operada

En matemáticas , una ópera se ocupa de álgebras prototípicas que modelan propiedades como la conmutatividad o la anticonmutatividad , así como varias cantidades de asociatividad . Las operaciones generalizan las diversas propiedades de asociatividad ya observadas en álgebras y coalgebras , como álgebras de Lie o álgebras de Poisson , mediante el modelado de árboles computacionales dentro del álgebra. Las álgebras son a las óperas lo que las representaciones de grupos son a los grupos . Una ópera puede verse como un conjunto de operaciones ., teniendo cada uno un número finito fijo de entradas (argumentos) y una salida, que pueden estar compuestas unas con otras. Forman un análogo teórico de categorías del álgebra universal . ^{[ dudoso – discutir ]}

Las operadas se originan en la topología algebraica a partir del estudio de espacios de bucle iterados por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt , ^{[1] [2]} y J. Peter May . ^[3] La palabra "óperada" fue creada por May como un acrónimo de "operaciones" y " mónada " (y también porque su madre era cantante de ópera). ^[4] El interés por las óperas se renovó considerablemente a principios de los 90 cuando, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que cierta dualidadLos fenómenos en la teoría de la homotopía racional podrían explicarse utilizando la dualidad de óperas de Koszul. ^{[5] [6]} Desde entonces, las óperas han encontrado muchas aplicaciones, como en la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson , la conjetura de Deligne , ^[7] o la homología de grafos en el trabajo de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

Una operada no simétrica (a veces llamada operada sin permutaciones , o operada simple o no${\ estilo de visualización \ Sigma}$ ) consta de lo siguiente:

Una operada simétrica (a menudo llamada simplemente operada ) es una operada no simétrica como la anterior, junto con una acción correcta del grupo simétrico en , que satisface los axiomas asociativos y de identidad anteriores, así como${\ estilo de visualización P}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {n}}$${\ estilo de visualización P (n)}$

(donde por abuso de notación , en el lado derecho de la primera relación de equivarianza está el elemento de que actúa sobre el conjunto descomponiéndolo en bloques, el primero de tamaño , el segundo de tamaño , pasando por el enésimo bloque de tamaño , y luego permuta estos bloques por ).${\ estilo de visualización t}$${\displaystyle \Sigma _{k_{1}+\puntos +k_{n}}}$${\displaystyle \{1,2,\puntos,k_{1}+\puntos +k_{n}\}}$${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle k_{n}}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización t}$

Composición operádica en la pequeña ópera de 2 discos .

Composición operádica en la ópera de simetrías.

La ópera del queso suizo .