En topología , una rama de las matemáticas , un primer espacio contable es un espacio topológico que satisface el "primer axioma de contabilidad ". En concreto, un espaciose dice que es el primero en ser contable si cada punto tiene una base de vecindario contable (base local). Es decir, para cada punto en existe una secuencia de barrios de tal que para cualquier barrio de existe un entero con contenida en Dado que cada vecindario de cualquier punto contiene un vecindario abierto de ese punto, la base del vecindario puede elegirse sin pérdida de generalidad para que consista en vecindarios abiertos.
Ejemplos y contraejemplos
La mayoría de los espacios "cotidianos" en matemáticas son contables en primer lugar. En particular, cada espacio métrico es contable en primer lugar. Para ver esto, tenga en cuenta que el conjunto de bolas abiertas centradas en con radio para enteros forman una base local contable en
Un ejemplo de un espacio que no se puede contar primero es la topología de cofinitos en un conjunto incontable (como la línea real ).
Otro contraejemplo es el espacio ordinal dónde es el primer número ordinal incontable . El elementoes un punto límite del subconjunto aunque ninguna secuencia de elementos en tiene el elemento como su límite. En particular, el punto en el espacio No tiene local contable base. Desde es el único punto, sin embargo, el subespacio es el primero en contarse.
El espacio del cociente donde los números naturales en la línea real se identifican como un solo punto no es contable primero. [1] Sin embargo, este espacio tiene la propiedad de que para cualquier subconjunto y cada elemento en el cierre de hay una secuencia en A que converge a Un espacio con esta propiedad de secuencia a veces se denomina espacio de Fréchet-Urysohn .
La primera contabilización es estrictamente más débil que la segunda contabilización . Cada segundo espacio contable es el primero, pero cualquier espacio discreto incontable es el primero, pero no el segundo.
Propiedades
Una de las propiedades más importantes de los primeros espacios contables es que dado un subconjunto un punto radica en el cierre desi y solo si existe una secuencia en que converge a(En otras palabras, cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn y, por lo tanto, también un espacio secuencial ). Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . En particular, si es una función en un primer espacio contable, luego tiene un limite en el punto si y solo si para cada secuencia dónde para todos tenemos También si es una función en un primer espacio contable, luego es continuo si y solo si siempre luego
En los primeros espacios contables, la compacidad secuencial y la compacidad contable son propiedades equivalentes. Sin embargo, existen ejemplos de espacios secuencialmente compactos, primeros contables que no son compactos (estos son necesariamente espacios no métricos). Uno de esos espacios es el espacio ordinal Cada primer espacio contable se genera de forma compacta .
Cada subespacio de un primer espacio contable es el primero en contarse. Cualquier producto contable de un primer espacio contable es primero contable, aunque no es necesario que los productos incontables lo sean.
Ver también
- Segundo espacio contable: espacio topológico cuya topología tiene una base contable
- Espacio separable: espacio topológico con un subconjunto denso contable
Referencias
- ^ ( Engelking 1989 , ejemplo 1.6.18)
Bibliografía
- "primer axioma de contabilidad" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemáticas Puras, Vol. 6 (Ed. Revisada y completada). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.