Punto umbilical

Líneas de curvatura en un elipsoide que muestran puntos umbilicos (rojo).

En la geometría diferencial de superficies en tres dimensiones, los umbilicos o puntos umbilicales son puntos en una superficie que son localmente esféricos. En tales puntos, las curvaturas normales en todas las direcciones son iguales, por lo tanto, ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente es una dirección principal . El nombre "umbilic" proviene del latín umbilicus ( ombligo ).

Los puntos umbílicos generalmente ocurren como puntos aislados en la región elíptica de la superficie; es decir, donde la curvatura gaussiana es positiva.

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Tiene cada esfera topológica lisa en el espacio euclidiano al menos dos umbilicos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La esfera es la única superficie con curvatura distinta de cero donde cada punto es umbilical. Un umbilico plano es un umbilico con curvatura gaussiana cero. La silla de montar del mono es un ejemplo de una superficie con un umbilico plano y en el plano cada punto es un umbilico plano. Un toro no puede tener umbilicos, pero cada superficie cerrada de característica de Euler distinta de cero , incrustada suavemente en el espacio euclidiano , tiene al menos un umbilical. Una conjetura no probada de Constantin Carathéodory establece que cada esfera topológica lisa en el espacio euclidiano tiene al menos dos umbilicos. ^[1]

Los tres tipos principales de puntos umbilicos son el ombligo elíptico, el ombligo parabólico y el ombligo hiperbólico. Los umbilicos elípticos tienen las tres líneas de cresta que pasan a través del umbilico y los umbilicos hiperbólicos tienen solo una. Los umbilicos parabólicos son un caso de transición con dos crestas, una de las cuales es singular. Son posibles otras configuraciones para casos de transición. Estos casos corresponden a las catástrofes elementales D ₄ ^- , D ₅ y D ₄ ⁺ de la teoría de catástrofes de René Thom .

Los umbílicos también se pueden caracterizar por el patrón del campo vectorial de dirección principal alrededor del umbilical, que típicamente forman una de tres configuraciones: estrella, limón y estrella de limón (o monstar). El índice del campo vectorial es −½ (estrella) o ½ (limón, monstar). Los umbilicos elípticos y parabólicos siempre tienen el patrón de estrella, mientras que los umbilicos hiperbólicos pueden ser estrella, limón o monstar. Esta clasificación se debió primero a Darboux y los nombres provienen de Hannay. ^[2]

Para superficies con género 0 con umbilicos aislados, por ejemplo, un elipsoide, el índice del campo del vector de dirección principal debe ser 2 según el teorema de Poincaré-Hopf . Las superficies genéricas del género 0 tienen al menos cuatro umbilicos de índice ½. Un elipsoide de revolución tiene dos umbilicos no genéricos, cada uno de los cuales tiene un índice 1. ^[3]

• configuraciones de líneas de curvatura cerca de umbilicos
• 

  Estrella

• 

  Monstar

• 

  Limón

Clasificación de umbilicos

Formas cúbicas

La clasificación de los umbilicos está íntimamente ligada a la clasificación de las formas cúbicas reales . Una forma cúbica tendrá un número de líneas de raíz de modo que la forma cúbica sea cero para todo real . Hay una serie de posibilidades que incluyen:${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$${\displaystyle \lambda (x,y)}$${\displaystyle \lambda }$

• Tres líneas distintas: una forma cúbica elíptica , modelo estándar .${\displaystyle x^{2}y-y^{3}}$
• Tres líneas, dos de las cuales coinciden: una forma cúbica parabólica , modelo estándar .${\displaystyle x^{2}y}$
• Una sola línea real: una forma cúbica hiperbólica , modelo estándar .${\displaystyle x^{2}y+y^{3}}$
• Tres líneas coincidentes, modelo estándar . ^[4]${\displaystyle x^{3}}$

Las clases de equivalencia de tales cúbicos bajo escala uniforme forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas definen una superficie, llamada brazalete umbilical por Christopher Zeeman . ^[4] Tomar clases de equivalencia bajo rotación del sistema de coordenadas elimina un parámetro más y las formas cúbicas se pueden representar mediante la forma cúbica compleja con un único parámetro complejo . Las formas parabólicas ocurren cuando , el deltoides interno, las formas elípticas están dentro del deltoides y las hiperbólicas afuera. Si y no es una raíz cúbica de la unidad, entonces la forma cúbica es una forma cúbica en ángulo recto que juega un papel especial para los umbilicos. Si${\displaystyle z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })}$${\displaystyle \left|\beta \right|=1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}}$entonces dos de las líneas de la raíz son ortogonales. ^[5]

Una segunda forma cúbica, la jacobiana se forma tomando el determinante jacobiano de la función de vector valorada , . Hasta un múltiplo constante, esta es la forma cúbica . Usando números complejos, el jacobiano es una forma cúbica parabólica cuando , el deltoides externo en el diagrama de clasificación. ^[5]${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$${\displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$${\displaystyle \beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }}$

Clasificación umbílica

Clasificación umbílica, el —plano. El deltoides interno da umbilicos parabólicos, separa umbilicos elípticos e hiperbólicos. Cúspides del deltoides interno: umbilicos cúbicos. Círculo exterior, el nacimiento de los umbilicos separa las configuraciones estrella y monstar. Deltoides externo, separa la configuración monstar y lemon. Diagonales y línea horizontal: umbilicos simétricos con simetría especular.${\displaystyle \beta }$

Cualquier superficie con un punto umbilico aislado en el origen puede expresarse como una parametrización de la forma Monge , donde es la curvatura principal única. El tipo de umbilical se clasifica por la forma cúbica de la parte cúbica y la forma cúbica jacobiana correspondiente. Si bien las direcciones principales no están definidas de forma única en un umbilico, se pueden encontrar los límites de las direcciones principales cuando se sigue una cresta en la superficie y estas corresponden a las líneas de raíces de la forma cúbica. El patrón de líneas de curvatura está determinado por el jacobiano. ^[5]${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots }$${\displaystyle \kappa }$

La clasificación de los puntos umbilicales es la siguiente: ^[5]

• Dentro del deltoides interno - umbilicos elípticos
  • En el círculo interior: dos líneas de cresta tangentes
• Sobre deltoides interno - umbilicos parabólicos
• Deltoides interno externo - umbilicos hiperbólicos
  • Dentro del círculo exterior - patrón de estrella
  • En el círculo exterior - nacimiento de los umbilicos
  • Entre el círculo exterior y el deltoides exterior - patrón monstar
  • Deltoides externo externo - patrón de limón
• Cúspides del deltoides interno - umbilics cúbicos (simbólicos)
• En las diagonales y la línea horizontal - umbilicos simétricos con simetría especular

En una familia genérica de superficies, los umbilicos pueden crearse, o destruirse, en pares: el nacimiento de la transición del umbilical . Ambos umbilicos serán hiperbólicos, uno con patrón de estrella y otro con patrón monstar. El círculo exterior en el diagrama, una forma cúbica de ángulo recto, da estos casos de transición. Los umbilicos simbólicos son un caso especial de esto. ^[5]

Superficie focal

Una superficie con un umbilical elíptico y su superficie focal.

Una superficie con un umbilico hiperbólico y su superficie focal.

Los umbilicos elípticos y los hiperbólicos tienen superficies focales claramente diferentes . Una cresta en la superficie corresponde a los bordes cúspides, por lo que cada hoja de la superficie focal elíptica tendrá tres bordes cúspides que se unen en el foco umbilical y luego cambian a la otra hoja. Para un umbilico hiperbólico hay un solo borde cúspide que cambia de una hoja a la otra. ^[5]

Definición en dimensión superior en variedades riemannianas

Un punto p en una subvarietal de Riemann es umbilical si, en p , la Segunda forma fundamental (con valores vectoriales) es algún tensor vectorial normal, la métrica inducida ( Primera forma fundamental ). De manera equivalente, para todos los vectores U ,  V en p , II ( U ,  V ) =  g _p ( U ,  V ) , donde es el vector de curvatura media en  p . ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

Se dice que una subvariedad es umbílica (o totalmente umbílica) si esta condición se cumple en cada punto "p". Esto equivale a decir que la subvariedad puede hacerse totalmente geodésica mediante un cambio conforme apropiado de la métrica de la variedad circundante ("ambiental"). Por ejemplo, una superficie en el espacio euclidiano es umbilica si y solo si es un trozo de esfera.

Ver también

• umbilical - un término anatómico que significa o se relaciona con el ombligo
• Conjetura de Carathéodory

Referencias

• Darboux, Gaston (1887,1889,1896), Leçons sur la théorie génerale des surface: Volumen I , Volumen II , Volumen III , Volumen IV , Gauthier-Villars
• Imágenes de star, lemon, monstar y otras referencias.

1. Berger, Marcel (2010), "La conjetura de Caradéodory", Geometría revelada , Springer, Heidelberg, págs. 389–390, doi : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, MR  2724440.
2. Berry, MV; Hannay, JH (1977). "Puntos umbilicos en superficies aleatorias gaussianas". J. Phys. Una . 10 : 1809–21.
3. Porteous, p 208
4. Poston, Tim ; Stewart, Ian (1978), Teoría de catástrofes y sus aplicaciones , Pitman, ISBN 0-273-01029-8
5. Porteous, Ian R. (2001), Diferenciación geométrica , Cambridge University Press, págs. 198-213, ISBN 0-521-00264-8