En matemáticas , topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales, por ejemplo, en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normalizado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional .
Se puede llamar a subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrado (respectivamente, débilmente compacto , etc.) si están cerrados (respectivamente, compacto , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil.
Historia
A principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y muchas veces consideraron preferible la convergencia débil. [1] En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para los espacios normativos y también introdujo la convergencia análoga débil * . [1] La topología débil también se llama topologie faible y schwache Topologie .
Las topologías débil y fuerte
Dejar ser un campo topológico , es decir, un campo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división son continuas . En la mayoría de las aplicacionesserá el campo de los números complejos o el campo de los números reales con las topologías familiares.
Topología débil con respecto a un emparejamiento
Tanto la topología débil como la topología débil * son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos , que ahora describimos. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado probado se aplica tanto a la topología débil como a la topología débil *, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología débil * también se denomina con frecuencia "topología débil"; porque es solo una instancia de la topología débil en el marco de esta construcción más general.
Supongamos que ( X , Y , b ) es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológico(es decir, X e Y son espacios vectoriales sobrey b : X × Y →es un mapa bilineal ).
- Notación. Para todo x ∈ X , sea b ( x , •): Y →denotar el funcional lineal en Y definido por y ↦ b ( x , y ) . De manera similar, para todo y ∈ Y , sea b (•, y ): X →definirse por x ↦ b ( x , y ) .
- Definición. La topología débil en X inducida por Y ( yb ) es la topología más débil en X , denotada por 𝜎 ( X , Y , b ) o simplemente 𝜎 ( X , Y ) , lo que hace que todos los mapas sean b (•, y ): X →continua, como y se extiende sobre Y . [2]
La topología débil en Y ahora se define automáticamente como se describe en el artículo Sistema dual . Sin embargo, para mayor claridad, ahora lo repetimos.
- Definición. La topología débil en Y inducida por X ( yb ) es la topología más débil en Y , denotada por 𝜎 ( Y , X , b ) o simplemente 𝜎 ( Y , X ) , lo que hace que todos los mapas sean b ( x , •): Y →continua, como x rangos de más de X . [2]
Si el campo tiene un valor absoluto | ⋅ | , entonces la topología débil 𝜎 ( X , Y , b ) en X es inducida por la familia de seminormas , p y : X →, definido por
- p y ( x ): = | b ( x , y ) |
para todos y ∈ Y y x ∈ X . Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas .
- Suposición. De ahora en adelante asumiremos que son los números realeso los números complejos.
Dualidad canónica
Consideremos ahora el caso especial donde Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de X (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en X ).
Hay un emparejamiento, denotado por o , llamado el emparejamiento canónico cuyo mapa bilineales el mapa de evaluación canónico , definido por para todos y . Tenga en cuenta en particular que es solo otra forma de denotar es decir .
- Suposición. Si Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraica de X a continuación, vamos a suponer que están asociados con el emparejamiento canónica ⟨ X , Y ⟩ .
En este caso, la topología débil en X (resp. La topología débil en Y ), denotada por 𝜎 ( X , Y ) (resp. Por 𝜎 ( Y , X ) ) es la topología débil en X (resp. En Y ) con respecto a la canónica emparejamiento ⟨ X , Y ⟩ .
La topología σ ( X , Y ) es la topología inicial de X con respecto a Y .
Si Y es un espacio vectorial de funcionales lineales en X , entonces el dual continuo de X con respecto al topología σ ( X , Y ) es precisamente igual a Y . [2] ( Rudin 1991 , Teorema 3.10)
Las topologías débiles y débiles *
Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) sobre, es decir, X es un espacio vectorial equipado con una topología de modo que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuas. Llamamos a la topología que X comienza con la topología original , inicial o dada (se advierte al lector que no use los términos " topología inicial " y " topología fuerte " para referirse a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que usarlos puede causar confusión). Podemos definir una topología posiblemente diferente en X usando el espacio dual topológico o continuo , que consta de todos los funcionales lineales desde X hasta el campo baseque son continuos con respecto a la topología dada.
