Los fundamentos de la aritmética (en alemán : Die Grundlagen der Arithmetik ) es un libro de Gottlob Frege , publicado en 1884, que investiga losfundamentos filosóficos de la aritmética . Frege refuta otras teorías de los números y desarrolla su propia teoría de los números. El Grundlagen también ayudó a motivar los trabajos posteriores de Frege en el logicismo . El libro no fue bien recibido y no se leyó mucho cuando se publicó. Sin embargo, atrajo la atención de Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein., quienes fueron fuertemente influenciados por la filosofía de Frege. JL Austin publicó una traducción al inglés (Oxford, 1950) , con una segunda edición en 1960. [1]
Autor | Gottlob Frege |
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Titulo original | Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathische Untersuchung über den Begriff der Zahl |
Traductor | JL Austin |
País | Alemania |
Idioma | alemán |
Sujeto | Filosofía de las matemáticas |
Publicado | 1884 |
Paginas | 119 (original en alemán) |
ISBN | 0810106051 |
OCLC | 650 |
Críticas a los predecesores
Relatos psicologistas de las matemáticas
Frege se opone a cualquier explicación de las matemáticas basada en el psicologismo , que es la opinión de que las matemáticas y los números son relativos a los pensamientos subjetivos de las personas que piensan en ellos. Según Frege, las explicaciones psicológicas apelan a lo subjetivo, mientras que las matemáticas son puramente objetivas: las matemáticas son completamente independientes del pensamiento humano. Las entidades matemáticas, según Frege, tienen propiedades objetivas independientemente de que los humanos piensen en ellas: no es posible pensar en los enunciados matemáticos como algo que evolucionó naturalmente a través de la historia y la evolución humanas . Ve una distinción fundamental entre lógica (y su extensión, según Frege, matemáticas) y psicología. La lógica explica los hechos necesarios, mientras que la psicología estudia ciertos procesos de pensamiento en las mentes individuales. [2]
Kant
Frege aprecia mucho el trabajo de Immanuel Kant . Lo critica principalmente sobre la base de que los enunciados numéricos no son sintéticos , a priori , sino analíticos, a priori. [3] Kant afirma que 7 + 5 = 12 es un enunciado sintético indemostrable. [4] No importa cuánto analicemos la idea de 7 + 5, no encontraremos allí la idea de 12. Debemos llegar a la idea de 12 por aplicación a objetos en la intuición. Kant señala que esto se vuelve aún más claro con números más grandes. Frege, en este punto precisamente, argumenta en la dirección opuesta. Kant asume erróneamente que en una proposición que contiene números "grandes" debemos contar puntos o algo por el estilo para afirmar su valor de verdad . Frege sostiene que, sin haber tenido nunca intuición alguna sobre ninguno de los números de la siguiente ecuación: 654,768 + 436,382 = 1,091,150, podemos afirmar que es cierto. Esto se proporciona como evidencia de que tal proposición es analítica. Si bien Frege está de acuerdo en que la geometría es sintética a priori, la aritmética debe ser analítica. [5]
Molino
Frege critica rotundamente el empirismo de John Stuart Mill . [6] [7] Afirma que la idea de Mill de que los números corresponden a las diversas formas de dividir colecciones de objetos en subcolecciones es inconsistente con la confianza en los cálculos que involucran grandes números. [8] [9] También niega que la filosofía de Mill trate adecuadamente el concepto de cero . [10] Continúa argumentando que la operación de adición no puede entenderse como una referencia a cantidades físicas, y que la confusión de Mill en este punto es un síntoma de un problema mayor de confundir las aplicaciones de la aritmética con la aritmética misma.
Desarrollo de la propia visión de Frege de un número
Frege hace una distinción entre enunciados numéricos particulares como 1 + 1 = 2 y enunciados generales como a + b = b + a. Los últimos son enunciados verdaderos de números tan bien como los primeros. Por tanto, es necesario pedir una definición del concepto de número en sí. Frege investiga la posibilidad de que el número esté determinado en cosas externas. Demuestra cómo funcionan los números en lenguaje natural como adjetivos. "Este escritorio tiene 5 cajones" tiene una forma similar a "Este escritorio tiene cajones verdes". Que los cajones sean verdes es un hecho objetivo, basado en el mundo exterior. Pero este no es el caso con 5. Frege sostiene que cada cajón está en su propio green, pero no todos los cajones son 5. [11] Frege nos insta a recordar que de esto no se sigue que los números puedan ser subjetivos. De hecho, los números son similares a los colores al menos en que ambos son totalmente objetivos. Frege nos dice que podemos convertir enunciados numéricos donde las palabras numéricas aparecen adjetivamente (por ejemplo, 'hay cuatro caballos') en enunciados donde los términos numéricos aparecen como términos singulares ('el número de caballos es cuatro'). [12] Frege recomienda tales traducciones porque considera que los números son objetos. No tiene sentido preguntar si algún objeto cae bajo 4. Después de que Frege da algunas razones para pensar que los números son objetos, concluye que los enunciados de números son afirmaciones sobre conceptos.
Frege considera que esta observación es el pensamiento fundamental de Grundlagen . Por ejemplo, la oración "el número de caballos en el establo es cuatro" significa que cuatro objetos caen bajo el concepto de caballo en el establo . Frege intenta explicar nuestra comprensión de los números a través de una definición contextual de la operación de cardinalidad ('el número de ...', o). Intenta construir el contenido de un juicio que implica identidad numérica basándose en el principio de Hume (que establece que el número de Fs es igual al número de Gs si y sólo si F y G son equinumeros , es decir, en correspondencia uno-uno). [13] Rechaza esta definición porque no fija el valor de verdad de los enunciados de identidad cuando un término singular que no tiene la forma 'el número de F' flanquea el signo de identidad. Frege pasa a dar una definición explícita de número en términos de extensiones de conceptos, pero expresa algunas dudas.
