En matemáticas , dos medidas positivas (o con signo o complejas ) μ y ν definidas en un espacio medible (Ω, Σ) se llaman singulares si existen dos conjuntos disjuntos A y B en Σ cuya unión es Ω tal que μ es cero en todos subconjuntos medibles de B mientras que ν es cero en todos los subconjuntos medibles de una . Esto se denota por
Una forma refinada del teorema de descomposición de Lebesgue descompone una medida singular en una medida continua singular y una medida discreta . Consulte los ejemplos a continuación.
Ejemplos en R n
Como caso particular, una medida definida en el espacio euclidiano se llama singular , si es singular con respecto a la medida de Lebesgue en este espacio. Por ejemplo, la función delta de Dirac es una medida singular.
Ejemplo. Una medida discreta .
La función escalón Heaviside en la línea real ,
tiene la distribución delta de Dirac como su derivada distributiva . Esta es una medida en la línea real, una " masa puntual " en 0. Sin embargo, la medida de Dirac no es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue , ni es absolutamente continuo con respecto a : pero ; Sies cualquier conjunto abierto que no contenga 0, entonces pero .
Ejemplo. Una medida continua singular.
La distribución de Cantor tiene una función de distribución acumulativa que es continua pero no absolutamente continua , y de hecho su parte absolutamente continua es cero: es singular continua.
Ejemplo. Una medida continua singular en R 2 .
Los límites superior e inferior de Fréchet-Hoeffding son distribuciones singulares en dos dimensiones.
Ver también
Referencias
- Eric W Weisstein, Enciclopedia Concisa de Matemáticas de CRC, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2 .
- J Taylor, Introducción a la medida y la probabilidad , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9 .
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