En álgebra lineal , en particular la geometría proyectiva , un mapa semilineal entre espacios vectoriales V y W sobre un campo K es una función que es un mapa lineal "hasta un toque", por lo tanto semi -linear, donde los medios "twist" " automorphism campo de K ". Explícitamente, es una función T : V → W que es:
- aditivo con respecto a la suma de vectores:
- existe una θ campo automorfismo de K tal que, dónde es la imagen del escalar bajo el automorfismo. Si existe un automorfismo tal y T es distinto de cero, es único, y T se llama θ-semilineal.
Cuando el dominio y codominio son el mismo espacio (es decir, T : V → V ), que puede denominarse una transformación semilineal . Las transformadas semilineales invertibles de un espacio vectorial dado V (para todas las opciones de automorphism campo) forman un grupo, llamado el grupo semilineal general y denotadopor analogía con y ampliando el grupo lineal general . El caso especial de que el campo es el números complejos ℂ y el automorfismo es la conjugación compleja , un mapa semilineal se llama un mapa antilineal .
Se usa una notación similar (reemplazando caracteres latinos por griegos) para análogos semilineales de transformada lineal más restringida; Formalmente, el producto semidirecto de un grupo lineal con el grupo de Galois de automorphism campo. Por ejemplo, PΣU se utiliza para los análogos semilineales del grupo unitario especial proyectiva PSU. Sin embargo, tenga en cuenta que solo recientemente se ha observado que estos grupos semilineales generalizados no están bien definidos, como se señala en ( Bray, Holt y Roney-Dougal 2009 ) - los grupos clásicos isomorfos G y H (subgrupos de SL) pueden tener no- extensiones semilineales isomorfas. A nivel de productos semidirectos, esto corresponde a diferentes acciones del grupo de Galois sobre un grupo abstracto dado, un producto semidirecto en función de dos grupos y una acción. Si la extensión no es única, hay exactamente dos extensiones semilineales; por ejemplo, grupos simplécticos tener una extensión semilineal único, mientras que SU ( n , q ) tiene dos extensiones si n es par y q es impar, y lo mismo para la fuente de alimentación.
Definición
Un mapa f : V → W para espacios vectoriales V y W sobre campos K y L , respectivamente, es σ -semilinear, o simplemente semilineal , si existe un campo homomorfismo σ : K → L tal que para todo x , y en V y λ en K se cumple que
A dado incrustación σ de un campo K en L nos permite identificar K con un subcampo de L , haciendo un σ -semilinear asigne una K - mapa lineal bajo esta identificación. Sin embargo, un mapa que es τ -semilinear para una incrustación distinta τ ≠ σ no será K -linear con respecto a la identificación original σ , a menos que f es idénticamente cero.
Más en general, un mapa ψ : M → N entre un derecho R - módulo M y una izquierda S -módulo N es σ - semilineal si existe un anillo antihomomorphism σ : R → S tal que para todo x , y en H y λ en R se cumple que
El término semilineal aplica para cualquier combinación de módulos izquierdo y derecho con un ajuste adecuado de las expresiones anteriores, con σ ser un homomorfismo, según sea necesario. [1] [2]
El par ( ψ , σ ) se conoce como un dimorfismo . [3]
Relacionados
Transponer
Deje σ : R → S sea un isomorfismo anillo, M un derecho R -módulo y N un derecho S -módulo, y ψ : M → N una σ -semilinear mapa. Definimos la transposición de ψ como el mapeo t ψ : N * → M * que satisface [4]
Esta es una σ -1 mapa -semilinear.
Propiedades
Deje σ : R → S sea un isomorfismo anillo, M un derecho R -módulo y N un derecho S -módulo, y ψ : M → N una σ -semilinear mapa. El mapeo
define un R forma -linear. [5]
Ejemplos de
- Dejar con base estándar . Definir el mapa por
- f es semilineal (con respecto a la conjugación compleja automorphism campo), pero no lineal.
