En geometría diferencial, una superficie de traslación es una superficie que se genera mediante traslaciones:
- Para dos curvas espaciales con un punto en común , La curva se desplaza de tal manera que el punto se está moviendo . Por esta curva de procedimientogenera una superficie: la superficie de traslación .
Si ambas curvas están contenidas en un plano común, la superficie de traslación es plana (parte de un plano). Este caso generalmente se ignora.
Ejemplos sencillos :
- Cilindro circular derecho :es un círculo (u otra sección transversal) y es una línea.
- El paraboloide elíptico puede ser generado por y (ambas curvas son parábolas ).
- El paraboloide hiperbólico puede ser generado por (parábola) y (parábola abierta hacia abajo).
Las superficies de traslación son populares en geometría descriptiva [1] [2] y arquitectura, [3] porque se pueden modelar fácilmente.
En geometría diferencial, las superficies mínimas están representadas por superficies de traslación o como superficies de acordes medios (ver abajo). [4]
Las superficies de traslación tal como se definen aquí no deben confundirse con las superficies de traslación en geometría compleja .
Representación paramétrica
Para dos curvas espaciales y con la superficie de traducción puede estar representado por: [5]
- (TS)
y contiene el origen. Obviamente esta definición es simétrica con respecto a las curvas y . Por tanto, ambas curvas se denominan generatrices (una: generatriz ). Cualquier punto de la superficie está contenida en una copia desplazada de y resp .. El plano tangente enes generado por los vectores tangentes de las generatrices en este punto, si estos vectores son linealmente independientes .
Si la condición previa no se cumple, la superficie definida por (TS) no puede contener el origen y las curvas. Pero en cualquier caso, la superficie contiene copias desplazadas de cualquiera de las curvas. como curvas paramétricas y respectivamente.
Las dos curvas se puede utilizar para generar la llamada superficie de acorde medio correspondiente . Su representación paramétrica es
- (MCS)
Helicoide como superficie de traslación y superficie de acordes medios
Un helicoide es un caso especial de helicoide generalizado y superficie reglada . Es un ejemplo de una superficie mínima y se puede representar como una superficie de traslación.
El helicoide con la representación paramétrica
tiene un turno de vuelta (alemán: Ganghöhe). Introduciendo nuevos parámetros[6] tal que
y un número real positivo, se obtiene una nueva representación paramétrica
que es la representación paramétrica de una superficie de traslación con las dos generatrices idénticas (!)
- y
El punto común utilizado para el diagrama es . Las generatrices (idénticas) son hélices con el cambio de turno. que se encuentran en el cilindro con la ecuación . Cualquier curva paramétrica es una copia desplazada de la generatriz. (en el diagrama: violeta) y está contenido en el cilindro circular derecho con radio , que contiene el eje z .
La nueva representación paramétrica representa solo los puntos del helicoide que están dentro del cilindro con la ecuación .
De la nueva representación paramétrica se reconoce que el helicoide también es una superficie de acordes medios:
dónde
- y
son dos generatrices idénticas.
En diagrama: yace en la hélice y en la hélice (idéntica) . El punto medio del acorde es.
Ventajas de una superficie de traslación
- Arquitectura
Se puede fabricar una superficie (por ejemplo, un techo) utilizando una plantilla para curvas y varias plantillas idénticas de curva . Las plantillas se pueden diseñar sin ningún conocimiento de matemáticas. Al colocar las plantillas, solo deben respetarse las reglas de una superficie de traslación.
- Geometría descriptiva
Establecer una proyección paralela de una superficie de traslación una 1) tiene que producir proyecciones de las dos generatrices, 2) hacer una plantilla de curvay 3) dibujar con ayuda de esta plantilla copias de la curva respetando las reglas de una superficie de traslación. El contorno de la superficie es la envolvente de las curvas dibujadas con la plantilla. Este procedimiento funciona para proyecciones ortogonales y oblicuas, pero no para proyecciones centrales .
- Geometría diferencial
Para una superficie de traslación con representación paramétrica las derivadas parciales deson simples derivadas de las curvas. Por tanto, las derivadas mixtas son siempre y el coeficiente de la segunda forma fundamental es, también. Esta es una facilitación esencial para demostrar que (por ejemplo) un helicoide es una superficie mínima.
Referencias
- ^ H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709187788 , 9783709187784, p. 236
- ^ Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488 , 9783709181485, pág. 208
- ↑ Hans Schober: Transparente Schalen: Form, Topologie, Tragwerk , John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X , 9783433605981, S. 74
- ^ Wilhelm Blaschke, Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie , Springer-Verlag, 2013 ISBN 364247392X , 9783642473920, pág. 94
- ^ Erwin Kruppa: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673 , 9783709178676, pág. 45
- ^ JCC Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196 , 9783642656194, pág. 59
- G. Darboux: Leçons sur la théorie générale des surface et ses applications géométriques du calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, reimpresión, 972, págs. Sects. 81–84, 218
- Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen en Kunst, Natur und Technik , Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X , pág. 259
- W. Haack: Geometría diferencial elemental , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , pág. 140
- C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Kohlhammer Verlag , Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X , pág. 122
- DJ Struik: Conferencias sobre geometría diferencial clásica , Dover, reimpresión, 1988, págs.103, 109, 184