En álgebra lineal , una función sublineal (o funcional como se usa con más frecuencia en el análisis funcional ), también llamada cuasi seminorma o funcional de Banach , en un espacio vectorial es una verdadera -valued función con sólo algunas de las propiedades de un seminorma . A diferencia de los seminormales, una función sublineal no tiene que ser valorada no negativa y tampoco tiene que ser absolutamente homogénea . Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de normas , donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma, excepto que no es necesario mapear vectores distintos de cero a valores distintos de cero.
En el análisis funcional, a veces se usa el nombre funcional de Banach , lo que refleja que se usan más comúnmente cuando se aplica una formulación general del teorema de Hahn-Banach . Stefan Banach introdujo la noción de función sublineal cuando demostró su versión del teorema de Hahn-Banach . [1]
También existe una noción diferente en informática , que se describe a continuación, que también se conoce con el nombre de "función sublineal".
Definiciones
Dejar ser un espacio vectorial sobre un campo dónde son los números reales o números complejos Una función de valor real en se llama función sublineal (o funcional sublineal si), y también a veces llamado cuasi-seminorm o funcional de Banach , si tiene estas dos propiedades: [1]
- Homogeneidad positiva / homogeneidad no negativa : por cualquier real y cualquier ; y
- Subaditividad / desigualdad triangular : para todos
- Esta condición de subaditividad requiere tener un valor real.
Una función sublineal se llama positivo [2] o no negativo si para todos
El conjunto de todas las funciones sublineales en denotado por se puede ordenar parcialmente declarando si y solo si para todos Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo debajo esta orden. Una función sublineal es mínima si y solo si es una función lineal real . [1]
Ejemplos y condiciones suficientes
Cada seminorma y norma es una función sublineal y cada funcional lineal real es una función sublineal. Lo contrario no es cierto en general.
Si y son funciones sublineales en un espacio vectorial real entonces también lo es el mapa De manera más general, si es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real y si por todos luego es un funcional sublineal en [3]
El funcional lineal en es un funcional sublineal que no es positivo y no es seminormal. [3]
Propiedades
Toda función sublineal es una funcional convexa .
Si es una función sublineal de valor real en luego:
- [2] [prueba 1]
- para cada [prueba 2]
- para todos [2]
- El mapa definido por es un seminario sobre [2]
- Esto implica, en particular, que al menos uno de los y no es negativo.
- para todos [1] [prueba 3]
Seminario asociado
Si es una función sublineal de valor real en luego el mapa define un seminario sobre llamado seminorm asociado con[2]
Relación con funciones lineales
Si es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces los siguientes son equivalentes: [1]
- es un funcional lineal ;
- para cada ;
- para cada ;
- es una función sublineal mínima.
Si es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces existe un funcional lineal en tal que [1]
Si es un espacio vectorial real, es un funcional lineal en y es una función sublineal positiva en luego en si y solo si [1]
Continuidad
Teorema [4] - Suponga es una función subaditiva (es decir, para todos ). Luego es continua en el origen si y solo si es uniformemente continuo en Si satisface luego es continuo si y solo si su valor absoluto es continuo. Si es no negativo entonces es continuo si y solo si está abierto en
Suponer es un TVS sobre los números reales o complejos y es una función sublineal en Entonces los siguientes son equivalentes: [4]
- es continuo;
- es continuo en 0;
- es uniformemente continuo en ;
y si es positivo, entonces podemos agregar a esta lista:
- está abierto en
Si es un televisor real, es un funcional lineal en y es una función sublineal continua en luego en implica que es continuo. [4]
Relación con las funciones de Minkowski
Teorema [4] - Si es una vecindad abierta convexa del origen en luego el funcional de Minkowski de es una función sublineal continua no negativa en tal que ; si ademásestá equilibrado entonceses un seminario sobre
Relación con conjuntos convexos abiertos
Teorema [4] : suponga quees un TVS (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos de son exactamente los que tienen la forma para algunos y alguna función sublineal continua positiva en
Prueba |
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Dejar ser un subconjunto convexo abierto de Si entonces deja y de lo contrario deja ser arbitrario. Dejarser el funcional de Minkowski de dónde es una función sublineal continua en desde es convexo, absorbente y abierto ( sin embargo, no es necesariamente una seminorma ya que no se supuso que estuviera equilibrado). De las propiedades de los funcionales de Minkowski, se sabe que a partir del cual sigue. Pero como se desee. |
Operadores
El concepto se puede extender a operadores homogéneos y subaditivos. Esto solo requiere que el codominio sea, digamos, un espacio vectorial ordenado para dar sentido a las condiciones.
Definición informática
En informática , una funciónse llama sublineal si o en notación asintótica (observe la pequeña). Formalmente, si y solo si, para cualquier dado existe un tal que por [5] Es decir,crece más lento que cualquier función lineal. Los dos significados no deben confundirse: mientras que un funcional de Banach es convexo , casi lo contrario es cierto para las funciones de crecimiento sublineal: cada funciónpuede estar delimitado por una función cóncava de crecimiento sublineal. [6]
Ver también
- Teorema de Hahn-Banach
- Funcional lineal
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Seminorm
- Superaditividad
Notas
- ^ Utilizando y cualquier La homogeneidad no negativa implica que
- ^ que solo es posible si
- ^ que pasa si y solo si
Referencias
- ↑ a b c d e f g Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 177-220.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 120-121.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 177-221.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 192-193.
- ^ Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest y Clifford Stein (2001) [1990]. "3,1". Introducción a los algoritmos (2ª ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (29 de junio de 2017). Grupos, gráficas y paseos aleatorios . Cambridge. Lema 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC 948670194 .
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .