas filosóficos , 17 : 5–21, JSTOR 43154050. Reimpreso en: Boolos, George (1998), Logic, Logic, and Logic , Harvard University Press, págs. 88-104, ISBN 9780674537675.
- Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Oxford University Press, ISBN 9780199269730.