K-estabilidad

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y algebraica , la estabilidad K es una condición de estabilidad algebro-geométrica , para variedades complejas y variedades algebraicas complejas . La noción de estabilidad K fue introducida por primera vez por Gang Tian ^[1] y reformulada más algebraicamente más tarde por Simon Donaldson . ^[2] La definición se inspiró en una comparación con la estabilidad de la teoría geométrica invariante (GIT). En el caso especial de las variedades Fano , la estabilidad K caracteriza precisamente la existencia deMétricas de Kähler–Einstein . De manera más general, en cualquier variedad compleja compacta, se conjetura que la estabilidad K es equivalente a la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante ( métricas cscK ).

En 1954, Eugenio Calabi formuló una conjetura sobre la existencia de métricas de Kähler en variedades compactas de Kähler , ahora conocida como la conjetura de Calabi . ^[3] Una formulación de la conjetura es que una variedad compacta de Kähler admite una única métrica de Kähler-Einstein en la clase . En el caso particular donde , dicha métrica de Kähler-Einstein sería Ricci plana , lo que hace que la variedad sea una variedad de Calabi-Yau . La conjetura de Calabi se resolvió en el caso donde por Thierry Aubin y Shing-Tung Yau , y cuando por Yau. ^{[4] [5]}${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización c_ {1} (X)}$${\ estilo de visualización c_ {1} (X) = 0}$${\ estilo de visualización c_ {1} (X) <0}$${\ estilo de visualización c_ {1} (X) = 0}$^[6] En el caso enque , es decir, cuandoes una variedad de Fano , no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Es decir, se sabía por el trabajo de Yozo Matsushima y André Lichnerowicz que una variedad de Kählersolo puede admitir una métrica de Kähler-Einstein si el álgebra de Lie es reductiva . ^{[7] [8]} Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que la explosión del plano proyectivo complejo en un puntoes Fano, pero no tiene álgebra de Lie reductiva. Por lo tanto, no todas las variedades de Fano pueden admitir métricas de Kähler-Einstein.${\ estilo de visualización c_ {1} (X)> 0}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización c_ {1} (X)> 0}$ ${\ estilo de visualización H ^ {0} (X, TX)}$${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

Después de la resolución de la conjetura de Calabi, la atención se centró en el problema vagamente relacionado de encontrar métricas canónicas en paquetes de vectores sobre variedades complejas. En 1983, Donaldson produjo una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri . ^[9] Como demostró Donaldson, el teorema establece que un fibrado vectorial holomorfo sobre una superficie compacta de Riemann es estable si y solo si corresponde a una conexión unitaria irreducible de Yang-Mills . Es decir, una conexión unitaria que es un punto crítico del funcional de Yang-Mills ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$