automorfismo
En matemáticas , un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto y una forma de mapear el objeto a sí mismo mientras se preserva toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo , llamado grupo de automorfismos . Es, en términos generales, el grupo de simetría del objeto.
En el contexto del álgebra abstracta , un objeto matemático es una estructura algebraica como un grupo , un anillo o un espacio vectorial . Un automorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo de un objeto consigo mismo. (La definición de homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo y operador lineal ).
El morfismo de identidad ( mapeo de identidad ) se denomina automorfismo trivial en algunos contextos. Respectivamente, otros automorfismos (no de identidad) se denominan automorfismos no triviales .
La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de "objeto matemático" en cuestión y qué, precisamente, constituye un "isomorfismo" de ese objeto. El escenario más general en el que estas palabras tienen significado es una rama abstracta de las matemáticas llamada teoría de categorías . La teoría de categorías trata con objetos abstractos y morfismos entre esos objetos.
En la teoría de categorías, un automorfismo es un endomorfismo (es decir, un morfismo de un objeto a sí mismo) que también es un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra, lo que significa que existe un endomorfismo inverso derecho e izquierdo).
Esta es una definición muy abstracta ya que, en la teoría de categorías, los morfismos no son necesariamente funciones y los objetos no son necesariamente conjuntos. Sin embargo, en la mayoría de los escenarios concretos, los objetos serán conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos serán funciones que preservan esa estructura.
