En matemáticas , es un teorema que no existe un análogo de la medida de Lebesgue en un espacio de Banach de dimensión infinita . Por lo tanto, se utilizan otros tipos de medidas en espacios de dimensión infinita: a menudo, se utiliza la construcción del espacio abstracto de Wiener . Alternativamente, se puede considerar la medida de Lebesgue en subespacios de dimensión finita del espacio más grande y considerar los llamados conjuntos prevalentes y tímidos .
Los conjuntos compactos en los espacios de Banach también pueden llevar medidas naturales: el cubo de Hilbert , por ejemplo, lleva el producto medida de Lebesgue . En un espíritu similar, el grupo topológico compacto dado por el producto de Tychonoff de un número infinito de copias del grupo circular es de dimensión infinita y lleva una medida de Haar que es invariante en la traducción.
Motivación
Se puede demostrar que la medida de Lebesgue λ n en espacio euclidiano R n es localmente finita , estrictamente positivo y traducción - invariante , de forma explícita:
- todo punto x en R n tiene una vecindad abierta N x con medida finita λ n ( N x ) <+ ∞;
- cada subconjunto abierto no vacío U de R n tiene una medida positiva λ n ( U )> 0; y
- si A es cualquier subconjunto medible de Lebesgue de R n , T h : R n → R n , T h ( x ) = x + h , denota el mapa de traslación, y ( T h ) ∗ ( λ n ) denota el avance , entonces ( T h ) ∗ ( λ n ) ( A ) = λ n ( A ).
Geométricamente hablando, estas tres propiedades hacen que sea muy agradable trabajar con la medida de Lebesgue. Cuando consideramos un espacio de dimensión infinita, como un espacio L p o el espacio de caminos continuos en el espacio euclidiano, sería bueno tener una medida igualmente agradable para trabajar. Desafortunadamente, esto no es posible.
Declaración del teorema
Sea ( X , || · ||) un espacio de Banach separable de dimensión infinita . Entonces, la única medida de Borel localmente finita e invariante en la traducción μ en X es la medida trivial , con μ ( A ) = 0 para cada conjunto A medible . De manera equivalente, cada medida invariante por traslación que no es idénticamente cero cesionarios infinita medida a todos los subconjuntos abiertos de X .
Prueba del teorema
Sea X un espacio de Banach separable de dimensión infinita equipado con una medida μ localmente finita invariante en la traducción . Utilizando la finitud local, suponga que, para algún δ > 0, la bola abierta B ( δ ) de radio δ tiene una medida μ finita . Dado que X es de dimensión infinita, hay una secuencia infinita de bolas abiertas disjuntas por pares B n ( δ / 4), n ∈ N , de radio δ / 4, con todas las bolas más pequeñas B n ( δ / 4) contenidas dentro de la bola más grande B ( δ ). Por invariancia de traslación, todas las bolas más pequeñas tienen la misma medida; dado que la suma de estas medidas es finita, las bolas más pequeñas deben tener μ -medida cero. Ahora, como X es separable, puede cubrirse con una colección contable de bolas de radio δ / 4; dado que cada una de esas bolas tiene μ -medida cero, también debe hacerlo todo el espacio X , por lo que μ es la medida trivial.
Referencias
- Hunt, Brian R. y Sauer, Tim y Yorke, James A. (1992). "Prevalencia: una traducción invariante" casi todos "en espacios de dimensión infinita". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : matemáticas / 9210220 . doi : 10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) (Ver sección 1: Introducción)
- Oxtoby, John C .; Prasad, Vidhu S. (1978). "Medidas homeomorfas en el cubo de Hilbert" . Pacific Journal of Mathematics . 77 (2).