- Dejar - el campo de orden de Galois , P la característica. Dejar. Por el sueño de estudiante de primer año , se sabe que este es un automorfismo campo. A cada mapa linealentre espacios vectoriales V y W sobre K podemos establecer una-mapa semilineal
- De hecho, cada mapa lineal se puede convertir en un mapa semilineal de esa manera. Esto es parte de una observación general recopilada en el siguiente resultado.
Grupo semilineal general
Dado un espacio vectorial V , el conjunto de todos invertible semilineal transformaciones V → V (sobre todos los automorfismos de campo) es el grupo ΓL ( V ).
Dado un espacio vectorial V sobre K , ΓL ( V ) se descompone como el producto semidirecto
donde Aut ( K ) es los automorfismos de K . Del mismo modo, las transformadas semilineales de otros grupos lineales pueden definirse como el producto semidirecto con el grupo automorphism, o más intrínsecamente como el conjunto de mapas semilineales de un espacio vectorial conservar algunas propiedades.
Identificamos Aut ( K ) con un subgrupo de ΓL ( V ) mediante la fijación de una base B de V y la definición de los mapas semilineales:
para cualquier . Vamos a denotado este subgrupo de Aut ( K ) B . También vemos estos complementos a GL ( V ) en ΓL ( V ) se actúa en forma regular por GL ( V ) ya que corresponden a un cambio de base .
Prueba
Todo mapa lineal es semilineal, por lo tanto . Fijar una base B de V . Ahora dado cualquier mapa semilineal f con respecto a un automorphism campo sigma ∈ Aut ( K ) , para definir g : V → V por
Como f ( B ) es también una base de V , se sigue que g es simplemente un cambio de base de V y así lineal y invertible: g ∈ GL ( V ) .
Colocar . Para cadaen V ,
por tanto, h está en el Aut ( K ) del subgrupo con respecto a la base fija B. Esta factorización es única para la base fija B . Además, GL ( V ) se normaliza por la acción de Aut ( K ) B , por lo ΓL ( V ) = GL ( V ) ⋊ Aut ( K ) .
Aplicaciones
Geometría proyectiva
La grupos extienden los típicos grupos clásicos en GL ( V ). La importancia en la consideración de estos mapas se desprende de la consideración de la geometría proyectiva . La acción inducida deen el espacio proyectivo asociado P ( V ) se obtiene elgrupo semilineal proyectiva , denotado, Extendiendo el grupo lineal proyectiva , PGL ( V ).
La geometría proyectiva de un espacio vectorial V , denota PG ( V ), es la red de todos los subespacios de V . Aunque el mapa semilineal típico no es un mapa lineal, se sigue que cada mapa semilineal induce un mapa que preserva el orden . Es decir, cada mapa semilineal induce una proyectividad . La inversa de esta observación (a excepción de la línea proyectiva) es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Por tanto, los mapas semilineales son útiles porque definen el grupo de automorfismos de la geometría proyectiva de un espacio vectorial.
Grupo de Mathieu
El PΓL grupo (3,4) se puede utilizar para construir el grupo Mathieu M 24 , que es uno de los grupos simples esporádicos ; PΓL (3,4) es un subgrupo máxima de M 24 , y hay muchas maneras de extender al grupo de Mathieu completo.
Ver también
Referencias
- ^ Ian R. Porteous (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge University Press
- ^ Bourbaki (1989), Algebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 223
- ^ Bourbaki (1989), Algebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 223
- ^ Bourbaki (1989), Algebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 236
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- ^ Bourbaki (1989), Algebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 223
- Assmus, EF; Key, JD (1994), diseños y sus códigos , Cambridge University Press , p. 93, ISBN 0-521-45839-0
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Álgebra I Capítulos 1-3 [ Algèbre: Capítulos 1 a 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .
- Bray, John N .; Holt, Derek F .; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Ciertos grupos clásicos no están bien definidos", Journal of Theory Group , 12 (2): 171-180, doi : 10.1515 / jgt.2008.069 , ISSN 1433 a 5883 , MR 2502211
- Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Modern proyectiva Geometría , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
- Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), lineal Geometría , Licenciado en Matemáticas Textos, 49 (1ª ed.), Springer-Verlag New York
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
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