En matemáticas , un mapa lineal es un mapeo entre dos módulos (incluidos los espacios vectoriales ) que conserva las operaciones de suma y multiplicación escalar .
Al estudiar los mapas lineales entre dos módulos, se puede obtener información sobre sus estructuras. Si los módulos tienen estructura adicional, como topologías o bornologías , entonces se puede estudiar el subespacio de mapas lineales que preservan esta estructura.
Topologías de convergencia uniforme en espacios arbitrarios de mapas
En todo momento asumimos lo siguiente:
- es cualquier conjunto no vacío y es una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por la inclusión de subconjuntos (es decir, para cualquier existe algo tal que ).
- es un espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexo).
- es una base de vecindarios de 0 en
- es un subespacio vectorial de [nota 1] denota el conjunto de todos-funciones valoradas con dominio
Para cualquier subconjunto y dejar
Barrios básicos en el origen
De ahora en adelante suponga que y
- Propiedades
es un subconjunto absorbente de si y solo si para todos absorbe . [1] Siestá equilibrado [1] (respectivamente, convexo ) entonces también lo es
- Relaciones algebraicas
- Si es un escalar entonces para que en particular, [1]
- para cualquier subconjunto y cualquier subconjunto no vacío [2] Para tales subconjuntos, se deduce que,
- Si luego [1]
- Si luego
- Para cualquier y subconjuntos de Si luego
- [3]
- [2]
- Para cualquier familia de subconjuntos de y cualquier familia de barrios del origen en [3]
-topología
Entonces la familia
Un subconjunto de se dice que es fundamental con respecto a si cada uno es un subconjunto de algún elemento en En este caso, la colección puede ser reemplazado por sin cambiar la topología en [5] También se puede reemplazar con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de sin cambiar el resultado -topología en [3]
- Definición : [2] Llamar a un subconjunto de -limitado si es un subconjunto acotado de para cada
Teorema [5] [2] - El-topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si cada es -encerrado; es decir, si y solo si para cada y cada está delimitado en
Redes y convergencia uniforme
- Definición : [2] Let y deja ser una red en Entonces, para cualquier subconjunto de dilo converge uniformemente a en si por cada existe algo tal que por cada satisfactorio (o equivalente, para cada ).
Teorema [2] - Si y si es una red en luego en el -topología en si y solo si para cada converge uniformemente a en
Propiedades heredadas
- Convexidad local
Si es localmente convexo, entonces también lo es el-topología en y si es una familia de seminormas continuos que generan esta topología en entonces el -La topología es inducida por la siguiente familia de seminormas:
- Hausdorffness
Si es Hausdorff y entonces el -topología en es Hausdorff. [2]
Suponer que es un espacio topológico. Sies Hausdorff y es el subespacio vectorial de que consta de todos los mapas continuos que están delimitados en cada y si es denso en entonces el -topología en es Hausdorff.
- Delimitación
Un subconjunto de está delimitado en el-topología si y solo si para cada está delimitado en [7]
Ejemplos de topologías 𝒢
- Convergencia puntual
Si dejamos ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de entonces el -topología en se denomina topología de convergencia puntual . La topología de la convergencia puntual en es idéntica a la topología subespacial que hereda de Cuándo está dotado de la topología de producto habitual .
Si es un espacio topológico de Hausdorff no trivial completamente regular y es el espacio de todas las funciones continuas de valor real (o complejo) en la topología de la convergencia puntual en es metrizable si y solo sies contable. [2]
𝒢-topologías en espacios de mapas lineales continuos
A lo largo de esta sección asumiremos que y son espacios vectoriales topológicos . será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por la inclusión.
- Notación : denotará el espacio vectorial de todos los mapas lineales continuos de dentro Si se le da el -topología heredada de entonces este espacio con esta topología se denota por .
- Notación : El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico. sobre el campo (que asumiremos que son números reales o complejos ) es el espacio vectorial y se denota por .
La -topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si para todos y todo el conjunto está delimitado en que asumiremos que es el caso para el resto del artículo. Tenga en cuenta en particular que este es el caso siconsiste en (von-Neumann) subconjuntos acotados de
Supuestos sobre 𝒢
- Supuestos que garantizan una topología vectorial
- Supuesto ( está dirigido): será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por la inclusión (subconjunto). Es decir, para cualquier existe tal que .
