En la geometría de Riemann , el paquete unitario tangente de una variedad de Riemann ( M , g ), denotado por T 1 M , UT ( M ) o simplemente UT M , es el paquete de esferas unitarias para el paquete tangente T ( M ). Es un haz de fibras sobre M cuya fibra en cada punto es la esfera unitaria en el haz tangente:
donde T x ( M ) denota el espacio tangente a M en x . Por lo tanto, los elementos de UT ( M ) son pares ( x , v ), donde x es algún punto de la variedad yv es alguna dirección tangente (de longitud unitaria) a la variedad en x . El paquete unitario tangente está equipado con una proyección natural
que lleva cada punto del paquete a su punto base. La fibra π -1 ( x ) sobre cada punto x ∈ M es un ( n -1) - esfera S n -1 , donde n es la dimensión de M . El paquete unitario tangente es, por lo tanto, un paquete de esferas sobre M con fibra S n −1 .
La definición de paquete de esfera unitaria también puede adaptarse fácilmente a los colectores de Finsler . Específicamente, si M es una variedad equipada con una métrica de Finsler F : T M → R , entonces el paquete de esferas unitarias es el subconjunto del paquete tangente cuya fibra en x es la indicatriz de F :
Si M es una variedad de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Banach , Fréchet o Hilbert ), entonces UT ( M ) todavía se puede considerar como el paquete de esferas unitarias para el paquete tangente T ( M ), pero la fibra π - 1 ( x ) sobre x es entonces la esfera unitaria de dimensión infinita en el espacio tangente.
Estructuras
El paquete unitario tangente lleva una variedad de estructuras geométricas diferenciales. La métrica de M induce una estructura de contacto de UT M . Esto se da en términos de una forma tautológica , definida en un punto u de UT M (un vector unitario tangente de M ) por
dónde es la pushforward lo largo de π del vector v ∈ T T UT M .
Geométricamente, esta estructura de contacto puede ser considerado como la distribución de (2 n -2) -planes que, en el vector unitario u , es la retirada del complemento ortogonal de u en el espacio de las tangentes de M . Esta es una estructura de contacto, para la fibra de UT M es, obviamente, un colector integral (el haz vertical es en todas partes en el núcleo de θ), y las direcciones tangentes restantes se rellenan a cabo moviendo la fibra de UT M . Por lo tanto, la variedad integral máxima de θ es (un conjunto abierto de) M en sí mismo.
En un colector de Finsler, la forma de contacto se define mediante la fórmula análoga
donde g u es el tensor fundamental (la arpillera de la métrica de Finsler). Geométricamente, la distribución asociada de hiperplanos en el punto u ∈ UT x M es la imagen inversa bajo π * del hiperplano tangente a la esfera unitaria en T x M en u .
La forma volumen θ∧ d θ n -1 define una medida en M , conocida como la medida cinemática , o medida de Liouville , que es invariante bajo el flujo geodésica de M . Como medida de radón , la medida cinemática μ se define en funciones continuas soportadas de forma compacta ƒ en UT M por
donde d V es el elemento de volumen en M , y μ p es el estándar rotacionalmente invariante medida de Borel en la euclidiana ámbito UT p M .
La conexión Levi-Civita de M da lugar a una división del paquete tangente
en un espacio vertical V = kerπ * y el espacio horizontal H en la que π * es un isomorfismo lineal en cada punto de UT M . Esta división induce una métrica en UT M al declarar que esta división es una suma directa ortogonal y definir la métrica en H por el retroceso:
y la definición de la métrica en V como la métrica inducida a partir de la incorporación de la fibra UT x M en el espacio euclidiano T x M . Equipado con este formulario métrico y de contacto, UT M se convierte en un colector Sasakiano .
Bibliografía
- Jeffrey M. Lee: colectores y geometría diferencial . Estudios de Posgrado en Matemáticas Vol. 107, Sociedad Matemática Estadounidense, Providence (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
- Jürgen Jost : Geometría y análisis geométrico de Riemann , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2
- Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden : Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X