En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Schwartz son espacios vectoriales topológicos (TVS) cuyas vecindades del origen tienen una propiedad similar a la definición de subconjuntos totalmente acotados . Estos espacios fueron presentados por Alexander Grothendieck .
Definición
Un espacio localmente convexo de Hausdorff X con doble continuo, X se denomina espacio de Schwartz si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: [1]
- Para cada vecindad U equilibrada convexa cerrada del origen en X , existe una vecindad V de 0 en X tal que para todo r > 0 real , V puede ser cubierto por un número finito de traslados de rU .
- Cada subconjunto acotado de X está totalmente acotado y para cada vecindario cerrado convexo balanceado U del origen en X , existe un vecindario V de 0 en X tal que para todo real r > 0 , existe un subconjunto acotado B de X tal que V ⊆ B + rU .
Propiedades
Cada espacio casi completo de Schwartz es un espacio semi-Montel . Cada espacio de Fréchet Schwartz es un espacio de Montel . [2]
El fuerte espacio dual de un espacio completo de Schwartz es un espacio ultrabornológico .
Ejemplos y condiciones suficientes
- El subespacio vectorial de los espacios de Schwartz son espacios de Schwartz.
- El cociente de un espacio de Schwartz por un subespacio vectorial cerrado es nuevamente un espacio de Schwartz.
- El producto cartesiano de cualquier familia de espacios de Schwartz vuelve a ser un espacio de Schwartz.
- La topología débil inducida en un espacio vectorial por una familia de mapas lineales valorados en espacios de Schwartz es un espacio de Schwartz si la topología débil es Hausdorff.
- El límite inductivo estricto localmente convexo de cualquier secuencia contable de espacios de Schwartz (con cada espacio TVS incrustado en el siguiente espacio) es nuevamente un espacio de Schwartz.
Contraejemplos
Todo espacio normado de dimensión infinita no es un espacio de Schwartz. [3]
Existen espacios de Fréchet que no son espacios de Schwartz y existen espacios de Schwartz que no son espacios de Montel . [3]
Ver también
- Espacio auxiliar normado
- Espacio de Montel : un espacio vectorial topológico en barril en el que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto.
Referencias
- ^ Khaleelulla 1982 , p. 32.
- ^ Khaleelulla 1982 , págs. 32-63.
- ↑ a b Khaleelulla , 1982 , págs. 32-63.
Bibliografía
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- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
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