La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos forma una base de filtro . La siguiente suposición garantizará que los conjuntosestán equilibrados . Cada TV tiene una base de vecindario en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es molesta.
- Supuesto ( están equilibrados): es una base de barrios del origen en que consiste en su totalidad en conjuntos equilibrados .
La siguiente suposición se hace con mucha frecuencia porque garantizará que cada conjunto está absorbiendo en
- Supuesto ( están delimitados): se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de
- Otros supuestos posibles
El siguiente teorema da formas en las que se puede modificar sin cambiar el resultado -topología en
Teorema [1] - Sea ser una colección no vacía de subconjuntos acotados de Entonces el -topología en no se altera si se reemplaza por cualquiera de las siguientes colecciones de subconjuntos (también delimitados) de :
- todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en ;
- todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en ;
- todas las sumas finitas de conjuntos de Minkowski en;
- el casco equilibrado de cada set en;
- el cierre de cada set en ;
y si y son localmente convexas, entonces podemos agregar a esta lista:
- el casco cerrado convexo equilibrado de cada conjunto en
- Supuestos comunes
Algunos autores (por ejemplo, Narici) requieren que satisfacer la siguiente condición, que implica, en particular, que está dirigido por la inclusión de subconjuntos:
- se supone que es cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en pertenece a ).
Algunos autores (por ejemplo, Trèves) requieren que estar dirigido bajo la inclusión de subconjuntos y que satisfaga la siguiente condición:
- Si y es un escalar, entonces existe un tal que
Si es una bornología enque es a menudo el caso, entonces estos axiomas quedan satisfechos. Sies una familia saturada de subconjuntos acotados de entonces estos axiomas también se satisfacen.
Propiedades
- Hausdorffness
- Definición : [8] Si es un televisor, entonces decimos que es total ensi el tramo lineal de es denso en
Si es el subespacio vectorial de que consta de todos los mapas lineales continuos que están delimitados en cada entonces el -topología en es Hausdorff si es Hausdorff y es total en [1]
- Lo completo
Para los siguientes teoremas, suponga que es un espacio vectorial topológico y es un espacios de Hausdorff localmente convexos y es una colección de subconjuntos acotados de que cubre está dirigido por la inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si y es un escalar, entonces existe un tal que
- está completo si
- es localmente convexa y Hausdorff,
- está completo, y
- cuando sea es un mapa lineal entonces restringido a todos los conjuntos es continuo implica que es continuo,
- Si es un espacio Mackey entonces está completo si y solo si ambos y están completos.
- Si es cañón entonceses Hausdorff y cuasi-completo .
- Dejar y ser televisores con cuasi-completo y suponga que (1)tiene cañón , o si no (2)es un espacio de Baire y y son localmente convexas. Si cubre entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de está completo en y es casi completo. [9]
- Dejar ser un espacio borológico , un espacio localmente convexo, y una familia de subconjuntos acotados de tal que el rango de cada secuencia nula en está contenido en algunos Si es cuasi-completo (resp. completo) entonces también lo es. [10]
- Delimitación
Dejar y ser espacios vectoriales topológicos y ser un subconjunto de Entonces los siguientes son equivalentes: [7]
- está delimitado en;
- Para cada está delimitado en ; [7]
- Para cada barrio del origen en el conjunto absorbe cada
Además,
- Si y son localmente convexos en el espacio de Hausdorff y si está delimitado en (es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado) entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos, equilibrados, acotados y completos de [11]
- Si y son espacios de Hausdorff localmente convexos y si es cuasi-completo (es decir, los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces los subconjuntos acotados de son idénticos para todos -topologías donde es cualquier familia de subconjuntos acotados de cubierta [11]
- Si es cualquier colección de subconjuntos acotados de cuya unión es total en entonces cada subconjunto equicontinuo de está delimitado en el -topología. [9]
Ejemplos de
("topología de convergencia uniforme en ...") | Notación | Nombre ("topología de ...") | nombre alternativo |
---|---|---|---|
subconjuntos finitos de | puntual / convergencia simple | topología de convergencia simple | |
subconjuntos precompactos de | convergencia precompacta | ||
subconjuntos convexos compactos de | convergencia convexa compacta | ||
subconjuntos compactos de | convergencia compacta | ||
subconjuntos acotados de | convergencia acotada | topología fuerte |
La topología de la convergencia puntual
Dejando ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de tendrá la topología débil eno la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y con esta topología se denota por . Desafortunadamente, esta topología a veces también se denomina topología de operador fuerte , lo que puede generar ambigüedad; [1] por esta razón, este artículo evitará referirse a esta topología con este nombre.