Definición de Frege de un número
Frege sostiene que los números son objetos y afirman algo sobre un concepto. Frege define los números como extensiones de conceptos. 'El número de F de' se define como la extensión del concepto G es un concepto que es equinumerous a F . El concepto en cuestión conduce a una clase de equivalencia de todos los conceptos que tienen el número de F (incluido F). Frege define 0 como la extensión del concepto que no es idéntico a sí mismo . Entonces, el número de este concepto es la extensión del concepto de todos los conceptos que no tienen objetos incluidos. El número 1 es la extensión de ser idéntico a 0. [14]
Legado
El libro fue fundamental en el desarrollo de dos disciplinas principales, los fundamentos de las matemáticas y la filosofía. Aunque Bertrand Russell encontró más tarde una falla importante en el trabajo de Frege (esta falla se conoce como la paradoja de Russell , que se resuelve mediante la teoría axiomática de conjuntos ), el libro fue influyente en desarrollos posteriores, como Principia Mathematica . El libro también puede considerarse el punto de partida de la filosofía analítica, ya que gira principalmente en torno al análisis del lenguaje, con el objetivo de aclarar el concepto de número. Los puntos de vista de Frege sobre las matemáticas son también un punto de partida para la filosofía de las matemáticas, ya que introduce un relato innovador sobre la epistemología de los números y las matemáticas en general, conocido como logicismo.
Ediciones
- Frege, Gottlob (1884). Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathische Untersuchung über den Begriff der Zahl . Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner.
- Frege, Gottlob (1960). Los fundamentos de la aritmética: una investigación lógico-matemática del concepto de número . Traducido por Austin, JL (2ª ed.). Evanston, Illinois : Prensa de la Universidad Northwestern. ISBN 0810106051. OCLC 650 .
Ver también
- Ley fundamental V
- Begriffsschrift
- Principio de contexto
- Fundacionalismo
- Giro lingüístico
- Disputa de psicologismo
- Cópula cuadrada redonda
Referencias
- ^ Frege 1960 .
- ^ Frege , §27.
- ↑ Frege , §12: "Pero una intuición en este sentido [de Kant] no puede servir como base de nuestro conocimiento de las leyes de la aritmética".
- ↑ Frege , §5: "Kant declara [declaraciones tales como 2 + 3 = 5] como indemostrables y sintéticas, pero duda en llamarlas axiomas porque no son generales y porque el número de ellas es infinito. Hankel llama justificadamente a esta concepción de infinitamente numerosas verdades primitivas indemostrables, incongruentes y paradójicas ".
- ↑ Frege , §14: "El hecho de que [negar el postulado paralelo ] sea posible muestra que los axiomas de la geometría son independientes entre sí y de las leyes primitivas de la lógica y, en consecuencia, son sintéticos. ¿proposiciones de la ciencia del número? Aquí, sólo tenemos que intentar negar cualquiera de ellas, y sobreviene una confusión total ".
- ^ Frege 1960 , p. 9-12.
- ^ Shapiro 2000 , p. 96: "Los fundamentos de la aritmética de Fregecontienen un ataque sostenido y amargo contra la explicación de la aritmética de Mill"
- ^ Frege 1960 , p. 10: "Si la definición de cada número individual afirmara realmente un hecho físico especial, entonces nunca deberíamos poder admirar suficientemente, por su conocimiento de la naturaleza, a un hombre que calcula con números de nueve cifras".
- ^ Shapiro 2000 , p. 98: "Frege también critica a Mill con respecto a los grandes números".
- ^ Frege 1960 , p. 11: "[...] el número 0 sería un rompecabezas; porque hasta ahora nadie, supongo, ha visto o tocado 0 guijarros".
- ↑ Frege , §22: "¿No es en sentidos totalmente diferentes que hablamos de un árbol que tiene 1000 hojas y de nuevo que tiene hojas verdes? El color verde lo atribuimos a cada hoja, pero no el número 1000".
- ^ Frege , §57: "Por ejemplo, la proposición 'Júpiter tiene cuatro lunas' se puede convertir en 'el número de lunas de Júpiter es cuatro'"
- ↑ Frege , §63: "Hume expresó hace mucho tiempo este medio: 'Cuando dos números están tan combinados que uno siempre tiene una unidad que responde a cada unidad del otro, los pronunciamos iguales'"
- ^ Boolos 1998 , p. 154: "Frege define 0 como el número del concepto: no ser idéntico a sí mismo . Dado que todo es idéntico a sí mismo, ningún objeto cae dentro de este concepto. Frege define 1 como el número del concepto que es idéntico al número cero . 0 y 0 por sí solos se incluyen en este último concepto ".
Fuentes
- Boolos, George (1998). "Capítulo 9: Gottlob Frege y los fundamentos de la aritmética". Lógica, lógica y lógica . Editado por Richard C. Jeffrey, introducción de John P. Burgess. Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971 .
- Shapiro, Stewart (2000). Pensando en las matemáticas: la filosofía de las matemáticas . Nueva York: Oxford University Press. págs. 95–98 . ISBN 9780192893062. OCLC 43864339 .
enlaces externos
- Die Grundlagen der Arithmetik en Project Gutenberg - Edición gratuita en alemán de texto completo
- Die Grundlagen der Arithmetik en archive.org - Edición gratuita en alemán de texto completo
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Teorema de Frege y Fundamentos de la Aritmética" por Edward Zalta .
- Nechaev, VI (2001) [1994], "Número" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Peter Suber , "La geometría y la aritmética son sintéticas" , 2002.