En matemáticas , un álgebra de von Neumann o W*-álgebra es un *-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología del operador débil y contiene el operador de identidad . Es un tipo especial de C*-álgebra .
Las álgebras de Von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores individuales , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutador muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.
Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (FJ Murray & J. von Neumann 1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann 1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961) .
Se dan descripciones introductorias de las álgebras de von Neumann en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y en los libros de Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) y Sakai (1971) . El trabajo de tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una descripción enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) trata temas más avanzados.
La primera y más común es definirlas como *-álgebras débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición, la topología débil (operador) se puede reemplazar por muchas otras topologías comunes, incluidas las topologías de operador fuerte , ultrafuerte o ultradébil . Las *-álgebras de operadores acotados que están cerrados en la topología normal son C*-álgebras , por lo que, en particular, cualquier álgebra de von Neumann es una C*-álgebra.
La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados por involución (la operación *) e igual a su doble conmutador , o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada por *. El teorema del doble conmutante de von Neumann ( von Neumann 1930 ) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.