Recordar que es el mapa de evaluación canónico definido por para todos y , donde en particular, .
- Definición. La topología débil en X es la topología débil en X con respecto al emparejamiento canónico. Es decir, es la topología más débil en X haciendo que todos los mapas continuo, como se extiende sobre . [2]
- Definición : la topología débil en es la topología débil en con respecto al emparejamiento canónico. Es decir, es la topología más débil en haciendo todos los mapas continua, como x rangos de más de X . [2] Esta topología también se denomina topología débil * .
Damos definiciones alternativas a continuación.
Topología débil inducida por el espacio dual continuo
Alternativamente, la topología débil en un TVS X es la topología inicial con respecto a la familia. En otras palabras, es la topologa ms gruesa en X tal que cada elemento desigue siendo una función continua .
Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma dónde y U es un subconjunto abierto del campo base. En otras palabras, un subconjunto de X está abierto en la topología débil si y solo si puede escribirse como una unión de (posiblemente infinitos) conjuntos, cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma.
Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más burda ; consulte topología débil (topología polar) para obtener más detalles.
Convergencia débil
La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red en X converge en la topología débil al elemento x de X si y solo si converge a en o para todos .
En particular, si es una secuencia en X , entonces converge débilmente ax si
como n → ∞ para todos. En este caso, se acostumbra escribir
o algunas veces,
Otras propiedades
Si X está equipado con la topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y X es un espacio vectorial topológico localmente convexo .
Si X es un espacio normado, entonces el espacio dual es en sí mismo un espacio vectorial normalizado mediante el uso de la norma
Esta norma da lugar a una topología, llamada topología fuerte , en. Esta es la topología de convergencia uniforme . Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de mapas lineales; vea abajo.
Topología débil *
La topología débil * es un ejemplo importante de topología polar .
Se puede incrustar un espacio X en su doble X ** doble mediante
Por lo tanto es un mapeo lineal inyectivo , aunque no necesariamente sobreyectivo (los espacios para los que esta incrustación canónica es sobreyectiva se denominan reflexivos ). La topología débil * en es la topología débil inducida por la imagen de . En otras palabras, es la topología más burda tal que los mapas T x , definidos por de al campo base o permanecen continuos.
- Convergencia débil *
Una red en es convergente a en la topología débil- * si converge puntualmente:
para todos . En particular, una secuencia de converge a siempre que
para todos x ∈ X . En este caso, se escribe
como n → ∞ .
La convergencia débil * a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual . De hecho, coincide con la convergencia puntual de funcionales lineales.
Propiedades
Si X es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y H es un subconjunto delimitado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado de la topología débil * (subespacio) es un espacio topológico metrizable . [2] Si X es un espacio localmente convexo metrizable separable , entonces la topología débil * en el espacio dual continuo de X es separable. [2]
- Propiedades en espacios normativos
Por definición, la topología débil * es más débil que la topología débil en . Un hecho importante acerca de la topología débil * es el teorema de Banach-Alaoglu : si X está normalizado, entonces la bola unitaria cerrada enes débil * - compacto (más generalmente, el polar ende una vecindad de 0 en X es débil * -compacto). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normado X es compacta en la topología débil si y solo si X es reflexivo .
En más generalidad, sea F un campo con valores compactos localmente (por ejemplo, los reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Deje que X sea un espacio vectorial topológico normado sobre F , compatible con el valor absoluto en F . Entonces en, el espacio dual topológico X de funcionales lineales continuos valorados en F en X , todas las bolas de norma cerrada son compactas en la topología débil- *.
