En matemáticas , el producto tensorial de los módulos es una construcción que permite que los argumentos sobre mapas bilineales (por ejemplo, multiplicación) se lleven a cabo en términos de mapas lineales . La construcción del módulo es análoga a la construcción del producto tensorial de los espacios vectoriales , pero se puede realizar para un par de módulos sobre un anillo conmutativo que da como resultado un tercer módulo, y también para un par de un módulo derecho y un módulo izquierdo. módulo sobre cualquier anillo , con resultado un grupo abeliano . Los productos tensoriales son importantes en áreas de álgebra abstracta , álgebra homológica, topología algebraica , geometría algebraica , álgebras de operadores y geometría no conmutativa . La propiedad universal del producto tensorial de espacios vectoriales se extiende a situaciones más generales en álgebra abstracta. Permite el estudio de operaciones bilineales o multilineales mediante operaciones lineales . El producto tensorial de un álgebra y un módulo se puede utilizar para la extensión de escalares . Para un anillo conmutativo, el producto tensorial de los módulos se puede iterar para formar el álgebra tensorial de un módulo, lo que permite definir la multiplicación en el módulo de forma universal.
Producto equilibrado
Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N y un grupo abeliano G , un mapa φ : M × N → G se dice que es R- balanceado , R -lineal medio o R -producto balanceado si para todo m , m ′ en M , n , n ′ en N , y r en R se cumple lo siguiente: [1] : 126
El conjunto de todos estos productos equilibrados sobre R de M × N a G se denota por L R ( M , N ; G ) .
Si φ , ψ son productos equilibrados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y - φ definidas puntualmente es un producto equilibrado. Esto convierte el conjunto L R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.
Para M y N fijos, el mapa G ↦ L R ( M , N ; G ) es un funtor de la categoría de grupos abelianos a sí mismo. La parte de morfismo se da mapeando un homomorfismo de grupo g : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L R ( M , N ; G ) a L R ( M , N ; G ′) .
- Observaciones
- Las propiedades (Dl) y (Dr) expresan biaditividad de φ , que puede considerarse como distributividad de φ sobre la suma.
- La propiedad (A) se parece a alguna propiedad asociativa de φ .
- Cada anillo R es un R - bimódulo . Así que la multiplicación anillo ( r , r ') ↦ r ⋅ r ' en R es un R producto -balanced R × R → R .
Definición
Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N , el producto tensorial sobre R
es un grupo abeliano junto con un producto equilibrado (como se define arriba)
que es universal en el siguiente sentido: [2]
- Para cada grupo abeliano G y cada producto equilibrado
- hay un homomorfismo grupal único
- tal que
Como con todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única hasta un isomorfismo único: cualquier otro grupo abeliano y producto equilibrado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ R N y ⊗. De hecho, el mapeo ⊗ se llama canónico , o más explícitamente: el mapeo canónico (o producto balanceado) del producto tensorial. [3]
La definición no prueba la existencia de M ⊗ R N ; ver más abajo para una construcción.
El producto tensorial también se puede definir como un objeto de representación para el funtor G → L R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que hay un isomorfismo natural :
Esta es una forma sucinta de enunciar la propiedad de mapeo universal dada anteriormente. (si a priori se da uno, esto es isomorfismo natural, entonces se puede recuperar tomando y luego mapear el mapa de identidad).
Del mismo modo, dada la identificación natural , [4] también se puede definir M ⊗ R N mediante la fórmula
Esto se conoce como el adjunto tensor-hom ; ver también § Propiedades .
Para cada x en M , y en N , se escribe
- x ⊗ y
para la imagen de ( x , y ) debajo del mapa canónico. A menudo se le llama tensor puro . Estrictamente hablando, la notación correcta sería x ⊗ R y, pero es convencional quitar R aquí. Entonces, inmediatamente de la definición, hay relaciones:
x ⊗ ( y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′ (Dl ⊗ ) ( x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y (Dr ⊗ ) ( x ⋅ r ) ⊗ y = x ⊗ ( r ⋅ y ) (A ⊗ )
La propiedad universal de un producto tensorial tiene la siguiente consecuencia importante:
Proposición - Cada elemento de puede escribirse, de forma no exclusiva, como
En otras palabras, la imagen de genera . Además, si f es una función definida en elementoscon valores en un grupo abeliano G , entonces f se extiende únicamente al homomorfismo definido en conjunto si y solo si es -bilinear en x y y .