- Definición : un subconjunto de se llama simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en .
La topología débil en tiene las siguientes propiedades:
- Si es separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y si es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces cada subconjunto equicontinuo de es metrizable; si además es separable entonces también lo es [12]
- En particular, en cada subconjunto equicontinuo de la topología de la convergencia puntual es metrizable.
- Dejar denotar el espacio de todas las funciones de dentro Si se le da la topología de convergencia puntual y luego el espacio de todos los mapas lineales (continuos o no) dentro está cerrado en .
- Además, es denso en el espacio de todos los mapas lineales (continuo o no) dentro
- Suponer y son localmente convexas. Cualquier subconjunto simplemente acotado de está limitado cuando tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos, equilibrados , acotados y completos de Si además es cuasi-completo, entonces las familias de subconjuntos acotados de son idénticos para todos -topologías en tal que es una familia de conjuntos acotados que cubren [11]
- Subconjuntos equicontinuos
- El cierre débil de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo.
- Si es localmente convexo, entonces el casco convexo equilibrado de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo.
- Dejar y ser TVS y asumir que (1) tiene cañón , o si no (2)es un espacio de Baire y y son localmente convexas. Entonces cada subconjunto simplemente acotado dees equicontinuo. [9]
- En un subconjunto equicontinuo de las siguientes topologías son idénticas: (1) topología de convergencia puntual en un subconjunto total de ; (2) la topología de la convergencia puntual; (3) la topología de la convergencia precompacta. [9]
Convergencia compacta
Dejando ser el conjunto de todos los subconjuntos compactos de tendrá la topología de convergencia compacta o la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos y con esta topología se denota por .
La topología de la convergencia compacta en tiene las siguientes propiedades:
- Si es un espacio de Fréchet o un espacio LF y sies un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces Esta completo.
- En subconjuntos equicontinuos de coinciden las siguientes topologías:
- La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso de
- La topología de la convergencia puntual en
- La topología de la convergencia compacta.
- La topología de la convergencia precompacta.
- Si es un espacio de Montel y es un espacio vectorial topológico, entonces y tienen topologías idénticas.
Topología de convergencia acotada
Dejando ser el conjunto de todos los subconjuntos acotados de tendrá la topología de convergencia acotada eno la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y con esta topología se denota por . [1]
La topología de la convergencia acotada en tiene las siguientes propiedades:
- Si es un espacio bornológico y sies un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces Esta completo.
- Si y son espacios normativos, entonces la topología en inducida por la norma de operador habitual es idéntica a la topología en . [1]
- En particular, si es un espacio normado, entonces la topología de norma habitual en el espacio dual continuo es idéntica a la topología de convergencia acotada en .
- Cada subconjunto equicontinuo de está delimitado en .
Topologías polares
En todo momento, asumimos que es un televisor.
-topologías versus topologías polares
Si es un TVS cuyos subconjuntos delimitados son exactamente los mismos que sus subconjuntos delimitados débilmente (por ejemplo, si es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces un -topología en (como se define en este artículo) es una topología polar y, a la inversa, toda topología polar si una-topología. En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo se pueden aplicar a topologías polares.
Sin embargo, si es un TVS cuyos subconjuntos delimitados no son exactamente iguales a sus subconjuntos delimitados débilmente , entonces la noción de "delimitado en"es más fuerte que la noción de"-limitado en "(es decir, delimitado en implica -limitado en ) para que un -topología en (como se define en este artículo) no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares siempre son localmente convexas mientras que-Las topologías no tienen por qué serlo.
Las topologías polares tienen resultados más sólidos que las topologías más generales de convergencia uniforme descritas en este artículo y remitimos la lectura al artículo principal: topología polar . Enumeramos aquí algunas de las topologías polares más comunes.
Lista de topologías polares
Suponer que es un TVS cuyos subconjuntos delimitados son los mismos que sus subconjuntos delimitados débilmente.
- Notación : si denota una topología polar en luego dotados con esta topología se denotarán por o simplemente (por ejemplo, para tendríamos así que eso y todo denota con dotado de ).
