Conjunto de trapezoedros n -gonales de doble uniforme | |
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Ejemplo de trapezoedro pentagonal de doble uniforme | |
Tipo | dual- uniforme en el sentido de poliedro dual- semirregular |
Notación de Conway | dA n |
Símbolo de Schläfli | {} ⨁ { n } [1] |
Diagramas de Coxeter | |
Caras | 2 n cometas congruentes |
Bordes | 4 n |
Vértices | 2 n + 2 |
Configuración de la cara | V3.3.3. norte |
Grupo de simetría | D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), orden 4 n |
Grupo de rotacion | D n , [2, n ] + , (22 n ), orden 2 n |
Poliedro doble | (convexo) antiprisma n -gonal uniforme |
Propiedades | vértices regulares convexos , transitivos a la cara [2] |
Un trapezoedro n -gonal , antidipirámide , antibipirámide o deltoedro es el poliedro dual de un antiprisma n -gonal . Las 2 n caras de un n -trapezoedro son congruentes y simétricamente escalonadas; se llaman cometas retorcidas . Con una simetría más alta, sus 2 n caras son cometas (también llamadas trapezoides o delt o ids ).
La parte n -gon del nombre no se refiere a caras aquí, sino a dos arreglos de cada n vértices alrededor de un eje de simetría n- pliegues. El antiprisma dual n -gonal tiene dos caras reales de n- gón.
Un n trapezoedro -gonal pueden ser diseccionados en dos iguales n pirámides -gonal y un n -gonal antiprisma .
Nombre
Estas figuras, a veces llamadas delt o hedra, no deben confundirse con delt a hedra , cuyas caras son triángulos equiláteros.
Un trapezoedro trigonal retorcido (con seis caras trapezoidales retorcidas ) y un trapezoedro tetragonal retorcido (con ocho caras trapezoidales retorcidas ) existen como cristales; en cristalografía [3] (que describe los hábitos cristalinos de los minerales ), se denominan simplemente trapezoedro trigonal y trapezoedro tetragonal . No tienen plano de simetría ni centro de simetría. El trapezoedro trigonal tiene un eje de simetría triple, perpendicular a tres ejes de simetría doble. [4] El trapezoedro tetragonal tiene un eje de simetría cuádruple, perpendicular a cuatro ejes de simetría doble. [5]
También en cristalografía, la palabra trapezoedro se usa a menudo para el poliedro con 24 caras trapezoidales, propiamente conocido como icositetraedro (deltoidal) . [6] Otro poliedro, con 12 caras trapezoidales, se conoce como dodecaedro deltoides . [7]
Simetría
El grupo de simetría de un trapezoedro n -gonal es D n d , de orden 4 n , excepto en el caso de n = 3: un cubo tiene el grupo de simetría más grande O d de orden 48 = 4 × (4 × 3), que tiene cuatro versiones de D 3d como subgrupos.
El grupo de rotación de un n -trapezoedro es D n , de orden 2 n , excepto en el caso de n = 3: un cubo tiene el grupo de rotación más grande O de orden 24 = 4 × (2 × 3), que tiene cuatro versiones de D 3 como subgrupos.
Un grado de libertad dentro de la simetría de D n d (orden 4 n ) a D n (orden 2 n ) cambia las cometas congruentes en cuadriláteros congruentes con tres longitudes de borde, llamadas cometas retorcidas , y el n -trapezoedro se llama trapezoedro retorcido . (En el límite, un borde de cada cuadrilátero tiene una longitud cero y el n -trapezoedro se convierte en una n -bipirámide ).
Si las cometas que rodean los dos picos no están torcidas sino que tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C n v (cíclica con espejos verticales), orden 2 n , y se denomina trapezoedro desigual o asimétrico . Su dual es un n-antiprisma desigual , con los polígonos superior e inferior de diferentes radios.
Si las cometas están torcidas y tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C n (cíclica), orden n , y se denomina trapezoedro torcido desigual .
Tipo trapezoedro | Trapezoedro retorcido | Trapezoedro desigual | Trapezoedro retorcido desigual | |
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Grupo de simetría | D 6 , (662), [6,2] + | C 6v , (* 66), [6] | C 6 , (66), [6] + | |
Imagen de poliedro | ||||
Neto |
Formularios
Un n -trapezoedro tiene 2 n caras cuadriláteras, con 2 n +2 vértices. Dos vértices están en el eje polar, y los otros vértices están en dos anillos de vértices n -gonales regulares .
Casos especiales:
- n = 2. Una forma degenerada de trapezoedro: a geométrico tetraedro con 6 vértices, 8 aristas, y 4 degenerados cometa caras que están degeneradas d en triángulos. Su dual es una forma degenerada de antiprisma : también un tetraedro.
- n = 3. El dual de un antiprisma triangular : las cometas son rombos (o cuadrados); de ahí que estos trapezoedros también sean zonoedros . Se llaman romboedros . Son cubos escalados en la dirección de la diagonal del cuerpo. También son los paralelepípedos con caras rómbicas congruentes.
- Un caso especial de romboedro es aquel en el que los rombos que forman las caras tienen ángulos de 60 ° y 120 °. Se puede descomponer en dos tetraedros regulares iguales y un octaedro regular . Dado que los paralelepípedos pueden llenar el espacio , también puede hacerlo una combinación de tetraedros regulares y octaedros regulares .
Ejemplos de
- Las disposiciones cristalinas de los átomos pueden repetirse en el espacio con células trapezoédricas trigonales y hexagonales. [8]
- El trapezoedro pentagonal es el único poliedro además de los sólidos platónicos que se usan comúnmente como dado en juegos de rol como Dungeons & Dragons . Al tener 10 lados, se puede usar en repetición para generar cualquier probabilidad uniforme basada en decimales deseada. Por lo general, se usan dos dados de diferentes colores para que los dos dígitos representen números del 00 al 99.
Trapezoedro estrella
Una cara transitivo estrella p / q -trapezohedron se define por un regular de zig-zag skew estrellas 2 p / q -gon base, dos simétricos vértices sin grado de libertad a la derecha arriba y justo debajo de la base, y la cometa caras que conectan cada par de los bordes adyacentes de la base a un ápice.
Tal estrella p / q -trapezoedro es una forma auto-intersecante , cruzada o no convexa . Existe para cualquier estrella oblicua en zig-zag regular 2 p / q -base de gón; pero si p / q <3/2, entonces p - q < q / 2, por lo que el antiprisma de estrella dual (del trapezoedro de estrella) no puede ser uniforme (es decir, no puede tener longitudes de borde iguales); y si p / q = 3/2, entonces p - q = q / 2, entonces el antiprisma de estrella dual debe ser plano, por lo tanto degenerado, para ser uniforme.
Una estrella de doble uniforme p / q -trapezoedro tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin .
5/2 | 5/3 | 7/2 | 7/3 | 7/4 | 8/3 | 8/5 | 9/2 | 4/9 | 9/5 |
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10/3 | 2/11 | 3/11 | 4/11 | 5/11 | 6/11 | 7/11 | 12/5 | 12/7 |
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Ver también
- Trapezoedro disminuido
- Dodecaedro rómbico
- Triacontaedro rómbico
- Bipirámide
- Trapezoedro truncado
- Notación de poliedro de Conway
- The Haunter of the Dark , un cuento de HP Lovecraft en el que un antiguo artefacto ficticio conocido como The Shining Trapezohedron juega un papel crucial.
Referencias
- ^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas, Figura 11.3c
- ^ "dualidad" . maths.ac-noumea.nc . Consultado el 19 de octubre de 2020 .
- ^ "1911 Encyclopædia Britannica / Crystallography - Wikisource, la biblioteca en línea gratuita" . en.m.wikisource.org . Consultado el 16 de noviembre de 2020 .
- ^ 1911 Encyclopædia Britannica / Cristalografía, SISTEMA HEXAGONAL, División romboédrica, CLASE TRAPEZOHEDRAL, FIG. 74.
- ^ 1911 Encyclopædia Britannica / Cristalografía, SISTEMA TETRAGONAL, CLASE TRAPEZOHEDRAL.
- ^ 1911 Encyclopædia Britannica / Cristalografía, FIG. 17.
- ^ 1911 Encyclopædia Britannica / Cristalografía, FIG. 27.
- ^ Clase trigonal-trapezoédrica, 3 2 y Clase hexagonal-trapezoédrica, 6 2 2
- Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Trapezoedro" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> [ enlace muerto permanente ] <9> <10>
- Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dA n ", donde n = 3,4,5 ... Ejemplo: "dA5" es un trapezoedro pentagonal.
- Modelo de papel trapezoedro tetragonal (cuadrado)