Prueba: para la primera declaración, sea L el subgrupo de generado por elementos del formulario en cuestión, y q el mapa cociente de Q . Tenemos: así como . Por lo tanto, por la parte de unicidad de la propiedad universal, q = 0. La segunda afirmación es porque para definir un homomorfismo de módulo , es suficiente definirlo en el grupo generador del módulo.
Aplicación de la propiedad universal de los productos tensoriales.
Determinar si un producto tensorial de módulos es cero
En la práctica, a veces es más difícil mostrar que un producto tensorial de módulos R es diferente de cero de lo que es para mostrar que es 0. La propiedad universal proporciona una forma conveniente de verificar esto.
Para comprobar que un producto tensor es distinto de cero, se puede construir un mapa R -bilineal a un grupo abeliano tal que . Esto funciona porque si, luego .
Por ejemplo, para ver que , es distinto de cero, toma ser - estar y . Esto dice que los tensores puros Mientras es distinto de cero en .
Para módulos equivalentes
La proposición dice que se puede trabajar con elementos explícitos de los productos tensoriales en lugar de invocar la propiedad universal directamente cada vez. Esto es muy conveniente en la práctica. Por ejemplo, si R es conmutativo y las acciones izquierda y derecha de R en los módulos se consideran equivalentes, entoncesnaturalmente se puede proporcionar con la multiplicación escalar R extendiendo
al conjunto por la proposición anterior (estrictamente hablando, lo que se necesita es una estructura de bimódulo, no conmutatividad; ver un párrafo a continuación). Equipado con esta estructura de módulo R ,satisface una propiedad universal similar a la anterior: para cualquier módulo R G , hay un isomorfismo natural:
Si R no es necesariamente conmutativo pero si M tiene una acción izquierda por un anillo S (por ejemplo, R ), entoncesse le puede dar la estructura del módulo S izquierdo , como arriba, por la fórmula
De manera análoga, si N tiene una acción correcta por un anillo S , entoncesse convierte en un módulo S derecho .
Producto tensorial de mapas lineales y cambio de anillo base
Dados mapas lineales de módulos derechos sobre un anillo R y de los módulos de la izquierda, hay un homomorfismo de grupo único
La construcción tiene como consecuencia que el tensor es un funtor: cada módulo R derecho M determina el funtor
de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de grupos abelianos que envía N a M ⊗ N y un módulo homomorfismo f al grupo homomorfismo 1 ⊗ f .
Si es un homomorfismo de anillo y si M es un módulo S derecho y N un módulo S izquierdo , entonces existe el homomorfismo sobreyectivo canónico :
Inducido por
El mapa resultante es sobreyectivo ya que los tensores puros x ⊗ y generan el módulo completo. En particular, tomando R como esto muestra que cada producto tensorial de módulos es un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos.
Ver también: Producto tensorial § Producto tensorial de mapas lineales .
Varios módulos
(Esta sección debe actualizarse. Por ahora, consulte § Propiedades para una discusión más general).
Es posible extender la definición a un producto tensorial de cualquier número de módulos sobre el mismo anillo conmutativo. Por ejemplo, la propiedad universal de
- M 1 ⊗ M 2 ⊗ M 3
es que cada mapa trilineal en
- M 1 × M 2 × M 3 → Z
corresponde a un mapa lineal único
- M 1 ⊗ M 2 ⊗ M 3 → Z .
El producto del tensor binario es asociativo: ( M 1 ⊗ M 2 ) ⊗ M 3 es naturalmente isomorfo a M 1 ⊗ ( M 2 ⊗ M 3 ). El producto tensorial de tres módulos definidos por la propiedad universal de los mapas trilineales es isomórfico a ambos productos tensoriales iterados.
Propiedades
Módulos sobre anillos generales
Sean R 1 , R 2 , R 3 , R anillos, no necesariamente conmutativos.
- Para un módulo R 1 - R 2 - bimódulo M 12 y un módulo R 2 izquierdo M 20 ,es un módulo R 1 izquierdo .
- Para un módulo R 2 derecho M 02 y un módulo R 2 - R 3 - bimódulo M 23 ,es un módulo R 3 derecho .
- (asociatividad) Para un módulo R 1 derecho M 01 , un módulo R 1 - R 2 bimódulo M 12 y un módulo R 2 izquierdo M 20 tenemos: [6]
- Dado que R es un módulo R - R , tenemos con la multiplicación de anillos como su producto canónico equilibrado.
Módulos sobre anillos conmutativos
Sea R un anillo conmutativo y M , N y P sean R -módulos. Luego
- (identidad)
- (asociatividad) [7] Así está bien definido.
- (simetría) De hecho, para cualquier permutación σ del conjunto {1, ..., n }, existe un isomorfismo único:
- (Propiedad distributiva) De echo,
- para un conjunto de índices I de cardinalidad arbitraria .
- (conmuta con producto finito) para un número finito ,
- (conmuta con la localización ) para cualquier subconjunto cerrado multiplicativamente S de R ,
- como -módulo. Desde es un álgebra R y , este es un caso especial de:
- (conmuta con la extensión de la base) Si S es un álgebra R , escribir,
- [8]
- cf. § Extensión de escalares .
- (conmuta con límite directo) para cualquier sistema directo de módulos R M i ,
- (la tensión es exacta a la derecha) si
- es una secuencia exacta de módulos R , entonces
- es una secuencia exacta de módulos R , donde Esta es una consecuencia de:
- ( relación adjunta ).
- (relación tensor-hom) hay un mapa lineal R canónico :
- que es un isomorfismo si M o P es un módulo proyectivo generado finitamente (ver § Como mapas que preservan la linealidad para el caso no conmutativo); [9] de manera más general, hay un mapa lineal R canónico :
- que es un isomorfismo si o es un par de módulos proyectivos generados finitamente.
Para dar un ejemplo práctico, suponga que M , N son módulos libres con bases y . Entonces M es la suma directa y lo mismo para N . Por la propiedad distributiva, uno tiene:
- ;
es decir, son la base R de. Incluso si M no es gratuito, se puede utilizar una presentación gratuita de M para calcular los productos tensoriales.
El producto tensorial, en general, no conmuta con límite inverso : por un lado,
(cf. "ejemplos"). Por otro lado,
dónde son el anillo de los números p-ádicos y el campo de los números p-ádicos . Consulte también " profinite integer " para ver un ejemplo con el mismo espíritu.
Si R no es conmutativo, el orden de los productos tensoriales podría importar de la siguiente manera: "usamos" la acción derecha de M y la acción izquierda de N para formar el producto tensorial; En particular,ni siquiera estaría definido. Si M , N son bi-módulos, entoncestiene la acción izquierda proveniente de la acción izquierda de M y la acción derecha proveniente de la acción derecha de N ; esas acciones no tienen por qué ser las mismas que las acciones de izquierda y derecha de.
La asociatividad es más general para anillos no conmutativos: si M es un módulo R derecho , N un módulo ( R , S ) y P un módulo S izquierdo , entonces
como grupo abeliano.
La forma general de la relación adjunta de los productos tensoriales dice: si R no es necesariamente conmutativo, M es un módulo R derecho , N es un módulo ( R , S ), P es un módulo S derecho , entonces como grupo abeliano
- [10]
dónde es dado por Ver también: adjunción tensor-hom .
Producto tensorial de un módulo R con el campo de fracción
Deje que R sea un dominio de integridad con campo fracción K .
- Para cualquier módulo R M ,como módulos R , dondees el submódulo de torsión de M .
- Si M es un módulo R de torsión, entoncesy si M no es un módulo de torsión, entonces.
- Si N es un submódulo de M tal que es un módulo de torsión entonces como módulos R por.
- En , si y solo si o . En particular, dónde .
- dónde es la localización del módulo en el mejor ideal (es decir, la localización con respecto a los elementos distintos de cero).
Extensión de escalares
La relación adjunta en la forma general tiene un caso especial importante: para cualquier R -algebra S , M un módulo R derecho , P un módulo S derecho , usando, tenemos el isomorfismo natural:
Esto dice que el functor es un adjunto a la izquierda del functor olvidadizo, que restringe una acción S a una acción R. Debido a esto,a menudo se denomina la extensión de escalares de R a S . En la teoría de la representación , cuando R , S son álgebras de grupo, la relación anterior se convierte en la reciprocidad de Frobenius .
Ejemplos de
- para cualquier R -álgebra S (es decir, un módulo libre permanece libre después de extender los escalares).
- Por un anillo conmutativo y una R -algebra S conmutativa , tenemos:
- de hecho, de manera más general,
- dónde es un ideal.
- Utilizando el ejemplo anterior y el teorema del resto chino , tenemos como anillos
- Esto da un ejemplo cuando un producto tensorial es un producto directo .
Ejemplos de
La estructura de un producto tensorial de módulos bastante ordinarios puede ser impredecible.
Sea G un grupo abeliano en el que cada elemento tiene un orden finito (es decir, G es un grupo abeliano de torsión ; por ejemplo, G puede ser un grupo abeliano finito o). Entonces: [11]
De hecho, cualquier es de la forma
Si es el orden de , luego calculamos:
Del mismo modo, uno ve
Aquí hay algunas identidades útiles para el cálculo: Sea R un anillo conmutativo, I , J ideales, M , N R -módulos. Luego
- . Si M es plano ,. [prueba 1]
- (porque la tensión conmuta con las extensiones de base)
- . [prueba 2]
Ejemplo: si G es un grupo abeliano,; esto se sigue de 1.
Ejemplo: ; esto se sigue de 3. En particular, para distintos números primos p , q ,
Los productos tensoriales se pueden aplicar para controlar el orden de los elementos de los grupos. Sea G un grupo abeliano. Entonces los múltiplos de 2 en
son cero.
Ejemplo: Letser el grupo de n raíces -ésimos de la unidad. Es un grupo cíclico y los grupos cíclicos se clasifican por órdenes. Por lo tanto, no canónicamente,y por lo tanto, cuando g es el MCD de n y m ,
Ejemplo: considere Desde se obtiene de imponiendo -linealidad en el medio, tenemos la sobreyección
cuyo núcleo es generado por elementos de la forma donde r , s , x , u son números enteros y s es distinto de cero. Desde
el núcleo en realidad se desvanece; por eso,
Sin embargo, considere y . Como-espacio vectorial, tiene dimensión 4, pero tiene dimensión 2.
Por lo tanto, y no son isomorfos.
Ejemplo: proponemos comparar y . Como en el ejemplo anterior, tenemos: como grupo abeliano y por tanto como -espacio vectorial (cualquiera -mapa lineal entre -espacios vectoriales es -lineal). Como-espacio vectorial, tiene dimensión (cardinalidad de una base) de continuo . Por eso, tiene un -base indexada por un producto de continuos; por lo que es-dimensión es continuo. Por tanto, por razones dimensionales, hay un isomorfismo no canónico de-espacios vectoriales:
- .
Considere los módulos por polinomios irreducibles tales que Luego,
Otra familia útil de ejemplos proviene de cambiar los escalares. Darse cuenta de
Buenos ejemplos de este fenómeno para observar son cuando
Construcción
La construcción de M ⊗ N toma un cociente de un grupo abeliano libre con base en los símbolos m ∗ n , usados aquí para denotar el par ordenado ( m , n ) , para m en M y n en N por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
- - metro ∗ ( norte + norte ′) + metro ∗ norte + metro ∗ norte ′
- - ( metro + metro ′) ∗ norte + metro ∗ norte + metro ′ ∗ norte
- ( metro · r ) ∗ norte - metro ∗ ( r · n )
donde m , m 'en M , n , n ' en N , y r en R . El mapa de cocientes que lleva m ∗ n = ( m , n ) a la clase lateral que contiene m ∗ n ; es decir,
está equilibrado, y el subgrupo se ha elegido mínimamente para que este mapa esté equilibrado. La propiedad universal de ⊗ se deriva de las propiedades universales de un grupo abeliano libre y un cociente.
Más teóricamente de categorías, sea σ la acción correcta dada de R sobre M ; es decir, σ ( m , r ) = m · r y tau la acción izquierda de R de N . Entonces, el producto tensorial de M y N sobre R se puede definir como el coecualizador :
junto con los requisitos
Si S es un subanillo de un anillo R , entonces es el grupo cociente de por el subgrupo generado por , dónde es la imagen de debajo En particular, cualquier producto tensorial de los módulos R se puede construir, si se desea, como un cociente de un producto tensorial de los grupos abelianos imponiendo la propiedad del producto R equilibrado.
En la construcción del producto tensorial sobre un anillo conmutativo R , la estructura del módulo R se puede construir desde el principio formando el cociente de un módulo R libre por el submódulo generado por los elementos dados anteriormente para la construcción general, aumentada por los elementos r ⋅ ( m ∗ n ) - m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativamente, a la construcción general se le puede dar una estructura de módulo Z ( R ) definiendo la acción escalar por r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) cuando esto está bien definido, que es precisamente cuando r ∈ Z ( R ), el centro de R .
El producto directo de M y N es raramente isomorfo al producto tensorial de M y N . Cuando R no es conmutativo, entonces el producto tensorial requiere que M y N sean módulos en lados opuestos, mientras que el producto directo requiere que sean módulos en el mismo lado. En todos los casos, la única función de M × N a G que es tanto lineal como bilineal es el mapa cero.
Como mapas lineales
En el caso general, no todas las propiedades de un producto tensorial de espacios vectoriales se extienden a los módulos. Sin embargo , permanecen algunas propiedades útiles del producto tensorial, considerado como homomorfismos de módulo .
Módulo dual
El módulo dual de un derecho R -módulo E , se define como Hom R ( E , R ) con la izquierda canónica R estructura -module, y se denota E * . [12] La estructura canónica son las operaciones puntuales de suma y multiplicación escalar. Por lo tanto, E ∗ es el conjunto de todos los R -mapas lineales E → R (también llamados formas lineales ), con operaciones
El dual de un módulo R izquierdo se define de forma análoga, con la misma notación.
Siempre hay un homomorfismo canónico E → E ∗∗ de E a su segundo dual. Es un isomorfismo si E es un módulo libre de rango finito. En general, E se denomina módulo reflexivo si el homomorfismo canónico es un isomorfismo.
Emparejamiento de dualidad
Denotamos el emparejamiento natural de su doble E ∗ y un módulo R derecho E , o de un módulo R izquierdo F y su doble F ∗ como
El emparejamiento es R lineal a la izquierda en su argumento izquierdo y R lineal a la derecha en su argumento derecho:
Un elemento como mapa (bi) lineal
En el caso general, cada elemento del producto tensorial de los módulos da lugar a un mapa lineal R izquierdo , un mapa lineal R derecho y una forma R bilineal. A diferencia del caso conmutativo, en el caso general, el producto tensorial no es un módulo R y, por lo tanto, no admite la multiplicación escalar.
- Dado el módulo R derecho E y el módulo R derecho F , hay un homomorfismo canónico θ : F ⊗ R E ∗ → Hom R ( E , F ) tal que θ ( f ⊗ e ′) es el mapa e ↦ f ⋅ ⟨ e ', e ⟩ . [13]
- Dado el módulo R izquierdo E y el módulo R derecho F , hay un homomorfismo canónico θ : F ⊗ R E → Hom R ( E ∗ , F ) tal que θ ( f ⊗ e ) es el mapa e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ . [14]
Ambos casos son válidos para módulos generales y se convierten en isomorfismos si los módulos E y F están restringidos a ser módulos proyectivos generados finitamente (en particular módulos libres de rangos finitos). Por lo tanto, un elemento de un producto tensorial de módulos sobre un anillo R se asigna canónicamente a un mapa lineal R , aunque al igual que con los espacios vectoriales, se aplican restricciones a los módulos para que esto sea equivalente al espacio completo de dichos mapas lineales.
