En el análisis funcional , el dual fuerte de un espacio vectorial topológico (TVS) X es el espacio dual continuo de X equipado con la topología fuerte o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X , donde esta topología se denota por o . El espacio dual fuerte juega un papel tan importante en el análisis funcional moderno, que generalmente se asume que el espacio dual continuo tiene la topología dual fuerte a menos que se indique lo contrario. Para enfatizar que el espacio dual continuo,, tiene la topología dual fuerte, o puede estar escrito.
Fuerte topología dual
En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el campo. de los números reales o números complejos
Definición de un sistema dual
Dejar Ser un sistema dual de espacios vectoriales sobre el campo. Tenga en cuenta que ninguno ni tiene una topología, por lo que definimos un subconjunto estar acotado si y solo si para todos . Esto es equivalente a la noción habitual de subconjuntos acotados cuando se da la topología débil inducida por que es una topología localmente convexa de Hausdorff . La definición de la topología dual fuerte procede ahora como en el caso de un TVS.
Tenga en cuenta que si es un televisor cuyo espacio dual continuo separa un punto en luego es parte de un sistema dual canónico dónde .
Definición en un televisor
Suponer que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo Dejar ser cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de (es decir, un conjunto de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algunos ); el conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de Una base de barrios cerrados del origen en viene dado por los polares :
como se extiende sobre ). Esta es una topología convexa local que viene dada por el conjunto de seminormas en: como se extiende sobre
Si es normal, entonces también lo es y será de hecho un espacio de Banach . Si es un espacio normado con norma luego tiene una norma canónica (la norma del operador ) dada por; la topología que esta norma induce en es idéntico a la topología dual fuerte.
Propiedades
Dejar ser un TVS localmente convexo.
- Un subconjunto convexo, equilibrado y débilmente compacto de está delimitado en . [1]
- Cada subconjunto débilmente acotado de está fuertemente acotado. [2]
- Si es un espacio de barril entoncesLa topología es idéntica a la topología dual fuerte. y a la topología de Mackey en.
- Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el fuerte dual de es bornológico si y sólo si tiene cañón , si y sólo si tiene cañón . [3]
- Si ¿Son los televisores localmente convexos de Hausdorff? es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algún elemento de [4]
- Si es localmente convexa, entonces esta topología es más fina que todas las demás -topologías en al considerar solo cuyos conjuntos son subconjuntos de
- Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o LF-space ) entoncesEsta completo.
Ver también
- Topología dual
- Sistema dual
- Lista de topologías
- Topología polar: topología de espacio dual de convergencia uniforme en algunas subconjuntos de subconjuntos delimitados
- Topología fuerte
- Topología fuerte (topología polar) : topología de espacio dual de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados
- Topologías en espacios de mapas lineales
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 141.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 142.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 153.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .