teorema de modularidad

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El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura, conjetura de Taniyama-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas ) establece que las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales están relacionadas con formas modulares . Andrew Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , que fue suficiente para implicar el último teorema de Fermat . Más tarde, una serie de artículos de los antiguos alumnos de Wiles, Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor , que culminaron en un artículo conjunto conChristophe Breuil , amplió las técnicas de Wiles para probar el teorema de modularidad completo en 2001.

El teorema establece que cualquier curva elíptica se puede obtener a través de un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica para algún número entero ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se denomina parametrización modular de nivel . Si es el entero más pequeño para el que se puede encontrar tal parametrización (que por el propio teorema de modularidad ahora se sabe que es un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de modular. forma de peso dos y nivel , un normalizado${\ estilo de visualización \ matemáticas {Q}}$ ${\ estilo de visualización X_ {0} (N)}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización N}$newform con integer -expansion, seguida si es necesario por una isogenia .${\ estilo de visualización q}$

A cada curva elíptica E sobre podemos adjuntar una serie L correspondiente . La serie - es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita${\ estilo de visualización \ matemáticas {Q}}$${\ estilo de visualización L}$

La función generadora de los coeficientes es entonces${\displaystyle a_{n}}$

vemos que hemos escrito el desarrollo de Fourier de una función de la variable compleja , por lo que los coeficientes de la serie también se consideran los coeficientes de Fourier de . La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cúspide de peso dos y nivel y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se deriva del teorema de modularidad.${\ Displaystyle f (E, \ tau)}$${\ estilo de visualización \ tau}$${\ estilo de visualización q}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización N}$

Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomorfos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a las formas propias de peso 2 de Hecke. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las autoformas de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de la cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomorfa a ella).

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