En matemáticas , un álgebra de von Neumann o W * -álgebra es un * -álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología de operador débil y contiene el operador de identidad . Es un tipo especial de C * -álgebra .
Las álgebras de Von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores individuales , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutador muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.
Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (FJ Murray & J. von Neumann 1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann 1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961) .
Los relatos introductorios de las álgebras de von Neumann se dan en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y en los libros de Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) y Sakai (1971) . El trabajo en tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una descripción enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) analiza temas más avanzados.
La primera y más común forma es definirlos como álgebras * débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición los débiles (operador) topología puede ser sustituida por muchas otras topologías comunes , incluyendo los fuertes , ultrafuerte o ultraweak topologías operador. Las * -álgebras de operadores acotados que están cerrados en la topología normal son C * -álgebras , por lo que en particular cualquier álgebra de von Neumann es una C * -álgebra.
La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados bajo involución (la operación *) e igual a su doble conmutador , o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutador de von Neumann ( von Neumann 1930 ) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.