- Dado el módulo R derecho E y el módulo R izquierdo F , hay un homomorfismo canónico θ : F ∗ ⊗ R E ∗ → L R ( F × E , R ) tal que θ ( f ′ ⊗ e ′) es el mapa ( f , e ) ↦ ⟨ f , f '⟩ ⋅ ⟨ e ', e ⟩ . [ Cita requerida ] Por lo tanto, un elemento de un producto tensor xi ∈ F * ⊗ R E * puede ser pensado de dar lugar a o actuando como un R -bilinear mapa F × E → R .
Rastro
Sea R un anillo conmutativo y E un módulo R. Luego hay un mapa lineal R canónico :
inducida a través de la linealidad por ; es el mapa lineal R único correspondiente al emparejamiento natural.
Si E es un módulo R proyectivo finitamente generado , entonces uno puede identificara través del homomorfismo canónico mencionado anteriormente y luego lo anterior es el mapa de seguimiento :
Cuando R es un campo, este es el rastro habitual de una transformación lineal.
Ejemplo de geometría diferencial: campo tensorial
El ejemplo más destacado de un producto tensorial de módulos en geometría diferencial es el producto tensorial de los espacios de campos vectoriales y formas diferenciales. Más precisamente, si R es el anillo (conmutativo) de funciones suaves en una variedad suave M , entonces se pone
donde Γ significa el espacio de las secciones y el superíndicemedios tensoring p veces en R . Por definición, un elemento dees un campo tensorial de tipo ( p , q ).
Como módulos R , es el módulo dual de [15]
Para aclarar la notación, ponga y entonces . [16] Cuando p , q ≥ 1, para cada ( k , l ) con 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , hay un mapa R -multilineal:
dónde medio y el sombrero significa que se omite un término. Por la propiedad universal, corresponde a un mapa lineal R único :
Se llama contracción de tensores en el índice ( k , l ). Desenrollando lo que dice la propiedad universal, uno ve:
Observación : La discusión anterior es estándar en los libros de texto sobre geometría diferencial (por ejemplo, Helgason). En cierto modo, la construcción teórica del haz (es decir, el lenguaje del haz de módulos ) es más natural y cada vez más común; para eso ver el apartado § Producto tensorial de roldanas de módulos .
Relación con módulos planos
En general,
es un bifunctor que acepta un par de módulos R derecho e izquierdo como entrada y los asigna al producto tensorial en la categoría de grupos abelianos .
Al arreglar un módulo R derecho M , un functor
surge, y simétricamente un módulo R izquierdo N podría arreglarse para crear un functor
A diferencia del bifunctor Hom el functor tensorial es covariante en ambas entradas.
Se puede demostrar que y son siempre functores exactos a la derecha , pero no necesariamente a la izquierda exacta ( donde el primer mapa es la multiplicación por , es exacta pero no después de tomar el tensor con ). Por definición, un módulo T es un módulo plano si es un functor exacto.
Si y son grupos electrógenos para M y N , respectivamente, entonces será un grupo electrógeno para Porque el tensor functor a veces no se deja exacto, esto puede no ser un grupo electrógeno mínimo, incluso si los grupos electrógenos originales son mínimos. Si M es un módulo plano , el functores exacta por la propia definición de un módulo plano. Si los productos del tensor se toman sobre un campo F , estamos en el caso de espacios vectoriales como arriba. Como todos los módulos F son planos, el bifunctor es exacta en ambas posiciones, y los dos grupos electrógenos dados son bases, entonces de hecho forma una base para
Estructura adicional
Si S y T son R -álgebras conmutativas, entonces S ⊗ R T también será una R -álgebra conmutativa, con el mapa de multiplicación definido por ( m 1 ⊗ m 2 ) ( n 1 ⊗ n 2 ) = ( m 1 n 1 ⊗ m 2 n 2 ) y extendido por linealidad. En este escenario, el producto tensorial se convierte en un coproducto fibroso en la categoría de R -álgebras.
Si M y N son ambos módulos R sobre un anillo conmutativo, entonces su producto tensorial es nuevamente un módulo R. Si R es un anillo, R M es un módulo R izquierdo y el conmutador
- rs - sr
de cualquiera de los dos elementos de r y s de R está en el anulador de M , entonces podemos hacer M en un derecho R módulo de ajuste
- mr = rm .
La acción de R sobre M factores a través de la acción de un anillo conmutativo cociente. En este caso, el producto tensorial de M consigo mismo sobre R es nuevamente un módulo R. Esta es una técnica muy común en álgebra conmutativa.
Generalización
Producto tensorial de complejos de módulos
Si X , Y son complejos de R -módulos ( R un anillo conmutativo), entonces su producto tensorial es el complejo dado por
con el diferencial dado por: para x en X i e y en Y j ,
- [17]
Por ejemplo, si C es un complejo de cadena de grupos abelianos planos y si G es un grupo abeliano, entonces el grupo de homología dees el grupo de homología de C con coeficientes en G (ver también: teorema del coeficiente universal ).
Producto tensorial de haces de módulos
En esta configuración, por ejemplo, se puede definir un campo tensorial en una variedad suave M como una sección (global o local) del producto tensorial (llamado paquete tensorial )
donde O es el haz de anillos de funciones suaves en M y los hacesson vistos como gavillas localmente libres en M . [18]
El paquete exterior en M es el subconjunto del paquete tensorial que consta de todos los tensores covariantes antisimétricos. Secciones del haz exterior son formas diferenciales sobre M .
Un caso importante en el que se forma un producto tensorial sobre un haz de anillos no conmutativos aparece en la teoría de los módulos D ; es decir, productos tensoriales sobre el haz de operadores diferenciales .
Ver también
- Tor functor
- Producto tensorial de álgebras
- Producto tensorial de campos
- producto tensorial derivado
Notas
- ^ Tensando con M la secuencia exacta da
- ^
- .
- ^ Nathan Jacobson (2009), Álgebra básica II (2a ed.), Publicaciones de Dover
- ^ Hazewinkel, et al. (2004), pág. 95 , Prop. 4.5.1
- ↑ Bourbaki , cap. II §3.1
- ^ Primero, si entonces la identificación reclamada viene dada por con . En general,tiene la estructura de un módulo R derecho por. Por lo tanto, para cualquier-mapa bilineal f , f ′ es R -lineal
- ↑ Bourbaki , cap. II §3.2.
- ↑ Bourbaki , cap. II §3.8
- ^ Las primeras tres propiedades (más las identidades en los morfismos) dicen que la categoría demódulos R , con R conmutativa, forma una categoría monoidal simétrica .
- ^ Prueba: (usando asociatividad en una forma general)
- ↑ Bourbaki , cap. II §4.4
- ^ Bourbaki , cap.II §4.1 Proposición 1
- ^ Ejemplo 3.6 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
- ↑ Bourbaki , cap. II §2.3
- ↑ Bourbaki , cap. II §4.2 eq. (11)
- ↑ Bourbaki , cap. II §4.2 eq. (15)
- ↑ Helgason , Lema 2.3 '
- ^ Ésta es en realidad la definición de una forma diferencial, secciones globales de, en Helgason, pero es equivalente a la definición habitual que no utiliza la teoría de módulos.
- ^ Mayo y cap. 12 §3
- ^ Véase también Encyclopedia of Mathematics - Tensor bundle
Referencias
- Bourbaki, Álgebra
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
- Northcott, DG (1984), Álgebra multilineal , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
- Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
- Peter May (1999), Un curso conciso de topología algebraica , University of Chicago Press.