En geometría algebraica , una variedad abeliana semiestable es una variedad abeliana definida sobre un campo global o local , que se caracteriza por cómo se reduce en los números primos del campo.
Para una variedad abeliana A definido sobre un campo F con anillo de los enteros R , considere el modelo Néron de A , que es una 'mejor posible' modelo de A definida sobre R . Este modelo puede representarse como un esquema sobre
- Especificación ( R )
(cf. espectro de un anillo ) para el cual la fibra genérica construida por medio del morfismo
- Especificación ( F ) → Especificación ( R )
devuelve una . El modelo de Néron es un esquema de grupo suave , por lo que podemos considerar A 0 , el componente conectado del modelo de Néron que contiene la identidad para la ley de grupo. Este es un esquema de subgrupo abierto del modelo de Néron. Para un campo de residuos k , A 0 k es una variedad de grupo sobre k , por lo tanto, una extensión de una variedad abeliana por un grupo lineal. Si este grupo lineal es un toro algebraico , de modo que A 0 k es una variedad semiabeliana , entonces A tiene una reducción semiestable en el primo correspondiente a k . Si F es global, entonces A es semiestable si tiene una reducción buena o semiestable en todos los primos.
El teorema de reducción semiestable de Alexander Grothendieck establece que una variedad abeliana adquiere reducción semiestable sobre una extensión finita de F .
Curva elíptica semiestable
Una curva elíptica semiestable puede describirse más concretamente como una curva elíptica que tiene una mala reducción solo de tipo multiplicativo . [1] Supongamos que E es una curva elíptica definida sobre el número racional campo Q . Se sabe que existe un conjunto S finito , no vacío, de números primos p para los que E tiene un módulo de reducción p deficiente . Esto último significa que la curva E p obtenida por reducción de E al campo primo con p elementos tiene un punto singular . En términos generales, la condición de reducción multiplicativa equivale a decir que el punto singular es un punto doble , en lugar de una cúspide . [2] Decidir si esta condición se cumple es efectivamente calculable por el algoritmo de Tate . [3] [4] Por lo tanto, en un caso dado, se puede decidir si la reducción es semiestable o no, es decir, reducción multiplicativa en el peor de los casos.
El teorema de reducción semiestable para E también puede hacerse explícito: E adquiere reducción semiestable sobre la extensión de F generada por las coordenadas de los puntos de orden 12. [5] [4]
Referencias
- ^ Husemöller (1987) págs. 116-117
- ^ Husemoller (1987) págs. 116-117
- ^ Husemöller (1987) págs. 266-269
- ^ a b Tate, John (1975), "Algoritmo para determinar el tipo de una fibra singular en un lápiz elíptico", en Birch, BJ ; Kuyk, W. (eds.), Funciones modulares de una variable IV , Lecture Notes in Mathematics, 476 , Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 33-52, doi : 10.1007 / BFb0097582 , ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN 1617-9692 , MR 0393039 , Zbl 1214.14020
- ^ Esto está implícito en Husemöller (1987) pp.117-118
- Husemöller, Dale H. (1987). Curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 111 . Con un apéndice de Ruth Lawrence . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl 0605.14032 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . pag. 70 . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .