Bereziniano

En matemáticas y física teórica , el bereziniano o superdeterminante es una generalización del determinante al caso de las supermatrices . El nombre es para Felix Berezin . El bereziniano juega un papel análogo al determinante cuando se consideran cambios de coordenadas para la integración en una supervariedad .

Definición

El bereziniano está determinado únicamente por dos propiedades definitorias:

• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }\,}$

donde str ( X ) denota la supertrace de X . A diferencia del determinante clásico, el bereziniano se define solo para supermatrices invertibles.

El caso más simple a considerar es el de un Berezinian supermatriz con entradas en un campo K . Tales supermatrices representan transformaciones lineales de un espacio vectorial súper sobre K . Una supermatriz par particular es una matriz de bloques de la forma

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}}$

Tal matriz es invertible si y sólo si ambos A y D son matrices invertibles más de K . El bereziniano de X viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}}$

Para una motivación del exponente negativo, vea la fórmula de sustitución en el caso impar.

De manera más general, considere matrices con entradas en un álgebra supercommutative R . Una supermatriz uniforme tiene entonces la forma

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

donde A y D tienen entradas pares y B y C tienen entradas impares. Tal matriz es invertible si y solo si tanto A como D son invertibles en el anillo conmutativo R ₀ (la subálgebra par de R ). En este caso el bereziniano viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}}$

o, de manera equivalente, por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.}$

Estas fórmulas están bien definidas ya que solo tomamos determinantes de matrices cuyas entradas están en el anillo conmutativo R ₀ . La matriz

${\displaystyle D-CA^{-1}B\,}$

se conoce como el complemento de Schur de A relativo a${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

Una matriz impar X solo puede invertirse si el número de dimensiones pares es igual al número de dimensiones impares. En este caso, la invertibilidad de X es equivalente a la invertibilidad de JX , donde

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

Entonces el bereziniano de X se define como

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.}$

Propiedades

• El bereziniano de es siempre una unidad en el ring R ₀ .${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)}$donde denota la supertransposición de .${\displaystyle X^{st}}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)}$

Módulo bereziniano

El determinante de un endomorfismo de un módulo libre de M se puede definir como la acción inducida en el 1-dimensional de energía exterior más alto de M . En el caso supersimétrico no hay un poder exterior más alto, pero todavía hay una definición similar del bereziniano de la siguiente manera.

Supongamos que M es un módulo libre de dimensión ( p , q ) sobre R . Deje A sea el (super) álgebra simétrica S * ( M *) de la doble M * de M . Entonces, un automorfismo de M actúa sobre el módulo ext.

${\displaystyle Ext_{A}^{p}(R,A)}$

(que tiene dimensión (1,0) si q es par y dimensión (0,1) si q es impar)) como multiplicación por el bereziniano.

Ver también

• Integración de Berezin

Referencias

• Berezin, Feliks Aleksandrovich (1966) [1965], El método de la segunda cuantificación , Física pura y aplicada, 24 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, MR  0208930
• Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)" , en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S .; Jeffrey, Lisa C .; Kazhdan, David; Morgan, John W .; Morrison, David R .; Witten., Edward (eds.), Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos, vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, MR  1701597
• Manin, Yuri Ivanovich (1997), Gauge Field Theory and Complex Geometry (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7