En geometría , un simetroedro es un poliedro de alta simetría que contiene polígonos regulares convexos en ejes de simetría con espacios en el casco convexo llenos de polígonos irregulares. El nombre fue acuñado por Craig S. Kaplan y George W. Hart . [1]
Los casos triviales son los sólidos platónicos , los sólidos de Arquímedes con todos los polígonos regulares. Una primera clase se llama pajarita que contiene pares de caras trapezoidales . Una segunda clase tiene caras de cometas . Otra clase se llama simetroedros LCM .
Notación simbólica
Cada simetroedro se describe mediante una expresión simbólica G (l; m; n; α). G representa el grupo de simetría (T, O, I). Los valores l, myn son los multiplicadores; un multiplicador de m hará que se coloque un km-gon regular en cada eje k-veces de G. En la notación, se supone que los grados de los ejes están ordenados en orden descendente, 5,3,2 para I, 4,3 , 2 para O y 3,3,2 para T. También permitimos dos valores especiales para los multiplicadores: *, que indica que no se deben colocar polígonos en los ejes dados, y 0, que indica que el sólido final debe tener un vértice (un polígono de lados cero) en los ejes. Requerimos que uno o dos de l, myn sean números enteros positivos. El parámetro final, α, controla los tamaños relativos de los ejes-gones no degenerados.
La notación de poliedros de Conway es otra forma de describir estos poliedros, comenzando con una forma regular y aplicando operadores de prefijo. La notación no implica qué caras deben hacerse regulares más allá de las soluciones uniformes de los sólidos de Arquímedes .
1 punto generador
Estos simetroedros son producidos por un solo punto generador dentro de un dominio fundamental, simetría reflectante a través de los límites del dominio. Los bordes existen perpendiculares a cada límite de triángulo, y existen caras regulares centradas en cada una de las 3 esquinas del triángulo.
El symmetrohedra puede extenderse a mosaicos euclidianos, utilizando la simetría del mosaico cuadrado regular y pares duales de mosaicos triangulares y hexagonales . Tilings, Q es simetría cuadrada p4m, H es simetría hexagonal p6m.
Existen diagramas de Coxeter-Dynkin para estas soluciones de poliedros uniformes , que representan la posición del punto generador dentro del dominio fundamental. Cada nodo representa uno de los 3 espejos en el borde del triángulo. Un nodo espejo está anillado si el punto generador está activo, fuera del espejo y crea nuevos bordes entre el punto y su imagen reflejada.
Dominio | Bordes | Tetraédrico (3 3 2) | Octaédrico (4 3 2) | Icosaédrico (5 3 2) | Triangular (6 3 2) | Cuadrado (4 4 2) | |||||||
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Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Doble | Símbolo | Imagen | Doble | ||
1 | T (1; *; *; e) T , | C , O (1; *; *; e) | I (1; *; *; e) D , | H (1; *; *; e) H , | Q (1; *; *; e) Q , | ||||||||
1 | T (*; 1; *; e) dT , | O (*; 1; *; e) O , | Yo (*; 1; *; e) yo , | H (*; 1; *; e) dH , | Q (*; 1; *; e) dQ , | ||||||||
2 | T (1; 1; *; e) aT , | O (1; 1; *; e) aC , | I (1; 1; *; e) aD , | H (1; 1; *; e) aH , | Q (1; 1; *; e) aQ , | ||||||||
3 | T (2; 1; *; e) tT , | O (2; 1; *; e) tC , | I (2; 1; *; e) tD , | H (2; 1; *; e) tH , | Q (2; 1; *; e) tQ , | ||||||||
3 | T (1; 2; *; e) dtT , | O (1; 2; *; e) tO , | I (1; 2; *; e) tI , | H (1; 2; *; e) dtH , | Q (1; 2; *; e) dtQ , | ||||||||
4 | T (1; 1; *; 1) eT , | O (1; 1; *; 1) eC , | I (1; 1; *; 1) eD , | H (1; 1; *; 1) eH , | Q (1; 1; *; 1) eQ , | ||||||||
6 | T (2; 2; *; e) bT , | O (2; 2; *; e) bC , | I (2; 2; *; e) bD , | H (2; 2; *; e) bH , | Q (2; 2; *; e) bQ , |
2 puntos generadores
Dominio | Bordes | Tetraédrico (3 3 2) | Octaédrico (4 3 2) | Icosaédrico (5 3 2) | Triangular (6 3 2) | Cuadrado (4 4 2) | |||||||
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Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Doble | Símbolo | Imagen | Doble | ||
6 | T (1; 2; *; [2]) atT | O (1; 2; *; [2]) atO | I (1; 2; *; [2]) atI | H (1; 2; *; [2]) enΔ | Q (1; 2; *; [2]) Q (2; 1; *; [2]) atQ | ||||||||
6 | O (2; 1; *; [2]) atC | I (2; 1; *; [2]) enD | H (2; 1; *; [2]) atH | ||||||||||
7 | T (3; *; *; [2]) T (*; 3; *; [2]) dKdT | O (3; *; *; [2]) dKdC | I (3; *; *; [2]) dKdD | H (3; *; *; [2]) dKdH | Q (3; *; *; [2]) Q (*; 3; *; [2]) dKQ | ||||||||
7 | O (*; 3; *; [2]) dKdO | I (*; 3; *; [2]) dKdI | H (*; 3; *; [2]) dKdΔ | ||||||||||
8 | T (2; 3; *; α) T (3; 2; *; α) dM 0 T | O (2; 3; *; α) dM 0 dO | I (2; 3; *; α) dM 0 dI | H (2; 3; *; α) dM 0 dΔ | Q (2; 3; *; α) Q (3; 2; *; α) dM 0 Q | ||||||||
8 | O (3; 2; *; α) dM 0 dC | I (3; 2; *; α) dM 0 dD | H (3; 2; *; α) dM 0 dH | ||||||||||
9 | T (2; 4; *; e) T (4; 2; *; e) ttT | O (2; 4; *; e) ttO | I (2; 4; *; e) ttI | H (2; 4; *; e) ttΔ | Q (4; 2; *; e) Q (2; 4; *; e) ttQ | ||||||||
9 | O (4; 2; *; e) ttC | I (4; 2; *; e) ttD | H (4; 2; *; e) ttH | ||||||||||
7 | T (2; 1; *; 1) T (1; 2; *; 1) dM 3 T | O (1; 2; *; 1) dM 3 O | Yo (1; 2; *; 1) dM 3 I | H (1; 2; *; 1) dM 3 Δ | Q (2; 1; *; 1) Q (1; 2; *; 1) dM 3 dQ | ||||||||
7 | O (2; 1; *; 1) dM 3 C | Yo (2; 1; *; 1) dM 3 D | H (2; 1; *; 1) dM 3 H | ||||||||||
9 | T (2; 3; *; e) T (3; 2; *; e) dm 3 T | O (2; 3; *; e) dm 3 C | Yo (2; 3; *; e) dm 3 D | H (2; 3; *; e) dm 3 H | Q (2; 3; *; e) Q (3; 2; *; e) dm 3 Q | ||||||||
9 | O (3; 2; *; e) dm 3 O | Yo (3; 2; *; e) dm 3 yo | H (3; 2; *; e) dm 3 Δ | ||||||||||
10 | T (2; *; 3; e) T (*; 2; 3; e) dXdT 3.4.6.6 | O (*; 2; 3; e) dXdO | I (*; 2; 3; e) dXdI | H (*; 2; 3; e) dXdΔ | Q (2; *; 3; e) Q (*; 2; 3; e) dXdQ | ||||||||
10 | O (2; *; 3; e) dXdC 3.4.6.8 | I (2; *; 3; e) dXdD 3.4.6.10 | H (2; *; 3; e) dXdH 3.4.6.12 |
3 puntos generadores
Dominio | Bordes | Tetraédrico (3 3 2) | Octaédrico (4 3 2) | Icosaédrico (5 3 2) | Triangular (6 3 2) | Cuadrado (4 4 2) | |||||||
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Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Símbolo | Imagen | Doble | Símbolo | Imagen | Doble | ||
6 | T (2; 0; *; [1]) | O (0; 2; *; [1]) dL 0 dO | I (0; 2; *; [1]) dL 0 dI | H (0; 2; *; [1]) dL 0 H | Q (2; 0; *; [1]) Q (0; 2; *; [1]) dL 0 dQ | ||||||||
6 | O (2; 0; *; [1]) dL 0 dC | I (2; 0; *; [1]) dL 0 dD | H (2; 0; *; [1]) dL 0 Δ | ||||||||||
7 | T (3; 0; *; [2]) | O (0; 3; *; [2]) dLdO | I (0; 3; *; [2]) dLdI | H (0; 3; *; [2]) dLH | Q (2; 0; *; [1]) Q (0; 2; *; [2]) dLQ | ||||||||
7 | O (3; 0; *; [2]) dLdC | I (3; 0; *; [2]) dLdD | H (3; 0; *; [2]) dLΔ | ||||||||||
12 | T (2; 2; *; a) amT | O (2; 2; *; a) amC | Yo (2; 2; *; a) amD | H (2; 2; *; a) amH | Q (2; 2; *; a) amQ |
Ver también
- Casi fallado Johnson solid
- Notación de poliedro de Conway
Referencias
- ^ Symmetrohedra: poliedros de la colocación simétrica de polígonos regulares
enlaces externos
- Symmetrohedra
- Antiprism Software gratuito que incluye Symmetro para generar y visualizar estos poliedros con notación Kaplan-Hart.