proyección estereográfica

En geometría , la proyección estereográfica es un mapeo particular ( función ) que proyecta una esfera sobre un plano . La proyección se define sobre toda la esfera, excepto en un punto: el punto de proyección. Donde se define, el mapeo es suave y biyectivo . Es conforme , lo que significa que conserva los ángulos en los que se encuentran las curvas. No es ni isométrica ni conservadora de áreas: es decir, no conserva ni las distancias ni las áreas de las figuras.

Intuitivamente, entonces, la proyección estereográfica es una forma de representar la esfera como el plano, con algunos compromisos inevitables. Debido a que la esfera y el plano aparecen en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, también lo hace la proyección estereográfica; encuentra uso en diversos campos incluyendo análisis complejo , cartografía , geología y fotografía . En la práctica, la proyección se lleva a cabo por computadora oa mano utilizando un tipo especial de papel cuadriculado llamado red estereográfica , abreviado como stereonet o red de Wulff .

La proyección estereográfica fue conocida por Hiparco , Ptolomeo y probablemente antes por los egipcios . Originalmente se conocía como la proyección del planisferio. [1] Planisphaerium de Ptolomeo es el documento sobreviviente más antiguo que lo describe. Uno de sus usos más importantes fue la representación de cartas celestes . [1] El término planisferio todavía se usa para referirse a tales cartas.

En los siglos XVI y XVII, el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica se usaba comúnmente para los mapas de los hemisferios oriental y occidental . Se cree que ya el mapa creado en 1507 por Gualterius Lud [2] estaba en proyección estereográfica, al igual que más tarde los mapas de Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595), y muchos otros. [3] En las cartas estelares, incluso este aspecto ecuatorial ya había sido utilizado por los antiguos astrónomos como Ptolomeo . [4]

François d'Aguilon le dio a la proyección estereográfica su nombre actual en su obra de 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Seis libros de óptica, útiles tanto para filósofos como para matemáticos). [5]

En 1695, Edmond Halley , motivado por su interés por las cartas estelares , publicó la primera prueba matemática de que este mapa es conforme . [6] Usó las herramientas de cálculo recientemente establecidas , inventadas por su amigo Isaac Newton .

Ilustración 3D de una proyección estereográfica desde el polo norte sobre un plano debajo de la esfera
Ilustración de Rubens para "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", de François d'Aguilon . Demuestra el principio de una proyección en perspectiva general, de la cual la proyección estereográfica es un caso especial.
Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte sobre el plano z = 0 , que se muestra aquí en sección transversal
Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte sobre el plano z = −1 , que se muestra aquí en sección transversal
Proyección estereográfica de una esfera desde un punto Q sobre el plano E , que se muestra aquí en sección transversal
Una cuadrícula cartesiana en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las líneas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los cuadrados de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.
Una cuadrícula polar en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las curvas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los sectores de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.
La esfera, con varias loxódromos mostradas en distintos colores.
Red de Wulff o stereonet, utilizada para hacer gráficos de la proyección estereográfica a mano.
La generación de una red de Wulff (red circular dentro del círculo rojo) por una proyección estereográfica con centro C y plano de proyección
Ilustración de los pasos 1 a 4 para trazar un punto en una red de Wulff
El plano complejo y la esfera de Riemann encima de él.
Animación de las líneas Kikuchi de cuatro de las ocho zonas <111> en un cristal fcc. Los planos de canto (líneas con bandas) se intersecan en ángulos fijos.
Los puntos racionales de un círculo corresponden, bajo proyección estereográfica, a los puntos racionales de la línea.
Una proyección estereográfica de la Luna , que muestra regiones hacia los polos de 60° Norte. Los cráteres que son círculos en la esfera aparecen circulares en esta proyección, sin importar si están cerca del polo o del borde del mapa.
Una figura polar cristalográfica para la red de diamantes en la dirección [111]
Uso de la proyección estereográfica del hemisferio inferior para trazar datos planos y lineales en geología estructural, usando el ejemplo de un plano de falla con una alineación del lado de acero
Proyección estereográfica del panorama esférico de la escultura de la Última Cena de Michele Vedani en Esino Lario , Lombardía, Italia durante Wikimania 2016
"Vue circulaire des montagnes qu'on découvre du sommet du Glacier de Buet", Horace-Benedict de Saussure, Voyage dans les Alpes, précédés d'un essai sur l'histoire naturelle des environs de Geneve . Neuchatel, 1779-1796, pl. 8.