Si X es un espacio normado, entonces un subconjunto del dual continuo es débil * compacto si y solo si es débil * cerrado y limitado por normas. [2] Esto implica, en particular, que cuando X es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de X no contiene ninguna vecindad débil * de 0. [2]
Si X es un espacio normado, entonces X es separable si y solo si la topología débil- * en la bola unitaria cerrada dees metrizable, [2] en cuyo caso la topología débil * es metrizable en subconjuntos delimitados por normas de. Si un espacio normado X tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de norma dual), entonces X es necesariamente separable. [2] Si X es un espacio de Banach , la topología débil- * no es metrizable en todosa menos que X sea de dimensión finita. [3]
Ejemplos de
Espacios de Hilbert
Considere, por ejemplo, la diferencia entre la convergencia fuerte y débil de funciones en el espacio de Hilbert L 2 ( R norte {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} ) . Fuerte convergencia de una secuenciaa un elemento ψ significa que
como k → ∞ . Aquí la noción de convergencia corresponde a la norma en L 2 .
Por el contrario, la convergencia débil solo exige que
para todas las funciones f ∈ L 2 (o, más típicamente, todas f en un subconjunto denso de L 2 como un espacio de funciones de prueba , si la secuencia { ψ k } está acotada). Para funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en.
Por ejemplo, en el espacio de Hilbert L 2 (0, π) , la secuencia de funciones
forman una base ortonormal . En particular, el límite (fuerte) deya que k → ∞ no existe. Por otro lado, según el lema de Riemann-Lebesgue , el límite débil existe y es cero.
Distribuciones
Normalmente se obtienen espacios de distribuciones formando el dual fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves de soporte compacto en). En una construcción alternativa de tales espacios, se puede tomar el dual débil de un espacio de funciones de prueba dentro de un espacio de Hilbert como L 2 . Por lo tanto, uno se ve llevado a considerar la idea de un espacio de Hilbert manipulado .
Topología débil inducida por el dual algebraico
Suponga que X es un espacio vectorial y X # es el espacio dual algebraico de X (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X ). Si X está dotado de la topología débil inducida por X #, entonces el espacio dual continuo de X es X # , cada subconjunto acotado de X está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de X , cada subespacio vectorial de X está cerrado y tiene un complemento topológico . [4]
Topologías de operador
Si X e Y son espacios vectoriales topológicos, el espacio L ( X , Y ) de los operadores lineales continuos f : X → Y puede llevar una variedad de diferentes topologías posibles. La denominación de tales topologías depende del tipo de topología que se esté utilizando en el espacio objetivo Y para definir la convergencia de operadores ( Yosida 1980 , IV.7 Topologías de mapas lineales). En general, existe una amplia gama de posibles topologías de operadores en L ( X , Y ) , cuya denominación no es del todo intuitiva.
Por ejemplo, la topología de operador fuerte en L ( X , Y ) es la topología de convergencia puntual . Por ejemplo, si Y es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por x ∈ X :
De manera más general, si una familia de seminormas Q define la topología en Y , entonces los seminormas p q , x en L ( X , Y ) que definen la topología fuerte están dados por
indexado por q ∈ Q y x ∈ X .
En particular, consulte la topología de operador débil y la topología de operador débil * .
Ver también
- Eberlein compactum , un conjunto compacto en la topología débil
- Convergencia débil (espacio de Hilbert)
- Topología de operador de estrella débil
- Débil convergencia de medidas
- Topologías en espacios de mapas lineales
- Topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
- Topología vaga
Referencias
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225–273.
- ↑ a b c d e f g h i j k Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
- ^ Proposición 2.6.12, p. 226 en Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, 183 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3.
- ^ Trèves 2006 , págs.36, 201.
Bibliografía
- Conway, John B. (1994), Un curso de análisis funcional (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Pedersen, Gert (1989), Análisis ahora , Springer, ISBN 0-387-96788-5
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Willard, Stephen (febrero de 2004). Topología general . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 9780486434797.
- Yosida, Kosaku (1980), Análisis funcional (6.a ed.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8