En matemáticas , específicamente en la teoría de formas cuadráticas , una forma ε -cuadrática es una generalización de formas cuadráticas a configuraciones de simetría sesgada y a * -anillos ; ε = ± 1 , en consecuencia para simétrico o simétrico sesgado. También se les llama-Formas cuadráticas, particularmente en el contexto de la teoría de la cirugía .
Existe la noción relacionada de varepsilon formas -symmetric , que generaliza las formas simétricas , formas antisimétrica (= formas simplécticos ), formas hermitianos , y formas skew-hermitianos . Más brevemente, uno puede referirse a formas cuadráticas, cuadráticas sesgadas, simétricas y simétricas sesgadas, donde "sesgar" significa (-) y la * (involución) está implícita.
La teoría es 2-local: lejos de 2 , las formas ε -cuadráticas son equivalentes a ε- formas simétricas: la mitad del mapa de simetrización (abajo) da un isomorfismo explícito.
Definición
ε- formas simétricas y ε -formas cuadráticas se definen como sigue. [1]
Dado un módulo M sobre un * -ring R , sea B ( M ) el espacio de formas bilineales en M , y sea T : B ( M ) → B ( M ) la involución " transpuesta conjugada " B ( u , v ) ↦ B ( v , u ) * . Dado que la multiplicación por −1 también es una involución y conmuta con mapas lineales, - T también es una involución. Por lo tanto, podemos escribir ε = ± 1 y εT es una involución, ya sea T o - T (ε puede ser más general que ± 1; ver más abajo). Defina las formas ε- simétricas como las invariantes de εT , y las formas ε -cuadráticas son las coinvariantes .
Como una secuencia exacta,
La notación Q ε ( M ), Q ε ( M ) sigue la notación estándar M G , M G para las invariantes y coinvariantes para una acción de grupo , aquí del grupo de orden 2 (una involución).
Composición de los mapas de inclusión y cociente (pero no 1 - εT ) comolos rendimientos de un mapa Q ε ( M ) → Q ε ( M ): cada ε forma -symmetric determina un ε forma -quadratic.
Simetrización
A la inversa, se puede definir un homomorfismo inverso "1 + εT ": Q ε ( M ) → Q ε ( M ) , llamado mapa de simetrización (ya que produce una forma simétrica) tomando cualquier elevación de una forma cuadrática y multiplicándola por 1 + εT . Esta es una forma simétrica porque (1 - εT ) (1 + εT ) = 1 - T 2 = 0 , por lo que está en el núcleo. Más precisamente,. El mapa está bien definido por la misma ecuación: elegir una elevación diferente corresponde a sumar un múltiplo de (1 - εT ) , pero esto desaparece después de multiplicar por 1 + εT . Así, cada ε forma -quadratic determina un ε forma -symmetric.
Al componer estos dos mapas de cualquier manera: Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) o Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) produce la multiplicación por 2, y por lo tanto estos los mapas son biyectivos si 2 es invertible en R , con el inverso dado por la multiplicación con 1/2.
Una forma ε- cuadrática ψ ∈ Q ε ( M ) se llama no degenerada si la forma ε -simétrica asociada (1 + εT ) ( ψ ) no es degenerada.
Generalización de *
Si el * es trivial, a continuación, ε = ± 1 , y "a distancia de 2" significa que 2 es invertible: 1/2 ∈ R .
De manera más general, se puede tomar como ε ∈ R cualquier elemento tal que ε * ε = 1 . ε = ± 1 siempre satisface esto, pero también lo hace cualquier elemento de la norma 1, como los números complejos de la norma unitaria.
Del mismo modo, en presencia de a * no trivial, varepsilon formas -symmetric son equivalentes a varepsilon formas -quadratic si hay un elemento λ ∈ R tal que λ * + λ = 1 . Si * es trivial, esto equivale a 2 λ = 1 o λ = 1/2 , mientras que si * no es trivial, puede haber múltiples λ posibles ; por ejemplo, sobre los números complejos, cualquier número con parte real 1/2 es tal λ .
Por ejemplo, en el ring (la red integral para la forma cuadrática 2 x 2 - 2 x + 1 ), con conjugación compleja,son dos de estos elementos, aunque medio ∉ R .
Intuición
En términos de matrices (tomamos V como bidimensional), si * es trivial:
- matrices corresponden a formas bilineales
- el subespacio de matrices simétricas corresponden a formas simétricas
- el subespacio de matrices (−1) -simétricas corresponden a formas simplécticas
- la forma bilineal produce la forma cuadrática
- ,
- el mapa 1 + T de formas cuadráticas a mapas de formas simétricas
a , por ejemplo, levantando y luego agregar para transponer. Mapear de nuevo a formas cuadráticas produce el doble del original:.
Si es una conjugación compleja, entonces
- el subespacio de matrices simétricas son las matrices hermitianas
- el subespacio de las matrices simétricas sesgadas son las matrices hermitianas sesgadas
Refinamientos
Una forma intuitiva de entender una forma ε- cuadrática es pensar en ella como un refinamiento cuadrático de su forma ε- simétrica asociada .
Por ejemplo, al definir un álgebra de Clifford sobre un campo o anillo general, uno cociente el álgebra tensorial por relaciones que provienen de la forma simétrica y la forma cuadrática: vw + wv = 2 B ( v , w ) y. Si 2 es invertible, esta segunda relación se sigue de la primera (ya que la forma cuadrática se puede recuperar de la forma bilineal asociada), pero en 2 este refinamiento adicional es necesario.
Ejemplos de
Un ejemplo sencillo de una forma ε- cuadrática es la forma ε- cuadrática hiperbólica estándar . (Aquí, R *: = Hom R ( R , R ) denota el dual del R -módulo R. ) Está dado por la forma bilineal. La hiperbólica estándar ε se necesita forma -quadratic para la definición de L -teoría .
Para el campo de dos elementos R = F 2 no hay diferencia entre las formas cuadráticas (+1) y cuadráticas (-1), que simplemente se denominan formas cuadráticas . El invariante Arf de una forma cuadrática no singular sobre F 2 es un invariante valorado en F 2 con importantes aplicaciones tanto en álgebra como en topología, y juega un papel similar al que desempeña el discriminante de una forma cuadrática en característica no igual a dos.
Colectores
La parte libre del grupo de homología medio (con coeficientes enteros) de una variedad de dimensión uniforme orientada tiene una forma ε- simétrica, a través de la dualidad de Poincaré , la forma de intersección . En el caso de una única dimensión par 4 k + 2 , esto es simétrico sesgado, mientras que para una dimensión doblemente par 4 k , esto es simétrico. Geométricamente, esto corresponde a la intersección, donde dos subvariedades n / 2-dimensionales en una variedad n- dimensional se cruzan genéricamente en una sub-múltiple 0-dimensional (un conjunto de puntos), agregando codimensión . Para una dimensión única, el orden cambia de signo, mientras que para una dimensión doblemente uniforme, el orden no cambia de signo, de ahí la ε -simetría. Los casos más simples son para el producto de esferas, donde el producto S 2 k × S 2 k y S 2 k +1 × S 2 k +1 respectivamente dan la forma simétrica y forma sesgada-simétrica En la dimensión dos, esto produce un toro y, tomando la suma conectada de g tori, se obtiene la superficie del género g , cuya homología media tiene la forma hiperbólica estándar.
Con una estructura adicional, esta ε forma -symmetric se puede refinar a un ε forma -quadratic. Para la dimensión doblemente par, esto se valora como un número entero, mientras que para la dimensión par simple, solo se define hasta la paridad y toma valores en Z / 2. Por ejemplo, dado un colector enmarcado , se puede producir tal refinamiento. Para una sola dimensión par, el invariante Arf de esta forma cuadrática sesgada es el invariante de Kervaire .
Dada una superficie orientada Σ incrustada en R 3 , el grupo de homología medio H 1 (Σ) lleva no solo una forma simétrica sesgada (a través de la intersección), sino también una forma cuadrática sesgada, que puede verse como un refinamiento cuadrático, a través de autoenlace. La forma sesgada-simétrica es invariante de la superficie Σ, mientras que la forma sesgada-cuadrática es invariante de la incrustación Σ ⊂ R 3 , por ejemplo, para la superficie Seifert de un nudo . El invariante Arf de la forma cuadrática sesgada es un invariante de cobordismo enmarcado que genera el primer grupo de homotopía estable .
Para el toro empotrado estándar , la forma simétrica sesgada viene dada por(con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento cuadrático-sesgado viene dado por xy con respecto a esta base: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : las curvas de base no se auto- Enlace; y Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) autoenlaces , como en la fibración de Hopf . (Esta forma tiene Arf invariante 0, y por lo tanto este toro incrustado tiene Kervaire invariante 0).
Aplicaciones
Una aplicación clave es la teoría de la cirugía algebraica , donde incluso los grupos L se definen como grupos de Witt de formas ε- cuadráticas, por CTCWall
Referencias
- ^ Ranicki, Andrew (2001). "Fundamentos de la cirugía algebraica". arXiv : matemáticas / 0111315 .