En matemáticas , una variedad sub-riemanniana es un cierto tipo de generalización de una variedad riemanniana . En términos generales, para medir distancias en una variedad sub-Riemanniana, solo se le permite ir a lo largo de curvas tangentes a los llamados subespacios horizontales .
Las variedades sub-riemannianas (y así, a fortiori , las variedades riemannianas) llevan una métrica intrínseca natural llamada métrica de Carnot-Carathéodory . La dimensión de Hausdorff de tales espacios métricos es siempre un número entero y más grande que su dimensión topológica (a menos que sea en realidad una variedad de Riemann).
Las variedades sub-riemannianas a menudo ocurren en el estudio de sistemas restringidos en la mecánica clásica , como el movimiento de vehículos en una superficie, el movimiento de brazos robóticos y la dinámica orbital de satélites. Las cantidades geométricas como la fase Berry pueden entenderse en el lenguaje de la geometría subriemanniana. El grupo de Heisenberg , importante para la mecánica cuántica , tiene una estructura subriemanniana natural.
Definiciones
Por una distribución ennos referimos a un subconjunto del paquete tangente de.
Dada una distribución un campo vectorial en se llama horizontal . Una curva en se llama horizontal si para cualquier .
Una distribución en se llama completamente no integrable si por algunatenemos que cualquier vector tangente se puede presentar como una combinación lineal de vectores de los siguientes tipos donde todos los campos vectoriales son horizontales.
Una variedad subriemanniana es una triple, dónde es una variedad diferenciable ,es una distribución "horizontal" completamente no integrable yes una sección suave de formas cuadráticas definidas positivas en.
Cualquier variedad subriemanniana lleva la métrica intrínseca natural , llamada métrica de Carnot-Carathéodory , definida como
donde infimum se toma a lo largo de todas las curvas horizontales tal que , .
Ejemplos de
La posición de un automóvil en el avión está determinada por tres parámetros: dos coordenadas y para la ubicación y el ángulo que describe la orientación del coche. Por lo tanto, la posición del automóvil se puede describir mediante un punto en un colector
Uno puede preguntarse, ¿cuál es la distancia mínima que se debe conducir para llegar de una posición a otra? Esto define una métrica de Carnot-Carathéodory en la variedad
Se puede construir un ejemplo estrechamente relacionado de una métrica subriemanniana en un grupo de Heisenberg : tome dos elementos y en el álgebra de Lie correspondiente tal que
abarca todo el álgebra. La distribución horizontal abarcado por desplazamientos a la izquierda de y es completamente no integrable . Luego, eligiendo cualquier forma cuadrática positiva suave en da una métrica sub-Riemanniana en el grupo.
Propiedades
Para cada variedad subriemanniana, existe un hamiltoniano , llamado hamiltoniano subriemanniano , construido a partir de la métrica de la variedad. A la inversa, cada hamiltoniano cuadrático de este tipo induce una variedad subriemanniana. La existencia de geodésicas de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi correspondientes para el hamiltoniano sub-Riemanniano viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii .
Ver también
- Grupo de Carnot , una clase de grupos de Lie que forman variedades subriemannianas
- Distribución
Referencias
- Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Geometría subriemanniana , Progreso en matemáticas, 144 , Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821
- Gromov, Mikhael (1996), "Espacios Carnot-Carathéodory vistos desde dentro", en Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Geometría sub-Riemanniana (PDF) , Progr. Math., 144 , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, MR 1421823
- Le Donne, Enrico, Notas de la conferencia sobre geometría subriemanniana (PDF)
- Montgomery, Richard (2002), A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications , Mathematical Surveys and Monographs, 91 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9