> ("topología de convergencia uniforme en ...") | Notación | Nombre ("topología de ...") | nombre alternativo |
---|---|---|---|
subconjuntos finitos de | puntual / convergencia simple | topología débil / débil * | |
-compact discos | Topología de Mackey | ||
-subconjuntos convexos compactos | convergencia convexa compacta | ||
-subconjuntos compactos (o equilibrados-subconjuntos compactos) | convergencia compacta | ||
-subconjuntos delimitados | convergencia acotada | topología fuerte |
Topologías 𝒢-ℋ en espacios de mapas bilineales
Dejaremos denotar el espacio de mapas bilineales continuos por separado y denotar el espacio de mapas bilineales continuos, donde y son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo campo (ya sean números reales o complejos). De forma análoga a cómo colocamos una topología en podemos colocar una topología en y .
Dejar (resp. ) ser una familia de subconjuntos de (resp. ) que contiene al menos un conjunto no vacío. Dejar denotar la colección de todos los conjuntos dónde Podemos colocar en la -topología, y en consecuencia en cualquiera de sus subconjuntos, en particular en y en . Esta topología se conoce como-topología o como topología de convergencia uniforme en los productos de .
Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de o de sin el requisito adicional de que para todos los mapas bilineales, en este espacio (es decir, en o en ) y para todos y el conjunto está delimitado en Si ambos y consisten en conjuntos acotados, entonces este requisito se satisface automáticamente si estamos topologizando pero este puede no ser el caso si estamos tratando de topologizar . La-topología en será compatible con la estructura del espacio vectorial de si ambos y consta de conjuntos acotados y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
- y son espacios con barriles y es localmente convexo.
- es un espacio F , es metrizable y es Hausdorff, en cuyo caso
- y son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet.
- está normalizado y y los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet.
La topología ε
Suponer que y son espacios localmente convexos y dejan y ser las colecciones de subconjuntos equicontinuos de y , respectivamente. Entonces el-topología en será una topología de espacio vectorial topológico. Esta topología se llama topología ε y con esta topología se denota por o simplemente por
Parte de la importancia de este espacio vectorial y esta topología es que contiene muchos subespacios, como que denotamos por Cuando a este subespacio se le da la topología subespacial de se denota por
En el caso donde es el campo de estos espacios vectoriales, es un producto tensorial de y De hecho, si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces es el espacio vectorial isomorfo a que a su vez es igual a
Estos espacios tienen las siguientes propiedades:
- Si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces está completo si y solo si ambos y están completos.
- Si y son ambos normativos (respectivamente, ambos Banach) entonces también lo es
Ver también
- Espacio bornológico : un espacio vectorial topológico donde cualquier operador lineal acotado en otro espacio es siempre continuo.
- Operador lineal acotado
- Sistema dual
- Topología dual
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Norma de operador : medida del "tamaño" de los operadores lineales
- Topología polar: topología de espacio dual de convergencia uniforme en algunas subconjuntos de subconjuntos delimitados
- Fuerte espacio dual: espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos delimitados
- Topología fuerte (topología polar)
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
- Convergencia uniforme
- Espacio uniforme: espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
- Topología débil : topología en la que la convergencia de puntos se define por la convergencia de su imagen en funcionales lineales continuos
Referencias
- ^ Porque es solo un conjunto que aún no se supone que esté dotado de ninguna estructura de espacio vectorial, aún no debe suponerse que consta de mapas lineales, que es una notación que actualmente no se puede definir.
- ↑ a b c d e f g h i Narici y Beckenstein 2011 , págs. 371-423.
- ↑ a b c d e f g h Jarchow , 1981 , págs. 43-55.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 19-45.
- ^ Tenga en cuenta que cada conjuntoes una vecindad del origen para esta topología, pero no es necesariamente una vecindad abierta del origen.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 79-88.
- ^ En la práctica, generalmente consiste en una colección de conjuntos con ciertas propiedades y este nombre se cambia apropiadamente para reflejar este conjunto de modo que si, por ejemplo, es la colección de subconjuntos compactos de (y es un espacio topológico), entonces esta topología se denomina topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de
- ↑ a b c d Schaefer y Wolff , 1999 , p. 81.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 80.
- ↑ a b c d Schaefer y Wolff , 1999 , p. 83.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 117.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , p. 82.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 87.
Bibliografía
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. Xii + 144. ISBN 0-7204-0712-5. Señor 0500064 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .