Tesseract | Tesseract truncado | Tesseract rectificado | Tesseract bitruncado |
Diagramas de Schlegel centrados en [4,3] (celdas visibles en [3,3]) | |||
16 celdas | 16 celdas truncadas | 16 celdas rectificadas ( 24 celdas ) | Tesseract bitruncado |
Diagramas de Schlegel centrados en [3,3] (celdas visibles en [4,3]) |
En geometría , un tesseract truncado es un 4-politopo uniforme formado como el truncamiento del tesseract regular .
Hay tres truncamientos, incluido un bitruncation y un tritruncation, que crea el truncado de 16 celdas .
Tesseract truncado
Tesseract truncado | ||
---|---|---|
Diagrama de Schlegel ( células tetraédricas visibles) | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t {4,3,3} | |
Diagramas de Coxeter | ||
Células | 24 | 8 3.8.8 16 3.3.3 |
Caras | 88 | 64 {3} 24 {8} |
Bordes | 128 | |
Vértices | 64 | |
Figura de vértice | () v {3} | |
Doble | Tetrakis de 16 celdas | |
Grupo de simetría | B 4 , [4,3,3], orden 384 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 12 13 14 |
El tesseract truncado está delimitado por 24 celdas : 8 cubos truncados y 16 tetraedros .
Nombres Alternativos
- Teseracto truncado ( Norman W. Johnson )
- Teseracto truncado (acrónimo tat) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [1]
Construcción
El tesseract truncado se puede construir truncando los vértices del tesseract ende la longitud del borde. Se forma un tetraedro regular en cada vértice truncado.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un tesseract truncado que tiene una longitud de borde 2 están dadas por todas las permutaciones de:
Proyecciones
En la primera proyección paralela del cubo truncado del tesseract truncado en un espacio tridimensional, la imagen se presenta de la siguiente manera:
- La envolvente de proyección es un cubo .
- Dos de las celdas del cubo truncado se proyectan sobre un cubo truncado inscrito en el sobre cúbico.
- Los otros 6 cubos truncados se proyectan sobre las caras cuadradas del sobre.
- Los 8 volúmenes tetraédricos entre la envoltura y las caras triangulares del cubo central truncado son las imágenes de los 16 tetraedros, un par de celdas para cada imagen.
Imagenes
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Una red poliédrica | Tesseract truncado proyectado en la 3-esfera con una proyección estereográfica en el 3-espacio. |
Politopos relacionados
El tesseract truncado , es el tercero en una secuencia de hipercubos truncados :
Imagen | ... | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | Octágono | Cubo truncado | Tesseract truncado | 5 cubos truncados | 6 cubos truncados | 7 cubos truncados | 8 cubos truncados | |
Diagrama de Coxeter | ||||||||
Figura de vértice | () v () | () v {} | () v {3} | () v {3,3} | () v {3,3,3} | () v {3,3,3,3} | () v {3,3,3,3,3} |
Tesseract bitruncado
Tesseract bitruncado | ||
---|---|---|
Dos diagramas de Schlegel , centrados en células tetraédricas truncadas o octaédricas truncadas, con tipos de células alternos ocultos. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | 2t {4,3,3} 2t {3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3} | |
Diagramas de Coxeter | = | |
Células | 24 | 8 4.6.6 16 3.6.6 |
Caras | 120 | 32 {3} 24 {4} 64 {6} |
Bordes | 192 | |
Vértices | 96 | |
Figura de vértice | Disfenoide digonal | |
Grupo de simetría | B 4 , [3,3,4], orden 384 D 4 , [3 1,1,1 ], orden 192 | |
Propiedades | convexo , vértice-transitivo | |
Índice uniforme | 15 16 17 |
El tesseract bitruncado , el bitruncado de 16 celdas o el tesseractihexadecachoron se construye mediante una operación de ejecución de bits aplicada al tesseract . También se le puede llamar un tesseract runcicantic con la mitad de los vértices de un tesseract runcicantellated con un construcción.
Nombres Alternativos
- Teseracto bitruncado / Teseracto rúnico ( Norman W. Johnson )
- Tesseract bitruncado (acrónimo tah) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [2]
Construcción
Un tesseract se trunca truncando sus celdas más allá de sus puntos medios, convirtiendo los ocho cubos en ocho octaedros truncados . Estos todavía comparten sus caras cuadradas, pero las caras hexagonales forman tetraedros truncados que comparten sus caras triangulares entre sí.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un tesseract bitruncado que tiene una longitud de borde 2 están dadas por todas las permutaciones de:
Estructura
Los octaedros truncados están conectados entre sí mediante sus caras cuadradas y con los tetraedros truncados mediante sus caras hexagonales. Los tetraedros truncados están conectados entre sí a través de sus caras triangulares.
Proyecciones
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Proyecciones estereográficas
La proyección del primer octaedro truncado del tesseract bitruncado en el espacio 3D tiene una envolvente cúbica truncada . Dos de las celdas octaédricas truncadas se proyectan sobre un octaedro truncado inscrito en esta envoltura, con las caras cuadradas tocando los centros de las caras octaédricas. Las 6 caras octaédricas son las imágenes de las 6 celdas octaédricas truncadas restantes. El espacio restante entre el octaedro truncado inscrito y la envoltura se llena con 8 tetraedros truncados aplanados, cada uno de los cuales es la imagen de un par de células tetraédricas truncadas.
Coloreado de forma transparente con triángulos rosas, cuadrados azules y hexágonos grises |
Politopos relacionados
El tesseract bitruncado es el segundo en una secuencia de hipercubos bitruncated :
Imagen | ... | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | Cubo bitruncado | Tesseract bitruncado | 5-cubo bitruncado | 6-cubo bitruncado | 7-cubo bitruncado | 8 cubos bitruncados | |
Coxeter | |||||||
Figura de vértice | () v {} | {} v {} | {} v {3} | {} v {3,3} | {} v {3,3,3} | {} v {3,3,3,3} |
16 celdas truncadas
Teseracto cántico truncado de 16 células | ||
---|---|---|
Diagrama de Schlegel ( células octaedro visibles) | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t {4,3,3} t {3,3 1,1 } h 2 {4,3,3} | |
Diagramas de Coxeter | = | |
Células | 24 | 8 3.3.3.3 16 3.6.6 |
Caras | 96 | 64 {3} 32 {6} |
Bordes | 120 | |
Vértices | 48 | |
Figura de vértice | pirámide cuadrada | |
Doble | Tesseract de Hexakis | |
Grupos de Coxeter | B 4 [3,3,4], orden 384 D 4 [3 1,1,1 ], orden 192 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 16 17 18 |
El teseracto cántico truncado de 16 celdas , hexadecacoron truncado , que está delimitado por 24 celdas : 8 octaedros regulares y 16 tetraedros truncados . Tiene la mitad de los vértices de un tesseract cantelado con construcción.
Está relacionado, pero no debe confundirse con, el de 24 celdas , que es un 4-politopo regular limitado por 24 octaedros regulares.
Nombres Alternativos
- Tesseract truncado de 16 celdas / cántico ( Norman W. Johnson )
- Hexadecacoron truncado (acrónimo thex) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [3]
Construcción
Las 16 celdas truncadas se pueden construir a partir de las 16 celdas truncando sus vértices a 1/3 de la longitud del borde. Esto da como resultado las 16 células tetraédricas truncadas e introduce los 8 octaedros (figuras de vértice).
(Truncar una celda de 16 a la mitad de la longitud del borde da como resultado la celda de 24 , que tiene un mayor grado de simetría porque las celdas truncadas se vuelven idénticas a las figuras de vértice).
Las coordenadas cartesianas de los vértices de 16 celdas truncadas que tienen una longitud de borde 2√2 vienen dadas por todas las permutaciones y combinaciones de signos:
- (0,0,1,2)
Una construcción alternativa comienza con un demitesseract con coordenadas de vértice (± 3, ± 3, ± 3, ± 3), que tiene un número par de cada signo, y lo trunca para obtener las permutaciones de
- (1,1,3,3), con un número par de cada signo.
Estructura
Los tetraedros truncados se unen entre sí a través de sus caras hexagonales. Los octaedros se unen a los tetraedros truncados a través de sus caras triangulares.
Proyecciones
Centrado en octaedro
La proyección paralela del primer octaedro de las 16 celdas truncadas en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
- La envolvente de proyección es un octaedro truncado .
- Las 6 caras cuadradas del sobre son las imágenes de 6 de las celdas octaédricas.
- Un octaedro se encuentra en el centro del sobre, unido al centro de las 6 caras cuadradas por 6 bordes. Esta es la imagen de las otras 2 celdas octaédricas.
- El espacio restante entre la envoltura y el octaedro central está lleno de 8 tetraedros truncados (distorsionados por proyección). Estas son las imágenes de las 16 celdas tetraédricas truncadas, un par de celdas para cada imagen.
Este diseño de celdas en proyección es análogo al diseño de caras en la proyección del octaedro truncado en un espacio bidimensional. Por lo tanto, las 16 celdas truncadas pueden considerarse como el análogo de 4 dimensiones del octaedro truncado.
Centrado en tetraedro truncado
La primera proyección paralela del tetraedro truncado de las 16 celdas truncadas en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
- La envolvente de proyección es un cubo truncado .
- El tetraedro truncado más cercano al mirador 4D se proyecta hacia el centro del sobre, con sus caras triangulares unidas a 4 volúmenes octaédricos que lo conectan con 4 de las caras triangulares del sobre.
- El espacio restante en el sobre se llena con otros 4 tetraedros truncados.
- Estos volúmenes son las imágenes de las células que se encuentran en el lado cercano de las 16 células truncadas; las otras celdas se proyectan en el mismo diseño excepto en la configuración dual.
- Las seis caras octagonales de la envolvente de proyección son las imágenes de las 6 celdas tetraédricas truncadas restantes.
Imagenes
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Neto | Proyección estereográfica (centrada en tetraedro truncado ) |
Politopos relacionados
Un truncado de 16 celdas, como un 4-cubo cantico, está relacionado con la familia dimensional de n-cubos canticos:
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|
Simetría [1 + , 4,3 n-2 ] | [1 + , 4,3] = [3,3] | [1 + , 4,3 2 ] = [3,3 1,1 ] | [1 + , 4,3 3 ] = [3,3 2,1 ] | [1 + , 4,3 4 ] = [3,3 3,1 ] | [1 + , 4,3 5 ] = [3,3 4,1 ] | [1 + , 4,3 6 ] = [3,3 5,1 ] |
Figura cantic | ||||||
Coxeter | = | = | = | = | = | = |
Schläfli | h 2 {4,3} | h 2 {4,3 2 } | h 2 {4,3 3 } | h 2 {4,3 4 } | h 2 {4,3 5 } | h 2 {4,3 6 } |
Politopos uniformes relacionados
Politopos uniformes relacionados en simetría demitesseract
Policora uniforme D 4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 1,1 } h {4,3,3} | 2r {3,3 1,1 } h 3 {4,3,3} | t {3,3 1,1 } h 2 {4,3,3} | 2 t {3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3} | r {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} | rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} | tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} | sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
Politopos uniformes relacionados en simetría tesseract
Politopos de simetría B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | tesseract | tesseract rectificado | tesseract truncado | tesseract cantelado | tesseract runcinated | tesseract bitruncado | tesseract cantitruncado | tesseract truncado | tesseract omnitruncado | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | |||||||||
Símbolo de Schläfli | {4,3,3} | t 1 {4,3,3} r {4,3,3} | t 0,1 {4,3,3} t {4,3,3} | t 0,2 {4,3,3} rr {4,3,3} | t 0,3 {4,3,3} | t 1,2 {4,3,3} 2t {4,3,3} | t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} | t 0,1,3 {4,3,3} | t 0,1,2,3 {4,3,3} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
Nombre | 16 celdas | rectificado de 16 celdas | 16 celdas truncadas | 16 celdas canteladas | runcinated de 16 celdas | bitruncado de 16 celdas | cantitruncado de 16 celdas | runcitruncated 16 celdas | 16 celdas omnitruncadas | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | = | = | = | = | |||||
Símbolo de Schläfli | {3,3,4} | t 1 {3,3,4} r {3,3,4} | t 0,1 {3,3,4} t {3,3,4} | t 0,2 {3,3,4} rr {3,3,4} | t 0,3 {3,3,4} | t 1,2 {3,3,4} 2t {3,3,4} | t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} | t 0,1,3 {3,3,4} | t 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 |
Notas
- ^ Klitzing, (o3o3o4o - tat)
- ^ Klitzing, (o3x3x4o - tah)
- ^ Klitzing, (x3x3o4o - thex)
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Coxeter, Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3ª edición, Dover Nueva York, 1973, pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
- 2. Policora uniforme convexa basada en tesseract (8 celdas) y hexadecachoron (16 celdas) - Modelos 13, 16, 17 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora)" . o3o3o4o - tat, o3x3x4o - tah, x3x3o4o - thex
enlaces externos
- Modelo en papel de tesseract truncado creado utilizando redes generadas por el software Stella4D
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |