3 21 | 2 31 | 1 32 | |||
Rectificado 3 21 | birectificado 3 21 | ||||
Rectificado 2 31 | Rectificado 1 32 | ||||
Proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 7 |
---|
En geometría de 7 dimensiones , 1 32 es un politopo uniforme , construido a partir del grupo E7 .
Su símbolo de Coxeter es 1 32 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de una de las secuencias de 1 nodo.
El 1 32 rectificado está construido por puntos en los bordes medios del 1 32 .
Estos politopos son parte de una familia de 127 (2 7 -1) convexas politopos uniformes en 7-dimensiones , hechas de Polytope uniforme facetas y figura de vértice , definido por todas las permutaciones de los anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.
1_32 politopo
1 32 | |
---|---|
Tipo | 7 politopos uniformes |
Familia | 1 K2 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3 3,2 } |
Símbolo de coxeter | 1 32 |
Diagrama de Coxeter | |
6 caras | 182: 56 1 22 126 1 31 |
5 caras | 4284: 756 1 21 1512 1 21 2016 {3 4 } |
4 caras | 23688: 4032 {3 3 } 7560 1 11 12096 {3 3 } |
Células | 50400: 20160 {3 2 } 30240 {3 2 } |
Caras | 40320 {3} |
Bordes | 10080 |
Vértices | 576 |
Figura de vértice | t 2 {3 5 } |
Polígono de Petrie | Octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040 |
Propiedades | convexo |
Este politopo puede tessellate espacio 7-dimensional, con el símbolo de 1 33 , y el diagrama de Coxeter-Dynkin,. Es la celda de Voronoi de la celosía dual E 7 * . [1]
Nombres Alternativos
- Emanuel Lodewijk Elte lo nombró V 576 (por sus 576 vértices) en su lista de 1912 de politopos semirregulares. [2]
- Coxeter lo llamó 1 32 por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de la rama de 1 nodo.
- Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exón (acrónimo lin) - poliexón facetado 56-126 (Jonathan Bowers) [3]
Imagenes
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 6-demicubo , 1 31 ,
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el 1 22 ,
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el 6-simplex birectificado , 0 32 ,
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . [4]
E 7 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figuras | notas | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 6 | () | f 0 | 576 | 35 | 210 | 140 | 210 | 35 | 105 | 105 | 21 | 42 | 21 | 7 | 7 | 2r {3,3,3,3,3} | E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576 | |
A 3 A 2 A 1 | {} | f 1 | 2 | 10080 | 12 | 12 | 18 | 4 | 12 | 12 | 6 | 12 | 3 | 4 | 3 | {3,3} x {3} | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 2 A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 40320 | 2 | 3 | 1 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 | 3 | 2 | {} ∨ {3} | E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320 | |
A 3 A 2 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 20160 | * | 1 | 3 | 0 | 3 | 3 | 0 | 3 | 1 | {3} ∨ () | E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160 | |
A 3 A 1 A 1 | 4 | 6 | 4 | * | 30240 | 0 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | Disfenoide fílico | E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240 | |||
A 4 A 2 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 0 | 4032 | * | * | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032 | |
D 4 A 1 | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 8 | 8 | * | 7560 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {} ∨ () | Mi 7 / D 4 UNA 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560 | ||
A 4 A 1 | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 0 | 5 | * | * | 12096 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 5 A 1 | h {4,3,3,3} | f 5 | dieciséis | 80 | 160 | 80 | 40 | dieciséis | 10 | 0 | 756 | * | * | 2 | 0 | {} | Mi 7 / D 5 UNA 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756 | |
D 5 | dieciséis | 80 | 160 | 40 | 80 | 0 | 10 | dieciséis | * | 1512 | * | 1 | 1 | E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512 | ||||
A 5 A 1 | {3,3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 0 | 15 | 0 | 0 | 6 | * | * | 2016 | 0 | 2 | E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016 | |||
E 6 | {3,3 2,2 } | f 6 | 72 | 720 | 2160 | 1080 | 1080 | 216 | 270 | 216 | 27 | 27 | 0 | 56 | * | () | Mi 7 / Mi 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56 | |
D 6 | h {4,3,3,3,3} | 32 | 240 | 640 | 160 | 480 | 0 | 60 | 192 | 0 | 12 | 32 | * | 126 | E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126 |
Politopos y panales relacionados
El 1 32 es el tercero en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como una serie 1 3k . La siguiente figura es el panal euclidiano 1 33 y la última es un panal hiperbólico no compacto, 1 34 .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [[3 3,3,1 ]] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 23,040 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | 1 3, -1 | 1 30 | 1 31 | 1 32 | 1 33 | 1 34 |
Figuras de 1 k2 en n dimensiones | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría (orden) | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [[3 2,2,1 ]] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 103.680 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | 1 −1,2 | 1 02 | 1 12 | 1 22 | 1 32 | 1 42 | 1 52 | 1 62 |
Politopo 1_32 rectificado
Rectificado 1 32 | |
---|---|
Tipo | 7 politopos uniformes |
Símbolo de Schläfli | t 1 {3,3 3,2 } |
Símbolo de coxeter | 0 321 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
6 caras | 758 |
5 caras | 12348 |
4 caras | 72072 |
Células | 191520 |
Caras | 241920 |
Bordes | 120960 |
Vértices | 10080 |
Figura de vértice | {3,3} × {3} × {} |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040 |
Propiedades | convexo |
El 1 32 rectificado (también llamado 0 321 ) es una rectificación del politopo 1 32 , creando nuevos vértices en el centro del borde del 1 32 . Su figura de vértice es un prisma de duoprisma, el producto de un tetraedro regular y un triángulo, duplicado en un prisma: {3,3} × {3} × {}.
Nombres Alternativos
- Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exón rectificado para poliexón facetado 56-126 rectificado (acrónimo rolin) (Jonathan Bowers) [5]
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones. Estos espejos están representados por su diagrama de Coxeter-Dynkin ,, y el anillo representa la posición de los espejos activos.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el politopo rectificado 1 22 ,
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el demihexeract , 1 31 ,
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 1 longitud deja el 6-simplex birectificado ,
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el prisma de duoprisma tetraedro-triángulo, {3,3} × {3} × {},
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . [6]
E 7 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figuras | notas | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 3 A 2 A 1 | () | f 0 | 10080 | 24 | 24 | 12 | 36 | 8 | 12 | 36 | 18 | 24 | 4 | 12 | 18 | 24 | 12 | 6 | 6 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 | 2 | 3 | {3,3} x {3} x {} | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 2 A 1 A 1 | {} | f 1 | 2 | 120960 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 6 | 3 | 3 | 1 | 3 | 6 | 6 | 3 | 1 | 3 | 3 | 6 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | () v {3} v {} | E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960 | |
A 2 A 2 | 0 1 | f 2 | 3 | 3 | 80640 | * | * | 1 | 1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 1 | 0 | 3 | 1 | 1 | {3} v () v () | E 7 / A 2 A 2 = 72 * 8! / 3! / 3! = 80640 | |
A 2 A 2 A 1 | 3 | 3 | * | 40320 | * | 0 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 6 | 0 | 1 | 3 | 0 | 2 | {3} v {} | E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320 | |||
A 2 A 1 A 1 | 3 | 3 | * | * | 120960 | 0 | 0 | 2 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | {} v {} v () | E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960 | |||
A 3 A 2 | 0 2 | f 3 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 | 20160 | * | * | * | * | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | {3} v () | E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160 | |
0 11 | 6 | 12 | 4 | 4 | 0 | * | 20160 | * | * | * | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | |||||
A 3 A 1 | 6 | 12 | 4 | 0 | 4 | * | * | 60480 | * | * | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | Esfenoides | E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480 | |||
A 3 A 1 A 1 | 6 | 12 | 0 | 4 | 4 | * | * | * | 30240 | * | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | {} v {} | E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240 | |||
A 3 A 1 | 0 2 | 4 | 6 | 0 | 0 | 4 | * | * | * | * | 60480 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | Esfenoides | E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480 | ||
A 4 A 2 | 0 21 | f 4 | 10 | 30 | 20 | 10 | 0 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 4032 | * | * | * | * | * | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032 | |
A 4 A 1 | 10 | 30 | 20 | 0 | 10 | 5 | 0 | 5 | 0 | 0 | * | 12096 | * | * | * | * | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | {} v () | Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 4 A 1 | 0 111 | 24 | 96 | 32 | 32 | 32 | 0 | 8 | 8 | 8 | 0 | * | * | 7560 | * | * | * | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | Mi 7 / D 4 UNA 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560 | |||
A 4 | 0 21 | 10 | 30 | 10 | 0 | 20 | 0 | 0 | 5 | 0 | 5 | * | * | * | 24192 | * | * | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | () v () v () | E 7 / A 4 = 72 * 8! / 5! = 34192 | ||
A 4 A 1 | 10 | 30 | 0 | 10 | 20 | 0 | 0 | 0 | 5 | 5 | * | * | * | * | 12096 | * | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 | {} v () | Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
0 3 | 5 | 10 | 0 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | * | * | * | * | * | 12096 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | |||||
D 5 A 1 | 0 211 | f 5 | 80 | 480 | 320 | 160 | 160 | 80 | 80 | 80 | 40 | 0 | dieciséis | dieciséis | 10 | 0 | 0 | 0 | 756 | * | * | * | * | 2 | 0 | 0 | {} | Mi 7 / D 5 UNA 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756 | |
A 5 | 0 22 | 20 | 90 | 60 | 0 | 60 | 15 | 0 | 30 | 0 | 15 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | * | 4032 | * | * | * | 1 | 1 | 0 | E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032 | |||
D 5 | 0 211 | 80 | 480 | 160 | 160 | 320 | 0 | 40 | 80 | 80 | 80 | 0 | 0 | 10 | dieciséis | dieciséis | 0 | * | * | 1512 | * | * | 1 | 0 | 1 | E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512 | |||
A 5 | 0 31 | 15 | 60 | 20 | 0 | 60 | 0 | 0 | 15 | 0 | 30 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 6 | * | * | * | 4032 | * | 0 | 1 | 1 | E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032 | |||
A 5 A 1 | 15 | 60 | 0 | 20 | 60 | 0 | 0 | 0 | 15 | 30 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | * | * | * | * | 2016 | 0 | 0 | 2 | E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016 | ||||
E 6 | 0 221 | f 6 | 720 | 6480 | 4320 | 2160 | 4320 | 1080 | 1080 | 2160 | 1080 | 1080 | 216 | 432 | 270 | 432 | 216 | 0 | 27 | 72 | 27 | 0 | 0 | 56 | * | * | () | Mi 7 / Mi 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56 | |
A 6 | 0 32 | 35 | 210 | 140 | 0 | 210 | 35 | 0 | 105 | 0 | 105 | 0 | 21 | 0 | 42 | 0 | 21 | 0 | 7 | 0 | 7 | 0 | * | 576 | * | E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576 | |||
D 6 | 0 311 | 240 | 1920 | 640 | 640 | 1920 | 0 | 160 | 480 | 480 | 960 | 0 | 0 | 60 | 192 | 192 | 192 | 0 | 0 | 12 | 32 | 32 | * | * | 126 | E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126 |
Imagenes
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [14] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Ver también
- Lista de politopos E7
Notas
- ^ Las celdas de Voronoi de las celosías E 6 * y E 7 * , Edward Pervin
- ↑ Elte, 1912
- ^ Klitzing, (o3o3o3x * c3o3o3o - lin)
- ↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
- ^ Klitzing, (o3o3x3o * c3o3o3o - rolin)
- ↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
Referencias
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 7D (polyexa)" . o3o3o3x * c3o3o3o - lin, o3o3x3o * c3o3o3o - rolin
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |