En matemáticas recreativas , una matriz cuadrada de números, generalmente enteros positivos , se llama cuadrado mágico si las sumas de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. [1] [2] El orden del cuadrado mágico es el número de números enteros a lo largo de un lado ( n ), y la suma constante se llama constante mágica . Si la matriz incluye solo los enteros positivos, se dice que el cuadrado mágico es normal . Algunos autores interpretan que el cuadrado mágico significa un cuadrado mágico normal. [3]
Los cuadrados mágicos que incluyen entradas repetidas no se incluyen en esta definición y se denominan triviales . Algunos ejemplos conocidos, como el cuadrado mágico de la Sagrada Familia y la plaza Parker, son triviales en este sentido. Cuando todas las filas y columnas, pero no ambas diagonales, suman la constante mágica, tenemos cuadrados semimágicos (a veces llamados cuadrados ortomágicos ).
El estudio matemático de los cuadrados mágicos generalmente se ocupa de su construcción, clasificación y enumeración. Aunque no existen métodos completamente generales para producir todos los cuadrados mágicos de todos los órdenes, históricamente se han descubierto tres técnicas generales: el método de borde, haciendo cuadrados mágicos compuestos y agregando dos cuadrados preliminares. También existen estrategias más específicas como el método de enumeración continua que reproduce patrones específicos. Los cuadrados mágicos generalmente se clasifican de acuerdo con su orden n como: impar si n es impar, uniformemente par (también denominado "doblemente par") si n es un múltiplo de 4, extrañamente par (también conocido como "simplemente par") si n es cualquier otro número par. Esta clasificación se basa en diferentes técnicas necesarias para construir cuadrados impares, uniformemente pares y extrañamente pares. Junto a esto, dependiendo de otras propiedades, cuadrados mágicos son también clasificados como cuadrados mágicos asociativos , cuadrados mágicos pandiagonal , cuadrados mágicos más perfectos , y así sucesivamente. Más desafiante, también se ha intentado clasificar todos los cuadrados mágicos de un orden dado como transformaciones de un conjunto más pequeño de cuadrados. A excepción de n ≤ 5, la enumeración de cuadrados mágicos de orden superior sigue siendo un desafío abierto. La enumeración de los cuadrados mágicos más perfectos de cualquier orden solo se logró a fines del siglo XX.
Los cuadrados mágicos tienen una larga historia, que se remonta al menos al 190 a. C. en China. En varias ocasiones han adquirido un significado oculto o mítico y han aparecido como símbolos en obras de arte. En los tiempos modernos, se han generalizado de varias formas, incluido el uso de restricciones adicionales o diferentes, la multiplicación en lugar de sumar celdas, el uso de formas alternativas o más de dos dimensiones y la sustitución de números por formas y la suma con operaciones geométricas.
Historia
El cuadrado mágico de tercer orden era conocido por los matemáticos chinos desde 190 a. C., y expresamente dado por el primer siglo de la era común. La primera instancia fechable del cuadrado mágico de cuarto orden ocurrió en 587 EC en la India. Los especímenes de cuadrados mágicos de orden 3 a 9 aparecen en una enciclopedia de Bagdad c. 983 , la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). A finales del siglo XII, los métodos generales para construir cuadrados mágicos estaban bien establecidos. Alrededor de este tiempo, algunos de estos cuadrados se usaban cada vez más junto con letras mágicas, como en Shams Al-ma'arif , con fines ocultistas. [4] En la India, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de cuarto orden fueron enumerados por Narayana en 1356. Los cuadrados mágicos se dieron a conocer en Europa a través de la traducción de fuentes árabes como objetos ocultos durante el Renacimiento, y la teoría general tuvo que ser redescubierta. independiente de desarrollos anteriores en China, India y Medio Oriente. También son notables las culturas antiguas con tradición matemática y numerológica que no descubrieron los cuadrados mágicos: griegos, babilonios, egipcios y americanos precolombinos.
porcelana
Si bien las referencias antiguas al patrón de números pares e impares en el cuadrado mágico de 3 × 3 aparecen en el I Ching , la primera instancia inequívoca de este cuadrado mágico aparece en el capítulo llamado Mingtang (Salón Brillante) de un libro del siglo I Da Dai. Liji (Registro de ritos del anciano Dai), que pretendía describir los antiguos ritos chinos de la dinastía Zhou. [5] [6] [7] [8] Estos números también aparecen en un texto matemático posiblemente anterior llamado Shushu jiyi (Memoria sobre algunas tradiciones del arte matemático), que se dice que fue escrito en 190 a. C. Ésta es la primera aparición registrada de un cuadrado mágico; y se utilizó principalmente para la adivinación y la astrología. [5] Los primeros matemáticos chinos se refirieron al cuadrado mágico de 3 × 3 como las "Nueve salas". [7] La identificación del cuadrado mágico de 3 × 3 con la legendaria carta de Luoshu solo se hizo en el siglo XII, después de lo cual se lo denominó el cuadrado de Luoshu. [5] [7] El tratado chino más antiguo que se conserva que muestra cuadrados mágicos de orden superior a 3 es Xugu zheqi suanfa (Continuación de los métodos matemáticos antiguos para dilucidar lo extraño) de Yang Hui , escrito en 1275. [5] [7] El el contenido del tratado de Yang Hui se recopiló de obras más antiguas, tanto nativas como extranjeras; y solo explica la construcción de cuadrados mágicos de tercer y cuarto orden, mientras que simplemente pasa los diagramas terminados de cuadrados más grandes. [7] Da un cuadrado mágico de orden 3, dos cuadrados para cada orden de 4 a 8, uno de orden nueve y un cuadrado semimágico de orden 10. También da seis círculos mágicos de diversa complejidad. [9]
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Los cuadrados mágicos anteriores de los órdenes 3 a 9 están tomados del tratado de Yang Hui, en el que el principio Luo Shu es claramente evidente. [7] [8] El cuadrado de orden 5 es un cuadrado mágico bordeado, con un cuadrado central de 3 × 3 formado según el principio de Luo Shu. El cuadrado de orden 9 es un cuadrado mágico compuesto, en el que los nueve subcuadrados de 3 × 3 también son mágicos. [7] Después de Yang Hui, cuadrados mágicos ocurren con frecuencia en las matemáticas chinas, como en el de Ding Yidong Dayan suoyin ( c. 1300 ), Cheng Dawei 's suanfa tongzong (1593), de Fang Zhongtong Shuduyan (1661), que contiene círculos mágicos, cubos y esferas, Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c. 1650 ), que publicó el primer cuadrado mágico de China de orden diez, y por último Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c. 1880 ), que dio varias configuraciones mágicas tridimensionales. [5] [8] Sin embargo, a pesar de ser el primero en descubrir los cuadrados mágicos y tener una ventaja de varios siglos, el desarrollo chino de los cuadrados mágicos es muy inferior en comparación con los desarrollos de la India, Oriente Medio o Europa. El punto culminante de la matemática china que se ocupa de los cuadrados mágicos parece estar contenido en el trabajo de Yang Hui; pero incluso como una colección de métodos más antiguos, este trabajo es mucho más primitivo, carece de métodos generales para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, en comparación con una colección similar escrita por la misma época por el erudito bizantino Manuel Moschopoulos . [7] Esto posiblemente se deba al entusiasmo de los eruditos chinos por el principio Lo Shu, que intentaron adaptar para resolver cuadrados más altos; y después de Yang Hui y la caída de la dinastía Yuan , su purga sistemática de las influencias extranjeras en las matemáticas chinas. [7]
Japón
Japón y China tienen tradiciones matemáticas similares y se han influenciado repetidamente en la historia de los cuadrados mágicos. [10] El interés japonés por los cuadrados mágicos comenzó después de la difusión de obras chinas —Suanfa de Yang Hui y Suanfa tongzong de Cheng Dawei— en el siglo XVII, y como resultado, casi todos los wasans dedicaron su tiempo a su estudio.
En la edición de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku dio tanto cuadrados mágicos con bordes ordenados impares como pares, así como círculos mágicos; mientras que la edición de 1684 del mismo libro contenía una gran sección sobre cuadrados mágicos, demostrando que tenía un método general para construir cuadrados mágicos con bordes. [11] En Jinko-ki (1665) de Muramatsu Kudayu Mosei, se muestran tanto cuadrados mágicos como círculos mágicos. El cuadrado más grande que construye Mosei es de orden 19. Nozawa Teicho también publicó varios cuadrados mágicos y círculos mágicos en Dokai-sho (1666), Sato Seiko en Kongenki (1666) y Hosino Sanenobu en Ko-ko-gen Sho (1673). [12] Uno de los Siete Libros de Seki Takakazu ( Hojin Yensan ) (1683) está completamente dedicado a los cuadrados y círculos mágicos. Este es el primer libro japonés que ofrece un tratamiento general de los cuadrados mágicos en el que se describen claramente los algoritmos para construir cuadrados mágicos con bordes impares, unitariamente pares y doblemente pares. [13] En 1694 y 1695, Yueki Ando dio diferentes métodos para crear los cuadrados mágicos y mostrar cuadrados de orden 3 a 30. Un cubo mágico de cuarto orden fue construido por Yoshizane Tanaka (1651-1719) en Rakusho-kikan (1683) . El estudio de los cuadrados mágicos fue continuado por los alumnos de Seki, en particular por Katahiro Takebe, cuyos cuadrados fueron mostrados en el cuarto volumen de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga en Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima en Kyushi Iko, quien redescubrió un método para producir los cuadrados impares dados por Agrippa, [14] y Naonobu Ajima . [15] [16] Así, a principios del siglo XVIII, los matemáticos japoneses estaban en posesión de métodos para construir cuadrados mágicos de orden arbitrario. Después de esto, Nushizumi Yamaji inició los intentos de enumerar los cuadrados mágicos. [dieciséis]
India
El cuadrado mágico de 3 × 3 aparece por primera vez en la India en Gargasamhita por Garga, quien recomienda su uso para pacificar los nueve planetas ( navagraha ). La versión más antigua de este texto data del año 100 d.C., pero el pasaje sobre los planetas no pudo haber sido escrito antes del 400 d.C. La primera instancia fechable de un cuadrado mágico de 3 × 3 en la India ocurre en un texto médico Siddhayog (c. 900 d.C.) de Vrnda, que se prescribió a las mujeres en trabajo de parto para tener un parto fácil. [17]
El cuadrado mágico de cuarto orden fechable más antiguo del mundo se encuentra en una obra enciclopédica escrita por Varahamihira alrededor del 587 d.C. llamada Brhat Samhita . El cuadrado mágico está construido con el propósito de hacer perfumes usando 4 sustancias seleccionadas de 16 sustancias diferentes. Cada celda del cuadrado representa un ingrediente particular, mientras que el número en la celda representa la proporción del ingrediente asociado, de modo que la mezcla de cuatro combinaciones de ingredientes a lo largo de las columnas, filas, diagonales, etc., da el volumen total. de la mezcla será 18. Aunque el libro trata principalmente sobre adivinación, el cuadrado mágico se da como una cuestión de diseño combinatorio, y no se le atribuyen propiedades mágicas. [18] [17]
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El cuadrado de Varahamihira como se indica arriba tiene una suma de 18. Aquí los números del 1 al 8 aparecen dos veces en el cuadrado. Es un cuadrado mágico pan-diagonal . También es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto . Se pueden obtener cuatro cuadrados mágicos diferentes agregando 8 a uno de los dos conjuntos de secuencia de 1 a 8. La secuencia se selecciona de manera que el número 8 se agregue exactamente dos veces en cada fila, en cada columna y en cada una de las diagonales principales. Uno de los posibles cuadrados mágicos que se muestran en el lado derecho. Este cuadrado mágico es notable porque es una rotación de 90 grados de un cuadrado mágico que aparece en el mundo islámico del siglo XIII como uno de los cuadrados mágicos más populares ... [19]
La construcción del cuadrado mágico de cuarto orden se detalla en una obra titulada Kaksaputa , compuesta por el alquimista Nagarjuna alrededor del siglo X d.C. Todos los cuadrados dados por Nagarjuna son cuadrados mágicos de 4 × 4, y uno de ellos se llama Nagarjuniya en su honor. Nagarjuna dio un método para construir un cuadrado mágico de 4 × 4 usando un cuadrado de esqueleto primario, dada una suma mágica par o impar. Por cierto, la plaza especial de Nagarjuniya no se puede construir con el método que expone. [18] El cuadrado de Nagarjuniya se muestra a continuación y tiene la suma total de 100.
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El cuadrado Nagarjuniya es un cuadrado mágico pan-diagonal . El cuadrado de Nagarjuniya se compone de dos progresiones aritméticas que comienzan en 6 y 16 con ocho términos cada una, con una diferencia común entre términos sucesivos como 4. Cuando estas dos progresiones se reducen a la progresión normal de 1 a 8, obtenemos el cuadrado adyacente .
Alrededor del siglo XII, se inscribió un cuadrado mágico de 4 × 4 en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. Varios himnos jainistas enseñan cómo hacer cuadrados mágicos, aunque no se pueden fechar. [17]
Hasta donde se sabe, el primer estudio sistemático de los cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkar Pheru , un erudito jainista, en su Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contiene una pequeña sección sobre cuadrados mágicos que consta de nueve versos. Aquí da un cuadrado de orden cuatro y alude a su reordenamiento; clasifica los cuadrados mágicos en tres (impares, uniformemente pares y extrañamente pares) de acuerdo con su orden; da un cuadrado de orden seis; y prescribe un método cada uno para construir cuadrados pares e impares. Para los cuadrados pares, Pheru divide el cuadrado en cuadrados componentes de orden cuatro y coloca los números en celdas de acuerdo con el patrón de un cuadrado estándar de orden cuatro. Para los cuadrados impares, Pheru da el método usando el movimiento del caballo o el movimiento del caballo. Aunque es algorítmicamente diferente, da el mismo cuadrado que el método de De la Loubere. [17]
Narayana Pandit retomó el siguiente trabajo completo sobre cuadrados mágicos , quien en el capítulo catorce de su Ganita Kaumudi (1356) da métodos generales para su construcción, junto con los principios que gobiernan tales construcciones. Consta de 55 versículos para reglas y 17 versículos para ejemplos. Narayana da un método para construir todos los cuadrados pan-mágicos de cuarto orden usando el movimiento de un caballo; enumera el número de cuadrados mágicos pan-diagonales de orden cuatro, 384, incluidas todas las variaciones realizadas por rotación y reflexión; tres métodos generales para cuadrados que tienen cualquier orden y suma constante cuando se conoce un cuadrado estándar del mismo orden; dos métodos cada uno para construir cuadrados pares, pares e impares cuando se da la suma. Si bien Narayana describe un método más antiguo para cada especie de cuadrado, afirma que el método de superposición para cuadrados pares e impares y un método de intercambio para cuadrados extrañamente pares es su propia invención. El método de superposición fue redescubierto más tarde por De la Hire en Europa. En la última sección, concibe otras figuras, como círculos, rectángulos y hexágonos, en los que los números pueden ordenarse para poseer propiedades similares a las de los cuadrados mágicos. [18] [17] A continuación se muestran algunos de los cuadrados mágicos construidos por Narayana: [18]
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El cuadrado de orden 8 es interesante en sí mismo, ya que es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto. Por cierto, Narayana afirma que el propósito de estudiar los cuadrados mágicos es construir yantra , destruir el ego de los malos matemáticos y para el placer de los buenos matemáticos. El tema de los cuadrados mágicos se conoce como bhadraganita y Narayana afirma que fue enseñado por primera vez a los hombres por el dios Shiva . [17]
Medio Oriente, Norte de África, Iberia musulmana
Aunque se desconoce la historia temprana de los cuadrados mágicos en Persia y Arabia, se ha sugerido que se conocían en tiempos preislámicos. [20] Sin embargo, está claro que el estudio de los cuadrados mágicos era común en el Islam medieval , y se pensaba que había comenzado después de la introducción del ajedrez en la región. [21] [22] [23] La primera aparición fechable de un cuadrado mágico de orden 3 ocurre en Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) Kitab al-mawazin al-Saghir (El pequeño libro de Balances) donde el cuadrado mágico y su numerología relacionada se asocian con la alquimia. [8] Si bien se sabe que los tratados sobre cuadrados mágicos se escribieron en el siglo IX, los primeros tratados existentes que tenemos datan del siglo X: uno de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c. 998 ) y otro de Ali b. Ahmad al-Antaki ( c. 987 ). [22] [24] [25] Estos primeros tratados eran puramente matemáticos, y la designación árabe para los cuadrados mágicos utilizada es wafq al-a'dad , que se traduce como disposición armoniosa de los números . [23] A finales del siglo X, los dos tratados de Buzjani y Antaki dejan en claro que los matemáticos de Oriente Medio habían entendido cómo construir cuadrados bordeados de cualquier orden, así como cuadrados mágicos simples de pequeños órdenes ( n ≤ 6) que se utilizaron para hacer cuadrados mágicos compuestos. [22] [24] Un espécimen de cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 ideados por matemáticos de Oriente Medio aparece en una enciclopedia de Bagdad c. 983 , Rasa'il Ikhwan al-Safa (la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ). [26] Los cuadrados de orden 3 a 7 de Rasa'il se dan a continuación: [26]
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El siglo XI vio el descubrimiento de varias formas de construir cuadrados mágicos simples para órdenes pares e impares; El caso más difícil del caso uniformemente impar ( n = 4k + 2 ) fue resuelto por Ibn al-Haytham con k par (c. 1040), y completamente a principios del siglo XII, si no ya en la última mitad del siglo XII. Siglo 11. [22] Casi al mismo tiempo, se estaban construyendo plazas pandiagonales. Los tratados sobre cuadrados mágicos fueron numerosos en los siglos XI y XII. Estos desarrollos posteriores tendieron a ser mejoras o simplificaciones de los métodos existentes. A partir del siglo XIII en adelante, los cuadrados mágicos se utilizaron cada vez más con fines ocultistas. [22] Sin embargo, muchos de estos textos posteriores escritos con fines ocultistas simplemente representan ciertos cuadrados mágicos y mencionan sus atributos, sin describir su principio de construcción, y solo algunos autores mantienen viva la teoría general. [22] Uno de esos ocultistas fue el argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), quien dio métodos generales sobre la construcción de cuadrados mágicos bordeados; otros fueron el egipcio Shabramallisi del siglo XVII y el nigeriano al-Kishnawi del siglo XVIII. [27]
El cuadrado mágico de orden tres fue descrito como un hechizo para la maternidad [28] [29] desde sus primeras apariciones literarias en las obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) [29] [30] y al-Ghazālī (1058-1111) [31] y se conservó en la tradición de las tablas planetarias. La primera aparición de la asociación de siete cuadrados mágicos con las virtudes de los siete cuerpos celestes aparece en el erudito andaluz Ibn Zarkali (conocido como Azarquiel en Europa) (1029-1087) Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias del Planetas ). [32] Un siglo después, el erudito argelino Ahmad al-Buni atribuyó propiedades místicas a los cuadrados mágicos en su influyente libro Shams al-Ma'arif ( El libro del sol de la gnosis y las sutilezas de las cosas elevadas ), que también describe su construcción. Esta tradición sobre una serie de cuadrados mágicos del orden tres al nueve, que están asociados con los siete planetas, sobrevive en versiones griegas, árabes y latinas. [33] También hay referencias al uso de cuadrados mágicos en los cálculos astrológicos, una práctica que parece haberse originado con los árabes. [34] [35]
Europa latina
A diferencia de Persia y Arabia, tenemos mejor documentación de cómo se transmitieron los cuadrados mágicos a Europa. Hacia 1315, influenciado por fuentes árabes, el erudito griego bizantino Manuel Moschopoulos escribió un tratado matemático sobre el tema de los cuadrados mágicos, dejando de lado el misticismo de sus predecesores de Oriente Medio, donde dio dos métodos para los cuadrados impares y dos métodos para los cuadrados pares. . Moschopoulos era esencialmente un desconocido para la Europa latina hasta finales del siglo XVII, cuando Philippe de la Hire redescubrió su tratado en la Biblioteca Real de París. [36] Sin embargo, no fue el primer europeo en escribir en cuadrados mágicos; y los cuadrados mágicos se difundieron al resto de Europa a través de España e Italia como objetos ocultos. Los primeros tratados ocultistas que mostraban los cuadrados no describían cómo fueron construidos. Por tanto, hubo que redescubrir toda la teoría.
Los cuadrados mágicos habían aparecido por primera vez en Europa en Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Andalus, como cuadrados planetarios en el siglo XI. [32] El cuadrado mágico de tres fue discutido de manera numerológica a principios del siglo XII por el erudito judío Abraham ibn Ezra de Toledo, que influyó en los cabalistas posteriores. [37] La obra de Ibn Zarkali fue traducida como Libro de Astromagia en la década de 1280, [38] debido a Alfonso X de Castilla. [39] [32] En el texto alfonsino, los cuadrados mágicos de diferentes órdenes se asignan a los respectivos planetas, como en la literatura islámica; desafortunadamente, de todos los cuadrados discutidos, el cuadrado mágico de Marte de orden cinco es el único cuadrado exhibido en el manuscrito. [40] [32]
Los cuadrados mágicos vuelven a aparecer en Florencia, Italia, en el siglo XIV. Un cuadrado de 6 × 6 y uno de 9 × 9 se exhiben en un manuscrito del Trattato d'Abbaco (Tratado del ábaco) de Paolo Dagomari . [41] [42] Es interesante observar que Paolo Dagomari, como Pacioli después de él, se refiere a los cuadrados como una base útil para inventar preguntas y juegos matemáticos, y no menciona ningún uso mágico. Incidentalmente, sin embargo, también se refiere a ellos como respectivamente los cuadrados del Sol y la Luna, y menciona que ingresan en cálculos astrológicos que no están mejor especificados. Como se dijo, el mismo punto de vista parece motivar al compatriota florentino Luca Pacioli , quien describe cuadrados de 3 × 3 a 9 × 9 en su obra De Viribus Quantitatis a fines del siglo XV. [43] [44]
Europa después del siglo XV
Las plazas planetarias se habían extendido por el norte de Europa a finales del siglo XV. Por ejemplo, el manuscrito de Cracovia de Picatrix de Polonia muestra cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9. El mismo conjunto de cuadrados que en el manuscrito de Cracovia aparece más tarde en los escritos de Paracelso en Archidoxa Magica (1567), aunque en forma muy confusa. En 1514 Albrecht Dürer inmortalizó un cuadrado de 4 x 4 en su famoso grabado Melancolía I . El contemporáneo de Paracelso, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, publicó su famoso libro de tres volúmenes De occulta philosophia en 1531, donde dedicó el Capítulo 22 del Libro II a los cuadrados planetarios que se muestran a continuación. [37] El mismo conjunto de cuadrados dados por Agrippa reaparece en 1539 en Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , donde explica la construcción de los cuadrados impares ordenados utilizando el "método del diamante", que luego fue reproducido por Bachet. [45] La tradición de los cuadrados planetarios fue continuada en el siglo XVII por Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Alemania, los tratados matemáticos sobre cuadrados mágicos fueron escritos en 1544 por Michael Stifel en Arithmetica Integra , quien redescubrió los cuadrados bordeados, y Adam Riese , quien redescubrió el método de numeración continua para construir cuadrados ordenados impares publicado por Agrippa. Sin embargo, debido a los trastornos religiosos de esa época, estos trabajos eran desconocidos para el resto de Europa. [37]
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En 1624 Francia, Claude Gaspard Bachet describió el "método del diamante" para construir los cuadrados ordenados impares de Agrippa en su libro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy y Pierre Fermat intercambiaron letras sobre cuadrados y cubos mágicos, y en una de las letras Fermat se jacta de poder construir 1.004.144.995.344 cuadrados mágicos de orden 8 con su método. [45] Antoine Arnauld dio un relato temprano sobre la construcción de plazas bordeadas en sus Nouveaux éléments de géométrie (1667). [46] En los dos tratados Des quarrez ou tables magiques y Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados póstumamente en 1693, veinte años después de su muerte, Bernard Frenicle de Bessy demostró que había exactamente 880 cuadrados mágicos distintos de orden cuatro. . Frenicle dio métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden par o impar, donde los cuadrados ordenados pares se construían usando bordes. También mostró que el intercambio de filas y columnas de un cuadrado mágico producía nuevos cuadrados mágicos. [45] En 1691, Simon de la Loubère describió el método continuo indio de construir cuadrados mágicos ordenados impares en su libro Du Royaume de Siam , que había aprendido al regresar de una misión diplomática a Siam, que era más rápido que el método de Bachet. En un intento de explicar su funcionamiento, de la Loubere utilizó los números primarios y los números de raíz, y redescubrió el método de sumar dos cuadrados preliminares. Este método fue investigado más a fondo por Abbe Poignard en Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire en Mémoires de l'Académie des Sciences para la Royal Academy (1705) y por Joseph Sauveur en Construction des quarrés magiques (1710) . Los cuadrados con bordes concéntricos también fueron estudiados por De la Hire en 1705, mientras que Sauveur introdujo cubos mágicos y cuadrados con letras, que fueron retomados más tarde por Euler en 1776, a quien a menudo se le atribuye el mérito de haberlos ideado. En 1750, d'Ons-le-Bray redescubrió el método de construcción de cuadrados doble y simplemente pares utilizando la técnica del borde; mientras que en 1767 Benjamin Franklin publicó un cuadrado semimágico que tenía las propiedades del cuadrado de Franklin del mismo nombre. [47] Para entonces, el misticismo anterior asociado a los cuadrados mágicos se había desvanecido por completo, y el tema fue tratado como parte de las matemáticas recreativas. [37] [48]
En el siglo XIX, Bernard Violle dio un tratamiento integral de los cuadrados mágicos en sus tres volúmenes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), que también describía cubos mágicos, paralelogramos, paralelopípedos y círculos. Los cuadrados pandiagonales fueron ampliamente estudiados por Andrew Hollingworth Frost, quien lo aprendió mientras estaba en la ciudad de Nasik, India, (llamándolos así cuadrados Nasik) en una serie de artículos: On the knight's path (1877), On the General Properties of Nasik Squares (1878), Sobre las propiedades generales de los cubos Nasik (1878), Sobre la construcción de los cuadrados Nasik de cualquier orden (1896). Demostró que es imposible tener un cuadrado mágico normal individual e incluso pandiagonal. Frederick AP Barnard construyó cuadrados mágicos con incrustaciones y otras figuras mágicas tridimensionales como esferas mágicas y cilindros mágicos en Teoría de los cuadrados mágicos y de los cubos mágicos (1888). [48] En 1897, Emroy McClintock publicó Sobre la forma más perfecta de los cuadrados mágicos , acuñando las palabras cuadrado pandiagonal y cuadrado más perfecto , que anteriormente se había denominado perfecto, diabólico o Nasik.
Algunos cuadrados mágicos famosos
Cuadrado mágico Luo Shu
Las leyendas que datan del 650 a. C. cuentan la historia de Lo Shu (洛 書) o "pergamino del río Lo". [8] Según la leyenda, hubo una época en la antigua China una gran inundación. Mientras el gran rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, una tortuga emergió de ella con un curioso patrón en su caparazón: una cuadrícula de 3 × 3 en la que se dispusieron puntos circulares de números, de modo que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal era la misma: 15. Según la leyenda, a partir de entonces la gente pudo usar este patrón de cierta manera para controlar el río y protegerse de las inundaciones. El cuadrado de Lo Shu , como se llama el cuadrado mágico del caparazón de tortuga, es el único cuadrado mágico normal de orden tres en el que 1 está en la parte inferior y 2 en la esquina superior derecha. Cada cuadrado mágico normal de orden tres se obtiene del Lo Shu por rotación o reflexión.
Plaza mágica en templo de Parshavnath
Hay un conocido cuadrado mágico normal 4 × 4 del siglo XII inscrito en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. [18] [17] [49]
7 | 12 | 1 | 14 |
2 | 13 | 8 | 11 |
dieciséis | 3 | 10 | 5 |
9 | 6 | 15 | 4 |
Esto se conoce como el Chautisa Yantra ya que su suma mágica es 34. Es uno de los tres cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 y también es una instancia del cuadrado mágico más perfecto . El estudio de este cuadrado llevó a la apreciación de los cuadrados pandiagonales por los matemáticos europeos a finales del siglo XIX. Los cuadrados pandiagonales se conocían como cuadrados Nasik o cuadrados Jain en la literatura inglesa antigua.
El cuadrado mágico de Alberto Durero
Se cree que el cuadrado mágico normal del orden cuatro que Alberto Durero inmortalizó en su grabado Melencolia I de 1514 , mencionado anteriormente, es el primero que se ve en el arte europeo. El cuadrado asociado a Júpiter aparece como un talismán utilizado para ahuyentar la melancolía. Es muy similar a la plaza de Yang Hui , que se creó en China unos 250 años antes de la época de Durero. Como con cada cuadrado mágico normal de orden 4, la suma mágica es 34. Pero en el cuadrado Durer esta suma también se encuentra en cada uno de los cuadrantes, en los cuatro cuadrados centrales y en los cuadrados de las esquinas (de los 4 × 4 también ya que los cuatro contenían cuadrículas de 3 × 3). Esta suma también se puede encontrar en los cuatro números externos en el sentido de las agujas del reloj desde las esquinas (3 + 8 + 14 + 9) y también en los cuatro en el sentido contrario a las agujas del reloj (las ubicaciones de cuatro reinas en las dos soluciones del rompecabezas de las 4 reinas [50] ). , los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2 + 8 + 9 + 15 y 3 + 5 + 12 + 14), la suma de las dos entradas del medio de las dos columnas y filas exteriores (5 + 9 + 8 + 12 y 3 + 2 + 15 + 14), y en cuatro cuartetos en forma de cometa o cruz (3 + 5 + 11 + 15, 2 + 10 + 8 + 14, 3 + 9 + 7 + 15 y 2 + 6 + 12 + 14) . Los dos números en el medio de la fila inferior dan la fecha del grabado: 1514. Los números 1 y 4 a cada lado de la fecha corresponden respectivamente a las letras "A" y "D", que son las iniciales del artista. .
dieciséis | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
El cuadrado mágico de Durero también se puede ampliar a un cubo mágico. [51]
Plaza mágica de la Sagrada Família
La fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia de Barcelona , conceptualizada por Antoni Gaudí y diseñada por el escultor Josep Subirachs , presenta un cuadrado mágico de orden trivial 4: La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesús en el momento de la Pasión . [52] Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancholia, pero se han reducido los números en cuatro de las celdas en 1.
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Los cuadrados triviales como este no son matemáticamente interesantes en general y solo tienen un significado histórico. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs de la teoría del cuadrado mágico, el renombrado escultor cometió un error innecesario, y apoya esta afirmación dando varios ejemplos de cuadrados mágicos 4 × 4 no triviales que muestran la constante mágica deseada de 33. [ 53]
Al igual que el cuadrado mágico de Durero, el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también se puede ampliar a un cubo mágico. [54]
Plaza Parker
El Parker Square , que lleva el nombre del matemático recreativo Matt Parker , [55] es un intento de crear un cuadrado mágico de cuadrados de 3 × 3, un problema sin resolver apreciado desde Euler . [56] El cuadrado de Parker es un cuadrado semimágico trivial, ya que utiliza algunos números más de una vez, y la diagonal 23 2 + 37 2 + 47 2 se suma a4107 , no3051 como para todas las demás filas, columnas o diagonales. Parker Square se convirtió en una "mascota para las personas que lo intentan, pero que al final se quedan cortas". También es una metáfora de algo que está casi bien, pero está un poco fuera de lugar. [55] [57]
29 2 | 1 2 | 47 2 |
41 2 | 37 2 | 1 2 |
23 2 | 41 2 | 29 2 |
Propiedades de los cuadrados mágicos
Constante mágica
La constante que es la suma de cualquier fila, columna o diagonal se llama constante mágica o suma mágica, M. Todo cuadrado mágico normal tiene una constante dependiente del orden n , calculada por la fórmula. Esto se puede demostrar observando que la suma de es . Dado que la suma de cada fila es, la suma de filas es , que cuando se divide por el orden n produce la constante mágica. Para cuadrados mágicos normales de órdenes n = 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las constantes mágicas son, respectivamente: 15, 34, 65, 111, 175 y 260 (secuencia A006003 en el OEIS ).
El cuadrado mágico de orden 1 es trivial
El cuadrado mágico 1 × 1, con solo una celda que contiene el número 1, se llama trivial , porque normalmente no se considera cuando se habla de cuadrados mágicos; pero de hecho es un cuadrado mágico por definición, si consideramos una sola celda como un cuadrado de orden uno.
No se puede construir un cuadrado mágico de orden 2
Se pueden construir cuadrados mágicos normales de todos los tamaños excepto 2 × 2 (es decir, donde el orden n = 2). [58]
Centro de masa
Si pensamos en los números del cuadrado mágico como masas ubicadas en varias celdas, entonces el centro de masa de un cuadrado mágico coincide con su centro geométrico.
Momento de inercia
El momento de inercia de un cuadrado mágico se ha definido como la suma de todas las celdas del número de la celda multiplicado por la distancia al cuadrado desde el centro de la celda hasta el centro del cuadrado; aquí la unidad de medida es el ancho de una celda. [59] (Así, por ejemplo, una celda de esquina de un cuadrado de 3 × 3 tiene una distancia deuna celda de borde que no es de esquina tiene una distancia de 1, y la celda del centro tiene una distancia de 0.) Entonces todos los cuadrados mágicos de un orden dado tienen el mismo momento de inercia que los demás. Para el caso de orden 3 el momento de inercia es siempre 60, mientras que para el caso de orden 4 el momento de inercia es siempre 340. En general, para el caso n × n el momento de inercia es[59]
Descomposición de Birkhoff-von Neumann
Dividir cada número del cuadrado mágico por la constante mágica producirá una matriz estocástica doble , cuyas sumas de fila y de columna son iguales a la unidad. Sin embargo, a diferencia de la matriz doblemente estocástica, las sumas diagonales de tales matrices también serán iguales a la unidad. Por tanto, tales matrices constituyen un subconjunto de matrices doblemente estocásticas. El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que para cualquier matriz doblemente estocástica, existen números reales , dónde y matrices de permutación tal que
Esta representación puede no ser única en general. Sin embargo, según el teorema de Marcus-Ree, no es necesario que haya más detérminos en cualquier descomposición. [60] Claramente, esta descomposición también se traslada a los cuadrados mágicos, ya que podemos recuperar un cuadrado mágico de una matriz doblemente estocástica multiplicándolo por la constante mágica.
Clasificación de cuadrados mágicos
Si bien la clasificación de los cuadrados mágicos se puede hacer de muchas maneras, a continuación se ofrecen algunas categorías útiles. Una matriz cuadrada n × n de enteros 1, 2, ..., n 2 se llama:
- Cuadrado semi-mágico cuando sus filas y columnas suman para dar la constante mágica.
- Cuadrado mágico simple cuando sus filas, columnas y dos diagonales suman para dar magia constante y nada más. También se conocen como cuadrados mágicos ordinarios o cuadrados mágicos normales .
- Cuadrado mágico autocomplementario cuando es un cuadrado mágico que cuando se complementa (es decir, cada número restado de n 2 + 1) dará una versión rotada o reflejada del cuadrado mágico original.
- Cuadrado mágico asociativo cuando es un cuadrado mágico con una propiedad adicional de que cada número sumado al número equidistante, en línea recta, desde el centro da n 2 + 1. También se denominan cuadrados mágicos simétricos . Los cuadrados mágicos asociados no existen para los cuadrados de un solo orden uniforme. Todos los cuadrados mágicos asociados son también cuadrados mágicos autocomplementarios.
- Cuadrado mágico pandiagonal cuando es un cuadrado mágico con una propiedad adicional de que las diagonales rotas suman la constante mágica. También se les llama cuadrados panmágicos , cuadrados perfectos , cuadrados diabólicos , cuadrados Jain o cuadrados Nasik . Los cuadrados de Panmagic no existen para órdenes individuales uniformes. Sin embargo, incluso los cuadrados no normales pueden ser panmágicos.
- Cuadrado ultra mágico cuando es un cuadrado mágico asociativo y pandiagonal. El cuadrado ultramágico existe solo para órdenes n ≥ 5.
- Cuadrado mágico bordeado cuando es un cuadrado mágico y permanece mágico cuando se eliminan las filas y columnas del borde exterior. También se denominan cuadrados mágicos con bordes concéntricos si al quitar un borde de un cuadrado sucesivamente se obtiene otro cuadrado mágico con bordes más pequeño. El cuadrado mágico bordeado no existe para el pedido 4.
- Cuadrado mágico compuesto cuando es un cuadrado mágico que se crea "multiplicando" (en cierto sentido) cuadrados mágicos más pequeños, de modo que el orden del cuadrado mágico compuesto es un múltiplo del orden de los cuadrados más pequeños. Por lo general, estos cuadrados se pueden dividir en subcuadros mágicos más pequeños que no se superponen.
- Cuadrado mágico con incrustaciones cuando es un cuadrado mágico dentro del cual está incrustado un subcuadrado mágico, independientemente de la técnica de construcción. Los subcuadrados mágicos incrustados se denominan incrustaciones .
- Cuadrado mágico más perfecto cuando es un cuadrado mágico pandiagonal con dos propiedades más (i) cada subcuadrado de 2 × 2 se suma a 1 / k de la constante mágica donde n = 4 k , y (ii) todos los pares de enteros distantes n / 2 a lo largo de cualquier diagonal (mayor o quebrada) son complementarios (es decir, suman n 2 + 1). La primera propiedad se denomina compacidad , mientras que la segunda propiedad se denomina integridad . Los cuadrados mágicos más perfectos existen solo para cuadrados de orden doblemente uniforme. Todos los cuadrados pandiagonales de orden 4 también son los más perfectos.
- El cuadrado mágico de Franklin cuando es un cuadrado mágico doblemente par con tres propiedades adicionales (i) cada diagonal doblada se suma a la constante mágica, (ii) cada media fila y media columna que comienza en un borde exterior se suma a la mitad de la constante mágica, y ( iii) el cuadrado es compacto .
- Plaza Multimagic cuando es un cuadrado mágico que los restos de magia, incluso si todos sus números se sustituirán por su k poder -ésimo para 1 ≤ k ≤ P . También se les conoce como cuadrados P-multimagic o cuadrados satánicos . También se conocen como cuadrados bimagic , cuadrados trimagic , cuadrados tetramagic , cuadrados pentamagic cuando el valor de P es 2, 3, 4, y 5 respectivamente.
Enumeración de cuadrados mágicos
Cuantos cuadrados mágicos, y cuántos toros mágicos de orden n , hay para?
- Cuadrados de bajo orden
Sólo hay un cuadrado mágico (trivial) de orden 1 y ningún cuadrado mágico de orden 2. Como se mencionó anteriormente, el conjunto de cuadrados normales de orden tres constituye una única clase de equivalencia, todos equivalentes al cuadrado Lo Shu. Por lo tanto, hay básicamente un solo cuadrado mágico normal de orden 3.
El número de n × n cuadrados mágicos diferentes para n de 1 a 5, sin contar las rotaciones y reflexiones es:
- 1, 0, 1, 880, 275305224. (secuencia A006052 en la OEIS )
Se ha estimado que el número para n = 6 es (1,7745 ± 0,0016) × 10 19 . [61] [62] [59]
- Toros mágicos
Con referencia cruzada a la secuencia anterior, una nueva clasificación enumera los toros mágicos que muestran estos cuadrados mágicos. El número de toros mágicos de orden n de 1 a 5 es:
- 1, 0, 1, 255, 251449712 (secuencia A270876 en la OEIS ).
- Cuadrados y toros de orden superior
El número de cuadrados mágicos normales distintos aumenta rápidamente para órdenes superiores. [63]
Los 880 cuadrados mágicos de orden 4 se muestran en 255 toros mágicos de orden 4 y los 275,305,224 cuadrados de orden 5 se muestran en 251,449,712 toros mágicos de orden 5. El número de toros mágicos y cuadrados normales distintos aún no se conoce para ningún orden superior. . [64]
Los algoritmos tienden a generar solo cuadrados mágicos de cierto tipo o clasificación, lo que hace que contar todos los cuadrados mágicos posibles sea bastante difícil. Los métodos de recuento tradicionales han resultado infructuosos y se ha aplicado el análisis estadístico mediante el método de Monte Carlo . El principio básico aplicado a los cuadrados mágicos es generar aleatoriamente n × n matrices de elementos 1 an 2 y comprobar si el resultado es un cuadrado mágico. La probabilidad de que una matriz de números generada aleatoriamente sea un cuadrado mágico se usa para aproximar el número de cuadrados mágicos. [sesenta y cinco]
Versiones más complejas del método Monte Carlo, como el intercambio Monte Carlo y el retroceso de Monte Carlo han producido estimaciones aún más precisas. Usando estos métodos, se ha demostrado que la probabilidad de cuadrados mágicos disminuye rápidamente a medida que n aumenta. El uso de funciones de ajuste da las curvas que se ven a la derecha.
Transformaciones que conservan la propiedad mágica
Por cualquier cuadrado mágico
- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus números se multiplican por cualquier constante. [66]
- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se suma o se resta una constante a sus números, o si sus números se restan de una constante. En particular, si cada elemento de un cuadrado mágico normal se resta de n 2 + 1, obtenemos el complemento del cuadrado original. [66] En el siguiente ejemplo, los elementos del cuadrado de 4 × 4 de la izquierda se restan de 17 para obtener el complemento del cuadrado de la derecha.
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- Los números de un cuadrado mágico pueden estar sustituidos con números correspondientes de un conjunto de s progresiones aritméticas con la misma diferencia común entre r términos, de modo que r × s = n 2 , y cuyos términos inicial también están en progresión aritmética, para obtener una cuadrado mágico no normal. Aquí tampoco es o r debe ser un múltiplo de n . Tengamos s progresiones aritméticas dadas por
- donde a es el término inicial, c es la diferencia común de las progresiones aritméticas yd es la diferencia común entre los términos iniciales de cada progresión. La nueva constante mágica será
- Si s = r = n , entonces tenemos la simplificación
- Si además tenemos a = c = 1 y d = n , obtenemos el habitual M = n ( n 2 +1) / 2. Para dada M podemos encontrar la requerida una , c , y d resolviendo la ecuación lineal Diophantine . En los ejemplos a continuación, tenemos un cuadrado mágico normal de orden 4 en el lado más a la izquierda. El segundo cuadrado es un cuadrado mágico no normal correspondiente con r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 y d = 10, de modo que la nueva constante mágica es M = 38. El tercer cuadrado es un orden 5 cuadrado mágico normal, que es una versión girada 90 grados en el sentido de las agujas del reloj del cuadrado generado por el método De la Loubere. En el lado más a la derecha hay un cuadrado mágico no normal correspondiente con a = 4, c = 1 yd = 6, de modo que la nueva constante mágica es M = 90.
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- Cualquier cuadrado mágico puede rotarse y reflejarse para producir 8 cuadrados trivialmente distintos. En la teoría del cuadrado mágico, todos estos generalmente se consideran equivalentes y se dice que los ocho cuadrados forman una sola clase de equivalencia . [67] [66] Al discutir los cuadrados mágicos, los cuadrados equivalentes generalmente no se consideran distintos. Los 8 cuadrados equivalentes se dan para el cuadrado mágico de 3 × 3 a continuación:
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- Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando la fila y la columna que se cruzan en una celda en diagonal con la fila y la columna que se cruzan en la celda complementaria (es decir, celda simétricamente opuesta al centro ) de la misma diagonal. [66] [48] Para un cuadrado par, hay n / 2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; así podemos obtener 2 n / 2 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n - 1) / 2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; y 2 ( n -1) / 2 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos mediante la combinación de dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas y columnas, el cuadrado gira 180 grados. En el ejemplo que utiliza un cuadrado mágico de 4 × 4, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido al intercambiar la 1ª y 4ª filas y columnas.
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- Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando dos filas en un lado de la línea central, y luego intercambiando las dos filas correspondientes en el otro lado de la línea central; luego intercambiando columnas similares. Para un cuadrado par, dado que hay n / 2 filas y columnas del mismo lado, hay n ( n - 2) / 8 pares de tales filas y columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, podemos obtener 2 n ( n -2) / 8 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, dado que hay ( n - 1) / 2 filas y columnas del mismo lado, hay ( n - 1) ( n - 3) / 8 pares de dichas filas y columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos al combinar dichos intercambios. Al intercambiar todos los pares posibles de filas y columnas, cada cuadrante del cuadrado gira 180 grados. En el ejemplo que usa un cuadrado mágico de 4 × 4, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido por esta transformación. En el cuadrado del medio, la fila 1 se ha intercambiado con la fila 2; y las filas 3 y 4 se han intercambiado. El último cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 2, y las columnas 3 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo particular, esta transformación equivale a rotar los cuadrantes 180 grados. El cuadrado del medio también es un cuadrado mágico, ya que el cuadrado original es un cuadrado mágico asociativo.
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- Una magia restos cuadrado mágico cuando cualquiera de sus filas no centrales x y y se intercambian, junto con el intercambio de sus filas complementarias n - x + 1 y n - y + 1; y luego intercambiando columnas similares. Esta es una generalización de las dos transformadas anteriores. Cuando y = n - x + 1, esta transformada se reduce a la primera de las dos transformadas anteriores. Cuando x y y están en el mismo lado de la línea central, esta transformada se reduce a la segunda de las anteriores dos transformadas. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original está en el lado izquierdo, mientras que el cuadrado final está a la derecha. El cuadrado del medio se ha obtenido intercambiando las filas 1 y 3, y las filas 2 y 4 del cuadrado original. El último cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 3, y las columnas 2 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo, esta transformación equivale a intercambiar los cuadrantes en diagonal. Dado que el cuadrado original es asociativo, el cuadrado del medio también resulta ser mágico.
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- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus cuadrantes se intercambian diagonalmente. Esto es exacto para cuadrados ordenados pares. Para un cuadrado de orden impar, las mitades de la fila central y la columna central también deben intercambiarse. [66] A continuación se ofrecen ejemplos de cuadrados pares e impares:
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Para cuadrados mágicos asociativos
- Un cuadrado mágico asociativo permanece asociativo cuando se intercambian dos filas o columnas equidistantes del centro. [68] [69] Para un cuadrado par, hay n / 2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; así podemos obtener 2 n / 2 × 2 n / 2 = 2 n cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n - 1) / 2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; y 2 n -1 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos mediante la combinación de dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas, el cuadrado se voltea verticalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje horizontal), mientras que al intercambiar todas las columnas se invierte el cuadrado horizontalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje vertical). En el siguiente ejemplo, un cuadrado mágico asociativo de 4 × 4 a la izquierda se transforma en un cuadrado a la derecha intercambiando la segunda y la tercera fila, produciendo el famoso cuadrado mágico de Durer.
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- Un cuadrado mágico asociativo permanece asociativo cuando dos filas (o columnas) del mismo lado se intercambian junto con las filas (o columnas) correspondientes de otros lados. [68] [69] Para un cuadrado par, dado que hay n / 2 filas (o columnas) del mismo lado, hay n ( n - 2) / 8 pares de tales filas (o columnas) que se pueden intercambiar. Por lo tanto, podemos obtener 2 n ( n -2) / 8 × 2 n ( n -2) / 8 = 2 n ( n -2) / 4 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para cuadrados impares, dado que hay ( n - 1) / 2 filas o columnas del mismo lado, hay ( n - 1) ( n - 3) / 8 pares de tales filas o columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 × 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 = 2 ( n - 1) ( n - 3) / 4 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos por combinando tales intercambios. Intercambiar todas las filas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado verticalmente, mientras que intercambiar todas las columnas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado horizontalmente. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original está a la izquierda, cuyas filas 1 y 2 se intercambian entre sí, junto con las filas 3 y 4, para obtener el cuadrado transformado de la derecha.
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Para cuadrados mágicos pan-diagonales
- Un cuadrado mágico pan-diagonal sigue siendo un cuadrado mágico pan-diagonal bajo el desplazamiento cíclico de filas o columnas o ambos. [66] Esto nos permite colocar un número dado en cualquiera de las n 2 celdas de un cuadrado de n orden. Por lo tanto, para un cuadrado pan-mágico dado, hay n 2 cuadrados pan-mágicos equivalentes. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original de la izquierda se transforma desplazando la primera fila hacia la parte inferior para obtener un nuevo cuadrado pan-mágico en el medio. A continuación, la primera y la segunda columna del cuadrado pan-mágico del medio se desplazan circularmente hacia la derecha para obtener un nuevo cuadrado pan-mágico a la derecha.
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Para cuadrados mágicos bordeados
- Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de permutar las celdas del borde en las filas o columnas, junto con sus correspondientes términos complementarios, manteniendo fijas las celdas de las esquinas. Dado que las celdas en cada fila y columna de cada borde concéntrico se pueden permutar independientemente, cuando el orden n ≥ 5 es impar, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) 2 cuadrados con bordes equivalentes. Cuando n ≥ 6 es par, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) 2 cuadrados con bordes equivalentes. En el siguiente ejemplo, se da un cuadrado de orden 5 cuya fila de borde se ha permutada. Podemos obtener (3!) 2 = 36 cuadrados equivalentes.
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- Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de que cada uno de sus bordes concéntricos se gire o refleje de forma independiente con respecto al cuadrado mágico del núcleo central. Si hay b bordes, entonces esta transformada producirá 8 b cuadrados equivalentes. En el siguiente ejemplo del cuadrado mágico de 5 × 5, el borde se ha girado 90 grados en sentido antihorario.
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Para cuadrados mágicos compuestos
- Un cuadrado mágico compuesto sigue siendo un cuadrado mágico compuesto cuando los cuadrados mágicos incrustados sufren transformaciones que no alteran la propiedad mágica (por ejemplo, rotación, reflexión, desplazamiento de filas y columnas, etc.).
Métodos especiales de construcción.
A lo largo del milenio, se han descubierto muchas formas de construir cuadrados mágicos. Estos métodos pueden clasificarse como métodos generales y métodos especiales, en el sentido de que los métodos generales nos permiten construir más de un solo cuadrado mágico de un orden dado, mientras que los métodos especiales nos permiten construir solo un cuadrado mágico de un orden dado. Los métodos especiales son algoritmos específicos, mientras que los métodos generales pueden requerir algo de prueba y error.
Los métodos especiales son formas estándar y más sencillas de construir un cuadrado mágico. Sigue ciertas configuraciones / fórmulas / algoritmos que generan patrones regulares de números en un cuadrado. La exactitud de estos métodos especiales se puede probar utilizando uno de los métodos generales que se dan en secciones posteriores. Después de que se ha construido un cuadrado mágico usando un método especial, las transformaciones descritas en la sección anterior se pueden aplicar para producir más cuadrados mágicos. Por lo general, se hace referencia a los métodos especiales utilizando el nombre del autor o autores (si se conocen) que describieron el método, por ejemplo, el método de De la Loubere, el método de Starchey, el método de Bachet, etc.
Los cuadrados mágicos existen para todos los valores de n , excepto para el orden 2. Los cuadrados mágicos pueden clasificarse según su orden como impares, doblemente pares ( n divisible por cuatro) e individualmente pares ( n pares, pero no divisibles por cuatro). Esta clasificación se basa en el hecho de que es necesario emplear técnicas completamente diferentes para construir estas diferentes especies de cuadrados. Los cuadrados mágicos impares y doblemente pares son fáciles de generar; la construcción de cuadrados mágicos pares individuales es más difícil, pero existen varios métodos, incluido el método LUX para cuadrados mágicos (debido a John Horton Conway ) y el método Strachey para cuadrados mágicos .
Un método para construir un cuadrado mágico de orden 3
En el siglo XIX, Édouard Lucas ideó la fórmula general para los cuadrados mágicos de orden 3. Tenga en cuenta la siguiente tabla compuesta de números enteros positivos a , b y c :
c - b | c + ( a + b ) | c - a |
c - ( a - b ) | C | c + ( a - b ) |
c + a | c - ( a + b ) | c + b |
Estos nueve números serán números enteros positivos distintos que forman un cuadrado mágico con la magia constante 3 c siempre que 0 < un < b < c - una y b ≠ 2 una . Además, cada cuadrado mágico de 3 × 3 de enteros positivos distintos tiene esta forma.
En 1997, Lee Sallows descubrió que, dejando de lado las rotaciones y los reflejos, cada paralelogramo distinto dibujado en el diagrama de Argand define un cuadrado mágico único de 3 × 3, y viceversa, un resultado que nunca antes se había observado. [67]
Un método para construir un cuadrado mágico de orden impar.
Un método para construir cuadrados mágicos de orden impar fue publicado por el diplomático francés de la Loubère en su libro Una nueva relación histórica del reino de Siam (Du Royaume de Siam, 1693), en el capítulo titulado El problema del cuadrado mágico. según los indios . [70] El método funciona de la siguiente manera:
El método prescribe comenzar en la columna central de la primera fila con el número 1. Después de eso, el movimiento fundamental para llenar los cuadrados es diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha, un paso a la vez. Si se encuentra un cuadrado lleno, uno se mueve verticalmente hacia abajo un cuadrado en su lugar, luego continúa como antes. Cuando un movimiento "hacia arriba y hacia la derecha" dejaría el cuadrado, se envuelve hasta la última fila o la primera columna, respectivamente.
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Es posible comenzar desde otros cuadrados en lugar de la columna central de la primera fila, pero entonces solo las sumas de fila y columna serán idénticas y darán como resultado una suma mágica, mientras que las sumas diagonales serán diferentes. El resultado será, por tanto, un cuadrado semimagico y no un verdadero cuadrado mágico. Moverse en direcciones distintas al noreste también puede resultar en cuadrados mágicos.
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Un método para construir un cuadrado mágico de orden doblemente uniforme.
Doble par significa que n es un múltiplo par de un número entero par; o 4 p (por ejemplo, 4, 8, 12), donde p es un número entero.
Patrón genérico Todos los números están escritos en orden de izquierda a derecha en cada fila por turno, comenzando desde la esquina superior izquierda. Luego, los números se retienen en el mismo lugar o se intercambian con sus números diametralmente opuestos en un cierto patrón regular. En el cuadrado mágico de orden cuatro, los números de los cuatro cuadrados centrales y un cuadrado en cada esquina se mantienen en el mismo lugar y los demás se intercambian con sus números diametralmente opuestos.
Una construcción de un cuadrado mágico de orden 4 Comenzando desde la parte superior izquierda, vaya de izquierda a derecha a través de cada fila del cuadrado, contando cada celda del 1 al 16 y llenando las celdas a lo largo de las diagonales con su número correspondiente. Una vez que llegue a la celda inferior derecha, continúe yendo de derecha a izquierda, comenzando desde la parte inferior derecha de la tabla a través de cada fila, y complete las celdas no diagonales contando de 1 a 16 con su número correspondiente. Como se muestra abajo:
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Una extensión del ejemplo anterior para los pedidos 8 y 12 Primero genere una tabla de patrones, donde un '1' indica seleccionar desde el cuadrado donde los números están escritos en orden 1 an 2 (de izquierda a derecha, de arriba a abajo ), y un '0' indica que se selecciona desde el cuadrado donde los números están escritos en orden inverso n 2 a 1. Para M = 4, la tabla de patrones es como se muestra a continuación (tercera matriz desde la izquierda). Cuando sombreamos las celdas inalteradas (celdas con '1'), obtenemos un patrón entrecruzado.
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Los patrones son a) hay el mismo número de "1" y "0" en cada fila y columna; b) cada fila y cada columna son "palindrómicas"; c) las mitades izquierda y derecha son imágenes especulares; yd) las mitades superior e inferior son imágenes especulares (cyd implican b). La tabla de patrones se puede denotar usando hexadecimales como (9, 6, 6, 9) para simplificar (1 nibble por fila, 4 filas). El método más simple de generar el patrón requerido para cuadrados doblemente pares de orden superior es copiar el patrón genérico para el cuadrado de cuarto orden en cada subcuadrado de cuatro por cuatro.
Para M = 8, las opciones posibles para el patrón son (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 bocados por fila, 8 filas).
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Para M = 12, la tabla de patrones (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) produce un cuadrado mágico (3 bocados por fila, 12 filas). Es posible contar el número de opciones que uno tiene basándose en la tabla de patrones, teniendo en cuenta las simetrías rotacionales.
Método de superposición
El primer descubrimiento del método de superposición fue realizado por el matemático indio Narayana en el siglo XIV. El mismo método fue redescubierto y estudiado más tarde a principios del siglo XVIII en Europa por de la Loubere, Poignard, de La Hire y Sauveur; y el método se suele denominar método de la Hire. Aunque el trabajo de Euler sobre el cuadrado mágico no era original, conjeturó la famosa imposibilidad de construir los cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales ordenados uniformemente impares . Esta conjetura fue refutada a mediados del siglo XX. Para mayor claridad de exposición, hemos distinguido dos variaciones importantes de este método.
El método de Euler
Este método consiste en construir dos cuadrados preliminares, que al sumarlos dan el cuadrado mágico. Como ejemplo de ejecución, consideraremos un cuadrado mágico de 3 × 3. Podemos etiquetar de forma única cada número del cuadrado natural de 3 × 3 con un par de números como
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donde cada par de alfabetos griegos y latinos, por ejemplo, αa , deben sumarse, es decir, αa = α + a . Aquí, ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) y ( a , b , c ) = (1, 2, 3). Los números 0, 3 y 6 se denominan números raíz, mientras que los números 1, 2 y 3 se denominan números primarios . Una restricción general importante aquí es
- una letra griega se empareja con una letra latina solo una vez .
Por lo tanto, el cuadrado original ahora se puede dividir en dos cuadrados más simples:
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Los cuadrados con letras se denominan cuadrado griego o cuadrado latino si están llenos de letras griegas o latinas, respectivamente. Se puede construir un cuadrado mágico asegurándose de que los cuadrados griegos y latinos también sean cuadrados mágicos. La inversa de esta afirmación también es a menudo, pero no siempre (por ejemplo, cuadrados mágicos bordeados), verdadera: un cuadrado mágico se puede descomponer en un cuadrado griego y uno latino, que son en sí mismos cuadrados mágicos. Por lo tanto, el método es útil tanto para la síntesis como para el análisis de un cuadrado mágico. Por último, al examinar el patrón en el que se colocan los números en el cuadrado terminado, a menudo es posible encontrar un algoritmo más rápido para construir cuadrados de orden superior que replican el patrón dado, sin la necesidad de crear el griego y el latín preliminares. cuadrícula.
Durante la construcción del cuadrado mágico de 3 × 3, los cuadrados griegos y latinos con solo tres términos únicos son mucho más fáciles de tratar que el cuadrado original con nueve términos diferentes. La suma de filas y la suma de columnas del cuadrado griego será la misma, α + β + γ , si
- cada letra aparece exactamente una vez en una columna o fila determinada .
Esto se puede lograr mediante la permutación cíclica de α , β y γ . La satisfacción de estas dos condiciones asegura que el cuadrado resultante sea un cuadrado semimágico; y se dice que estos cuadrados griegos y latinos son mutuamente ortogonales entre sí. Para un orden dado n , hay como máximo n - 1 cuadrados en un conjunto de cuadrados mutuamente ortogonales, sin contar las variaciones debidas a la permutación de los símbolos. Este límite superior es exacto cuando n es un número primo.
Para construir un cuadrado mágico, también debemos asegurarnos de que las diagonales sumen la constante mágica. Para ello, tenemos una tercera condición:
- o todas las letras deben aparecer exactamente una vez en ambas diagonales; o en el caso de cuadrados impares, una de las diagonales debe consistir enteramente en el término medio, mientras que la otra diagonal debe tener todas las letras exactamente una vez .
Se dice que los cuadrados griegos y latinos mutuamente ortogonales que satisfacen la primera parte de la tercera condición (que todas las letras aparezcan en ambas diagonales) son cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales .
Cuadrados impares: Para el cuadrado impar de 3 × 3, dado que α , β y γ están en progresión aritmética, su suma es igual al producto del orden del cuadrado por el término medio, es decir, α + β + γ = 3 β . Por lo tanto, las sumas de las diagonales serán iguales si tenemos β s en la diagonal principal y α , β , γ en la diagonal oblicua. Del mismo modo, para el cuadrado latino. Los cuadrados griegos y latinos resultantes y su combinación serán los siguientes. El cuadrado latino es solo una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj del cuadrado griego (o, de manera equivalente, girando sobre el eje vertical) con las letras correspondientes intercambiadas. Sustituyendo los valores de las letras griegas y latinas se obtendrá el cuadrado mágico de 3 × 3.
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Para los cuadrados impares, este método explica por qué funciona el método siamés (método de De la Loubere) y sus variantes. Este método básico se puede utilizar para construir cuadrados mágicos de orden superior de orden impar. Resumir:
- Para cuadrados ordenados impares, para construir un cuadrado griego, coloque el término medio a lo largo de la diagonal principal y coloque el resto de los términos a lo largo de la diagonal sesgada. Las celdas vacías restantes se llenan con movimientos diagonales. El cuadrado latino se puede construir girando o volteando el cuadrado griego y reemplazando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos.
Una peculiaridad del método de construcción dado anteriormente para los cuadrados mágicos impares es que el número del medio ( n 2 + 1) / 2 siempre aparecerá en la celda central del cuadrado mágico. ¡Ya que hay ( n - 1)! formas de organizar los términos de la diagonal oblicua, podemos obtener ( n - 1)! Cuadrados griegos de esta manera; lo mismo con los cuadrados latinos. Además, dado que cada cuadrado griego se puede emparejar con ( n - 1)! Cuadrados latinos, y dado que para cada cuadrado griego el término medio puede colocarse arbitrariamente en la diagonal principal o en la diagonal oblicua (y, en consecuencia, a lo largo de la diagonal oblicua o la diagonal principal para los cuadrados latinos), podemos construir un total de 2 × ( n - 1)! × ( n - 1)! cuadrados mágicos usando este método. Para n = 3, 5 y 7, esto dará 8, 1152 y 1,036,800 cuadrados mágicos diferentes, respectivamente. Dividiendo por 8 para ignorar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y los reflejos, obtenemos 1, 144 y 129,600 cuadrados mágicos esencialmente diferentes, respectivamente.
Como otro ejemplo, se da la construcción de un cuadrado mágico de 5 × 5. Los números se escriben directamente en lugar de alfabetos. Los cuadrados numerados se denominan cuadrado primario o cuadrado raíz si se rellenan con números primarios o números raíz, respectivamente. Los números se colocan alrededor de la diagonal oblicua en la raíz cuadrada de modo que la columna del medio de la raíz cuadrada resultante tenga 0, 5, 10, 15, 20 (de abajo hacia arriba). El cuadrado principal se obtiene girando el cuadrado raíz en el sentido contrario a las agujas del reloj 90 grados y reemplazando los números. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico asociativo, en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor, 26. Por ejemplo, 16 + 10, 3 + 23, 6 + 20, etc. En el cuadrado terminado , 1 se coloca en la celda central de la fila inferior, y los números sucesivos se colocan mediante el movimiento del caballo alargado (dos celdas a la derecha, dos celdas hacia abajo), o de manera equivalente, el movimiento del alfil (dos celdas en diagonal hacia abajo a la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba. Todos los números impares se encuentran dentro del diamante central formado por 1, 5, 25 y 21, mientras que los números pares se colocan en las esquinas. La ocurrencia de los números pares se puede deducir copiando el cuadrado a los lados adyacentes. Los números pares de cuatro cuadrados adyacentes formarán una cruz.
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A continuación se muestra una variación del ejemplo anterior, en el que la secuencia diagonal oblicua se toma en un orden diferente. El cuadrado mágico resultante es la versión invertida del famoso cuadrado mágico de Marte de Agrippa. Es un cuadrado mágico asociativo y es el mismo que produce el método de Moschopoulos. Aquí el cuadrado resultante comienza con 1 colocado en la celda que está a la derecha de la celda central, y continúa como el método de De la Loubere, con movimiento hacia abajo-derecha. Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es desplazar dos celdas hacia la derecha.
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En los ejemplos anteriores, para el cuadrado griego, la segunda fila se puede obtener de la primera fila desplazándola circularmente hacia la derecha una celda. De manera similar, la tercera fila es una versión desplazada circularmente de la segunda fila una celda a la derecha; y así. Asimismo, las filas del cuadrado latino se desplazan circularmente hacia la izquierda en una celda. Los cambios de fila para los cuadrados griegos y latinos están en direcciones opuestas entre sí. Es posible cambiar circularmente las filas en más de una celda para crear el cuadrado griego y latino.
- Para los cuadrados ordenados impares, cuyo orden no es divisible por tres, podemos crear los cuadrados griegos desplazando una fila dos lugares hacia la izquierda o hacia la derecha para formar la siguiente fila. El cuadrado latino se hace volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes. Esto nos da un cuadrado latino cuyas filas se crean desplazando la fila en la dirección opuesta a la del cuadrado griego. Un cuadrado griego y un cuadrado latino deben emparejarse de manera que sus cambios de fila sean en direcciones opuestas entre sí. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos. Cuando el orden también es un número primo, este método siempre crea un cuadrado mágico pandiagonal.
Esto esencialmente recrea el movimiento del caballo. Todas las letras aparecerán en ambas diagonales, asegurando la correcta suma diagonal. Ya que hay n ! permutaciones de las letras griegas mediante las cuales podemos crear la primera fila del cuadrado griego, por lo tanto, ¡hay n ! Cuadrados griegos que se pueden crear desplazando la primera fila en una dirección. Asimismo, hay n ! tales cuadrados latinos creados al cambiar la primera fila en la dirección opuesta. Dado que un cuadrado griego se puede combinar con cualquier cuadrado latino con cambios de fila opuestos, ¡hay n ! × n ! tales combinaciones. Por último, dado que el cuadrado griego se puede crear desplazando las filas hacia la izquierda o hacia la derecha, ¡hay un total de 2 × n ! × n ! cuadrados mágicos que se pueden formar con este método. Para n = 5 y 7, dado que son números primos, este método crea 28,800 y 50,803,200 cuadrados mágicos pandiagonales. Dividiendo por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 3.600 y 6.350.400 cuadrados equivalentes. Dividiendo aún más por n 2 para ignorar los cuadrados panmágicos equivalentes debido al desplazamiento cíclico de filas o columnas, obtenemos 144 y 129.600 cuadrados panmágicos esencialmente diferentes. Para pedidos 5 cuadrados, estos son los únicos cuadrados panmágicos que existen. La condición de que el orden del cuadrado no sea divisible por 3 significa que no podemos construir cuadrados de los órdenes 9, 15, 21, 27, etc., mediante este método.
En el siguiente ejemplo, el cuadrado se ha construido de manera que 1 está en la celda central. En el cuadro terminado, los números se pueden enumerar continuamente mediante el movimiento del caballo (dos celdas hacia arriba, una celda hacia la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba, una celda hacia la izquierda. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico pandiagonal. Este cuadrado también tiene una propiedad diabólica adicional de que cinco celdas en un patrón de quincunx formado por cualquier subcuadrado impar, incluido el envolvente, suman la constante mágica, 65. Por ejemplo, 13 + 7 + 1 + 20 + 24, 23+ 1 + 9 + 15 + 17, 13 + 21 + 10 + 19 + 2 etc. También las cuatro esquinas de cualquier cuadrado de 5 × 5 y la celda central, así como las celdas del medio de cada lado junto con la celda central, incluyendo envuelva, dé la suma mágica: 13 + 10 + 19 + 22 + 1 y 20 + 24 + 12 + 8 + 1. Por último, los cuatro romboides que forman cruces alargadas también dan la suma mágica: 23 + 1 + 9 + 24 + 8, 15 + 1 + 17 + 20 + 12, 14 + 1 + 18 + 13 + 19, 7 + 1 + 25 + 22 + 10.
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También podemos combinar los cuadrados griegos y latinos construidos por diferentes métodos. En el siguiente ejemplo, la casilla principal se crea mediante el movimiento del caballo. Hemos recreado el cuadrado mágico obtenido por el método de De la Loubere. ¡Como antes, podemos formar 8 × ( n - 1)! × n ! cuadrados mágicos por esta combinación. Para n = 5 y 7, esto creará 23,040 y 29,030,400 cuadrados mágicos. Después de dividir por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y la reflexión, obtenemos 2.880 y 3.628.800 cuadrados.
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Para el orden 5 cuadrados, estos tres métodos dan un censo completo del número de cuadrados mágicos que se pueden construir mediante el método de superposición. Sin tener en cuenta la rotación y los reflejos, el número total de cuadrados mágicos de orden 5 producidos por el método de superposición es 144 + 3.600 + 2.880 = 6.624.
Cuadrados pares: también podemos construir cuadrados ordenados pares de esta manera. Dado que no existe un término medio entre los alfabetos griego y latino para cuadrados pares ordenados, además de las dos primeras restricciones, para que las sumas diagonales produzcan la constante mágica, todas las letras del alfabeto deben aparecer en la diagonal principal y en la sesgar diagonal.
A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado de 4 × 4. Para la diagonal dada y la diagonal oblicua en el cuadrado griego, el resto de las celdas se pueden completar con la condición de que cada letra aparezca solo una vez en una fila y una columna.
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Usando estos dos cuadrados grecolatinos, ¡podemos construir 2 × 4! × 4! = 1,152 cuadrados mágicos. Dividiendo por 8 para eliminar cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 144 cuadrados mágicos esencialmente diferentes de orden 4. Estos son los únicos cuadrados mágicos construibles por el método de Euler, ya que solo hay dos cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales de orden 4.
De manera similar, se puede construir un cuadrado mágico de 8 × 8 como se muestra a continuación. Aquí el orden de aparición de los números no es importante; sin embargo, los cuadrantes imitan el patrón de disposición de los cuadrados grecolatinos de 4 × 4.
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El método de Euler ha dado lugar al estudio de los cuadrados grecolatinos . El método de Euler para construir cuadrados mágicos es válido para cualquier orden excepto 2 y 6.
Variaciones : Los cuadrados mágicos construidos a partir de cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales son interesantes en sí mismos ya que la propiedad mágica surge de la posición relativa de los alfabetos en el cuadrado, y no debido a ninguna propiedad aritmética del valor asignado a ellos. Esto significa que podemos asignar cualquier valor a los alfabetos de dichos cuadrados y aún así obtener un cuadrado mágico. Esta es la base para construir cuadrados que muestren alguna información (por ejemplo, cumpleaños, años, etc.) en el cuadrado y para crear "cuadrados reversibles". Por ejemplo, podemos mostrar el número π ≈3.141 592 en la fila inferior de un cuadrado mágico de 4 × 4 usando el cuadrado grecolatino dado arriba asignando ( α , β , γ , δ ) = (10, 0, 90, 15) y ( a , b , c , d ) = (0, 2, 3, 4). Obtendremos el siguiente cuadrado mágico no normal con la suma mágica 124:
10 | 2 | 93 | 19 |
94 | 18 | 12 | 0 |
17 | 90 | 4 | 13 |
3 | 14 | 15 | 92 |
El método de Narayana-De la Hire para pedidos uniformes
El método de Narayana-De la Hire para el cuadrado impar es el mismo que el de Euler. Sin embargo, para los cuadrados pares, descartamos el segundo requisito de que cada letra griega y latina aparezca solo una vez en una fila o columna determinada. Esto nos permite aprovechar el hecho de que la suma de una progresión aritmética con un número par de términos es igual a la suma de dos términos simétricos opuestos multiplicados por la mitad del número total de términos. Así, al construir los cuadrados griegos o latinos,
- para cuadrados ordenados uniformes, una letra puede aparecer n / 2 veces en una columna, pero solo una vez en una fila, o viceversa.
Como ejemplo continuo, si tomamos un cuadrado de 4 × 4, donde los términos griego y latino tienen los valores ( α , β , γ , δ ) = (0, 4, 8, 12) y ( a , b , c , d ) = (1, 2, 3, 4), respectivamente, entonces tenemos α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ). De manera similar, a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ). Esto significa que el par complementario α y δ (o β y γ ) pueden aparecer dos veces en una columna (o una fila) y aun así dar la suma mágica deseada. Por tanto, podemos construir:
- Para cuadrados incluso ordenados, el cuadrado mágico griego se hace colocando primero los alfabetos griegos a lo largo de la diagonal principal en algún orden. Luego, la diagonal de sesgo se completa en el mismo orden o seleccionando los términos que son complementarios a los términos de la diagonal principal. Finalmente, las celdas restantes se llenan en forma de columna. Dada una columna, usamos los términos complementarios en las celdas diagonales intersectadas por esa columna, asegurándonos de que aparezcan solo una vez en una fila dada, pero n / 2 veces en la columna dada. El cuadrado latino se obtiene volteando o rotando el cuadrado griego e intercambiando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico final se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos.
En el ejemplo que se muestra a continuación, la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) se rellena con una secuencia ordenada como α , β , γ , δ , mientras que la diagonal oblicua (de abajo a la izquierda a la derecha) se llena en el mismo orden. A continuación, las celdas restantes se llenan en forma de columna de modo que las letras complementarias aparezcan solo una vez dentro de una fila, pero dos veces dentro de una columna. En la primera columna, dado que α aparece en la 1ª y 4ª fila, las celdas restantes se rellenan con su término complementario δ . De manera similar, las celdas vacías en la segunda columna se llenan con γ ; en la 3ª columna β ; y cuarta columna α . Cada letra griega aparece solo una vez a lo largo de las filas, pero dos veces a lo largo de las columnas. Como tal, las sumas de las filas son α + β + γ + δ, mientras que las sumas de las columnas son 2 ( α + δ ) o 2 ( β + γ ). Lo mismo ocurre con el cuadrado latino, que se obtiene volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes.
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El ejemplo anterior explica por qué funciona el método "entrecruzado" para un cuadrado mágico doblemente uniforme. Otro posible cuadrado mágico de 4 × 4, que también es pan-diagonal y el más perfecto, se construye a continuación usando la misma regla. Sin embargo, la secuencia diagonal se elige de modo que las cuatro letras α , β , γ , δ aparezcan dentro del subcuadrado central de 2 × 2. Las celdas restantes se llenan en forma de columna de modo que cada letra aparece solo una vez dentro de una fila. En la primera columna, las celdas vacías deben llenarse con una de las letras seleccionadas del par complementario α y δ . Dada la primera columna, la entrada en la segunda fila solo puede ser δ ya que α ya está allí en la segunda fila; mientras que, en la 3ª fila, la entrada solo puede ser α ya que δ ya está presente en la 3ª fila. Procedemos de manera similar hasta que se llenan todas las celdas. El cuadrado latino que se muestra a continuación se ha obtenido volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal y reemplazando los alfabetos griegos con los correspondientes alfabetos latinos.
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También podemos usar este enfoque para construir cuadrados mágicos pares individuales. Sin embargo, debemos tener más cuidado en este caso, ya que el criterio de emparejar los alfabetos griego y latino de forma única no se cumple automáticamente. La violación de esta condición conduce a que falten algunos números en el cuadro final, mientras que se duplican otros. Por lo tanto, aquí hay una condición importante:
- Para cuadrados pares individuales, en el cuadrado griego, marque las celdas de las columnas que están emparejadas verticalmente con su complemento. En tal caso, la celda correspondiente del cuadrado latino debe contener la misma letra que su celda emparejada horizontalmente.
A continuación se muestra una construcción de un cuadrado mágico de 6 × 6, donde los números se dan directamente, en lugar de los alfabetos. El segundo cuadrado se construye volteando el primer cuadrado a lo largo de la diagonal principal. Aquí, en la primera columna del cuadrado de la raíz, la tercera celda está emparejada con su complemento en las cuartas celdas. Por lo tanto, en el cuadrado principal, los números de la 1ª y 6ª celda de la 3ª fila son los mismos. Asimismo, con otras columnas y filas. En este ejemplo, la versión invertida de la raíz cuadrada satisface esta condición.
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Como otro ejemplo de un cuadrado mágico de 6 × 6 construido de esta manera se da a continuación. Aquí las entradas diagonales están dispuestas de manera diferente. El cuadrado principal se construye volteando la raíz cuadrada sobre la diagonal principal. En el segundo cuadrado no se cumple la condición de un cuadrado par simple, lo que lleva a un cuadrado mágico no normal (tercer cuadrado) donde los números 3, 13, 24 y 34 están duplicados y faltan los números 4, 18, 19 y 33.
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La última condición es un poco arbitraria y no siempre es necesario invocarla, como en este ejemplo, donde en el cuadrado raíz cada celda está emparejada verticalmente con su complemento:
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Como ejemplo más, hemos generado un cuadrado mágico de 8 × 8. A diferencia del patrón entrecruzado de la sección anterior para un cuadrado uniforme, aquí tenemos un patrón a cuadros para las celdas alteradas y sin alterar. Además, en cada cuadrante los números pares e impares aparecen en columnas alternas.
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Variaciones : Es posible una serie de variaciones de la idea básica: un par complementario puede aparecer n / 2 veces o menos en una columna . Es decir, se puede construir una columna de un cuadrado griego utilizando más de un par complementario. Este método nos permite imbuir el cuadrado mágico con propiedades mucho más ricas. La idea también se puede extender a las diagonales. A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado mágico de 8 × 8. En el cuadrado terminado, cada uno de los cuatro cuadrantes también son cuadrados pan-mágicos, cada cuadrante con la misma constante mágica 130.
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Método de fronteras
Método limítrofe para el pedido 3
En este método, el objetivo es envolver un borde alrededor de un cuadrado mágico más pequeño que sirve como núcleo. Considere el cuadrado de 3 × 3, por ejemplo. Restando el número medio 5 de cada número 1, 2, ..., 9, obtenemos 0, ± 1, ± 2, ± 3 y ± 4, que seguiremos, a falta de mejores palabras, siguiendo a S. Harry White , se refieren a números de huesos. La constante mágica de un cuadrado mágico, al que nos referiremos como el cuadrado del esqueleto, formada por estos números de hueso será cero, ya que sumar todas las filas de un cuadrado mágico dará nM = Σ k = 0; entonces M = 0.
No es difícil argumentar que el número del medio debe colocarse en la celda central: sea x el número colocado en la celda del medio, luego la suma de la columna del medio, la fila del medio y las dos diagonales dan Σ k + 3 x = 4 M . Como Σ k = 3 M , tenemos x = M / 3. Aquí M = 0, entonces x = 0.
Poniendo el número medio 0 en la celda central, queremos construir un borde tal que el cuadrado resultante sea mágico. Dejemos que la frontera esté dada por:
tu | a | v |
B* | 0 | B |
v * | a* | u * |
Dado que la suma de cada fila, columna y diagonales debe ser una constante (que es cero), tenemos
- a + a * = 0,
- b + b * = 0,
- u + u * = 0,
- v + v * = 0.
Ahora, si hemos elegido a , b , u y v , entonces tenemos a * = - a , b * = - b , u * = - u , y v * = - v . Esto significa que si asignamos un número dado a una variable, digamos a = 1, entonces su complemento se asignará a a * , es decir, a * = - 1. Por lo tanto, de ocho variables desconocidas, es suficiente especificar el valor de solo cuatro variables. Consideraremos a , b , u y v como variables independientes, mientras que a * , b * , u * y v * como variables dependientes. Esto nos permite considerar un número de hueso ± x como un número único independientemente del signo porque (1) su asignación a una variable dada, digamos a , implicará automáticamente que el mismo número de signo opuesto se compartirá con su complemento a * , y (2) dos variables independientes, dicen una y b , no se puede asignar el mismo número hueso. Pero, ¿cómo deberíamos elegir a , b , u y v ? Tenemos la suma de la fila superior y la suma de la columna de la derecha como
- u + a + v = 0,
- v + b + u * = 0.
Dado que 0 es un número par, solo hay dos formas en que la suma de tres enteros producirá un número par: 1) si los tres fueran pares, o 2) si dos fueran impares y uno par. Dado que en nuestra elección de números solo tenemos dos números pares distintos de cero (± 2 y ± 4), la primera afirmación es falsa. Por lo tanto, debe darse el caso de que la segunda afirmación sea verdadera: que dos de los números son pares y uno impar.
La única manera de que tanto los anteriores dos ecuaciones pueden satisfacer esta condición de paridad al mismo tiempo, y todavía ser coherente con el conjunto de números que tenemos, es cuando u y v son impares. Por el contrario, si hubiéramos asumido u y una para ser impar y v a ser incluso en la primera ecuación, entonces u * = - u será par en la segunda ecuación, haciendo b impar, así, con el fin de satisfacer la condición de paridad. Pero esto requiere tres números impares ( u , una , y b ), contradiciendo el hecho de que sólo tenemos dos números impares (± 1 y ± 3) que podemos utilizar. Esto prueba que los huesos impares ocupan las celdas de las esquinas. Cuando se convierte a números normales sumando 5, esto implica que las esquinas de un cuadrado mágico de 3 × 3 están ocupadas por números pares.
Por lo tanto, tomando u = 1 y v = 3, tenemos a = - 4 y b = - 2. Por lo tanto, el cuadro esqueleto terminado será el de la izquierda. Sumando 5 a cada número, obtenemos el cuadrado mágico terminado.
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Se puede usar un argumento similar para construir cuadrados más grandes. Dado que no existe un cuadrado mágico de 2 × 2 alrededor del cual podamos envolver un borde para construir un cuadrado mágico de 4 × 4, el siguiente orden más pequeño para el cual podemos construir un cuadrado bordeado es el orden 5.
Método de borde para el pedido 5
Considere el cuadrado de quinto orden. Para ello, contamos con un núcleo mágico de 3 × 3, alrededor del cual envolveremos un borde mágico. Los números óseos a utilizar serán ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 y ± 12. Sin tener en cuenta los signos, tenemos 8 números óseos, 4 de los cuales son pares y 4 de los cuales son extraños. En general, para un cuadrado de cualquier orden n , habrá 4 ( n - 1) celdas de borde, que se llenarán con 2 ( n - 1) números de hueso. Deja que el borde mágico se dé como
tu | a | B | C | v |
D* | D | |||
mi* | mi | |||
F* | F | |||
v * | a* | B* | C* | u * |
Como antes, deberíamos
- coloque un número de hueso y su complemento uno frente al otro, de modo que la suma mágica sea cero.
Es suficiente determinar los números u, v, a, b, c, d, e, f para describir el borde mágico. Como antes, tenemos las dos ecuaciones de restricción para la fila superior y la columna derecha:
- u + a + b + c + v = 0
- v + d + e + f + u * = 0.
Son posibles múltiples soluciones. El procedimiento estándar es
- Primero intente determinar las celdas de las esquinas, después de lo cual intentaremos determinar el resto del borde.
Hay 28 formas de elegir dos números del conjunto de 8 números de hueso para las celdas de las esquinas u y v . Sin embargo, no todos los pares son admisibles. Entre los 28 pares, 16 pares están formados por un número par e impar, 6 pares tienen ambos como números pares, mientras que 6 pares tienen ambos como números impares.
Podemos probar que las celdas de las esquinas u y v no pueden tener un número par e impar. Esto es porque si esto fuera así, entonces las sumas u + v y v + u * será impar, y desde 0 es un número par, las sumas un + b + c y d + e + f debe ser impar también. La única forma en que la suma de tres enteros resultará en un número impar es cuando 1) dos de ellos son pares y uno es impar, o 2) cuando los tres son impares. Dado que se supone que las celdas de las esquinas son pares e impares, ninguna de estas dos afirmaciones es compatible con el hecho de que solo tenemos 3 números de huesos pares y 3 impares a nuestra disposición. Esto prueba que u y v no pueden tener una paridad diferente. Esto elimina 16 posibilidades.
Usando un razonamiento de tipo similar también podemos sacar algunas conclusiones sobre los conjuntos { a , b , c } y { d , e , f }. Si U y V son a la vez, incluso, a continuación, tanto los conjuntos deben tener dos números impares y uno número par. Si U y V son ambos impares, entonces uno de los conjuntos deberían tener tres números pares, mientras que el otro conjunto debe tener un número par y dos números impares.
Como ejemplo continuo, considere el caso en el que tanto u como v son pares. Los 6 pares posibles son: (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) y (10, 12). Dado que las sumas u + v y v + u * son pares, las sumas a + b + c y d + e + f también deben ser pares. La única forma en que la suma de tres enteros resultará en un número par es cuando 1) dos de ellos son impares y uno es par, o 2) cuando los tres son pares. El hecho de que las dos celdas de las esquinas sean pares significa que solo tenemos 2 números pares a nuestra disposición. Por tanto, la segunda afirmación no es compatible con este hecho. Por lo tanto, debe darse el caso de que el primer enunciado sea verdadero: dos de los tres números deben ser impares, mientras que uno debe ser par.
Ahora vamos a, b, d, e ser números impares, mientras que c y f ser números pares. Dados los números impares de huesos a nuestra disposición: ± 5, ± 7, ± 9 y ± 11, sus diferencias van desde D = {± 2, ± 4, ± 6} mientras que sus sumas van desde S = {± 12, ± 14, ± 16, ± 18, ± 20}. También es útil tener una tabla de su suma y diferencias para referencia posterior. Ahora bien, dado que las células de esquina ( u , v ), podemos comprobar su admisibilidad comprobando si las sumas u + v + c y v + u * + f caída dentro del conjunto D o S . La admisibilidad de los números de esquina es una condición necesaria pero no suficiente para que exista la solución.
Por ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (8, 12), entonces u + v = 20 y v + u * = 6; y tendremos ± 6 y ± 10 números de huesos pares a nuestra disposición. Tomando c = ± 6, tenemos la suma u + v + c para ser 26 y 14, dependiendo del signo de ± 6 tomado, ambos de los cuales no entran dentro de los conjuntos de D o S . Del mismo modo, teniendo c = ± 10, tenemos la suma u + v + c a ser 30 y 10, ambos de los cuales de nuevo no caen dentro de los conjuntos de D o S . Por tanto, el par (8, 12) no es admisible. Mediante un proceso de razonamiento similar, también podemos descartar el par (6, 12).
Como otro ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (10, 12), entonces u + v = 22 y v + u * = 2; y tendremos ± 6 y ± 8 números de huesos pares a nuestra disposición. Tomando c = ± 6, tenemos la suma u + v + c para ser 28 y 16. Aunque 28 no cae dentro de los conjuntos de D o S , 16 cae en conjunto S . Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-7, -9), entonces a + b = -16; y satisfará la primera ecuación de restricción. Además, tomando f = ± 8, tenemos la suma v + u * + f como 10 y -6. Mientras que 10 no cae dentro de los conjuntos de D o S , -6 cae en el conjunto D . Desde -7 y -9 ya han sido asignados a un y b , claramente ( d , e ) = (-5, 11) de modo que d + e = 6; y satisfará la segunda ecuación de restricción.
Del mismo modo, teniendo c = ± 8, tenemos la suma u + v + c a ser 30 y 14. Aunque 30 no cae dentro de los conjuntos de D o S , 14 cae en conjunto S . Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-5, -9), entonces a + b = -14. Además, tomando f = ± 6, tenemos la suma v + u * + f como 8 y -4. Mientras que 8 no está comprendido dentro de los conjuntos D o S , -4 cae en el conjunto D . Claramente, ( d , e ) = (-7, 11) de modo que d + e = 4, y se cumplirá la segunda ecuación de restricción.
Por tanto, el par de esquinas ( u , v ) = (10, 12) es admisible; y admite dos soluciones: (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8) y (a, b, c, d, e, f) = (-5, -9, -8, -7, 11, -6). Los cuadrados de esqueleto terminados se dan a continuación. El cuadrado mágico se obtiene sumando 13 a cada celda.
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Usando un proceso similar de razonamiento, podemos construir la siguiente tabla para los valores de u, v, a, b, c, d, e, f expresados como números de huesos como se indica a continuación. Solo hay 6 opciones posibles para las celdas de esquina, lo que conduce a 10 posibles soluciones de borde.
u, v | a B C | d, e, f |
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12, 10 | -6, -7, -9 | -11, 5, 8 |
12, 10 | -5, -8, -9 | -11, 6, 7 |
11, 5 | 6, -10, -12 | -9, 7, 8 |
10, 6 | 5, -9, -12 | -11, 7, 8 |
10, 6 | 7, -11, -12 | -9, 5, 8 |
9, 7 | 5, -10, -11 | -12, 6, 8 |
9, 7 | 6, -10, -12 | -11, 5, 8 |
8, 6 | 7, -10, -11 | -12, 5, 9 |
8, 6 | 9, -11, -12 | -10, 5, 7 |
7, 5 | 9, -10, -11 | -12, 6, 8 |
Dado este grupo de 10 bordes, podemos construir 10 × 8 × (¡3!) 2 = 2880 cuadrados mágicos con bordes esencialmente diferentes. Aquí los números de hueso ± 5, ..., ± 12 fueron consecutivos. Se pueden construir más cuadrados bordeados si los números no son consecutivos. Si también se usaron números de huesos no consecutivos, entonces hay un total de 605 bordes mágicos. Por lo tanto, el número total de cuadrados mágicos con bordes esencialmente diferentes de orden 5 (con números consecutivos y no consecutivos) es 174,240. [71] [72] Ver historial. [73] Vale la pena señalar que el número de cuadrados mágicos de quinto orden construibles mediante el método del borde es aproximadamente 26 veces mayor que mediante el método de superposición.
Métodos de enumeración continua
La enumeración exhaustiva de todos los bordes de un cuadrado mágico de un orden dado, como se hizo anteriormente, es muy tediosa. Como tal, a menudo es deseable una solución estructurada que nos permita construir un borde para un cuadrado de cualquier orden. A continuación, ofrecemos tres algoritmos para construir bordes para cuadrados impares, doblemente pares y simplemente pares. Estos algoritmos de enumeración continua fueron descubiertos en el siglo X por eruditos árabes; y su exposición más antigua que se conserva proviene de los dos tratados de al-Buzjani y al-Antaki, aunque ellos mismos no fueron los descubridores. [24] Desde entonces se han descubierto muchos más algoritmos de este tipo.
Cuadrados impares : el siguiente es el algoritmo dado por al-Buzjani para construir un borde para cuadrados impares. Una peculiaridad de este método es que para el orden n cuadrado, las dos esquinas adyacentes son números n - 1 y n + 1 .
Comenzando desde la celda sobre la esquina inferior izquierda, colocamos los números alternativamente en la columna izquierda y la fila inferior hasta llegar a la celda del medio. El siguiente número se escribe en la celda central de la fila inferior recién alcanzada, después de lo cual llenamos la celda en la esquina superior izquierda, luego la celda central de la columna derecha, luego la esquina superior derecha. Después de esto, comenzando desde la celda sobre la celda del medio de la columna derecha ya llena, reanudamos la ubicación alternativa de los números en la columna derecha y la fila superior. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios a las celdas opuestas. Los siguientes bordes interiores se rellenan de la misma manera, hasta que se rellena el cuadrado de orden 3. [24]
A continuación se muestra un ejemplo de cuadrado de noveno orden.
8 | 80 | 78 | 76 | 75 | 12 | 14 | dieciséis | 10 |
67 | 22 | 64 | 62 | 61 | 26 | 28 | 24 | 15 |
69 | 55 | 32 | 52 | 51 | 36 | 34 | 27 | 13 |
71 | 57 | 47 | 38 | 45 | 40 | 35 | 25 | 11 |
73 | 59 | 49 | 43 | 41 | 39 | 33 | 23 | 9 |
5 | 19 | 29 | 42 | 37 | 44 | 53 | 63 | 77 |
3 | 17 | 48 | 30 | 31 | 46 | 50 | sesenta y cinco | 79 |
1 | 58 | 18 | 20 | 21 | 56 | 54 | 60 | 81 |
72 | 2 | 4 | 6 | 7 | 70 | 68 | 66 | 74 |
Orden doblemente uniforme : El siguiente es el método dado por al-Antaki. Considere un borde vacío de orden n = 4 k con k ≥ 3. La peculiaridad de este algoritmo es que las celdas de las esquinas adyacentes están ocupadas por los números n y n - 1 .
Comenzando por la celda de la esquina superior izquierda, colocamos los números sucesivos por grupos de cuatro, el primero al lado de la esquina, el segundo y el tercero en la parte inferior, y el cuarto en la parte superior, y así sucesivamente hasta que quede en el fila superior (excluyendo las esquinas) seis celdas vacías. Luego escribimos los dos números siguientes arriba y los cuatro siguientes abajo. Luego llenamos las esquinas superiores, primero a la izquierda y luego a la derecha. Colocamos el siguiente número debajo de la esquina superior derecha en la columna de la derecha, el siguiente número en el otro lado de la columna de la izquierda. Luego reanudamos la colocación de grupos de cuatro números consecutivos en las dos columnas como antes. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios a las celdas opuestas. [24]
El siguiente ejemplo muestra el borde para el pedido 16 cuadrados.
15 | 1 | 255 | 254 | 4 | 5 | 251 | 250 | 8 | 9 | 10 | 246 | 245 | 244 | 243 | dieciséis |
240 | 17 | ||||||||||||||
18 | 239 | ||||||||||||||
19 | 238 | ||||||||||||||
237 | 20 | ||||||||||||||
236 | 21 | ||||||||||||||
22 | 235 | ||||||||||||||
23 | 234 | ||||||||||||||
233 | 24 | ||||||||||||||
232 | 25 | ||||||||||||||
26 | 231 | ||||||||||||||
27 | 230 | ||||||||||||||
229 | 28 | ||||||||||||||
228 | 29 | ||||||||||||||
30 | 227 | ||||||||||||||
241 | 256 | 2 | 3 | 253 | 252 | 6 | 7 | 249 | 248 | 247 | 11 | 12 | 13 | 14 | 242 |
Para el orden de 8 cuadrados, comenzamos directamente con las seis celdas.
7 | 1 | 2 | 62 | 61 | 60 | 59 | 8 |
56 | 9 | ||||||
10 | 55 | ||||||
11 | 54 | ||||||
53 | 12 | ||||||
52 | 13 | ||||||
14 | 51 | ||||||
57 | 64 | 63 | 3 | 4 | 5 | 6 | 58 |
Orden simple y par: Para un orden simple y uniforme, tenemos el algoritmo dado por al-Antaki. Aquí las celdas de las esquinas están ocupadas por n y n - 1. A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado de décimo orden.
Comience colocando 1 en la fila inferior junto a la celda de la esquina izquierda, luego coloque 2 en la fila superior. Después de esto, coloque 3 en la fila inferior y gire alrededor del borde en sentido antihorario colocando los siguientes números, hasta llegar a n - 2 en la columna de la derecha. Los dos números siguientes se colocan en las esquinas superiores ( n - 1 en la esquina superior izquierda y n en la esquina superior derecha). Luego, los siguientes dos números se colocan en la columna de la izquierda, luego reanudamos la colocación cíclica de los números hasta que se llene la mitad de todas las celdas del borde. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios a las celdas opuestas. [24]
9 | 100 | 2 | 98 | 5 | 94 | 88 | 15 | 84 | 10 |
83 | 18 | ||||||||
dieciséis | 85 | ||||||||
87 | 14 | ||||||||
12 | 89 | ||||||||
11 | 90 | ||||||||
93 | 8 | ||||||||
6 | 95 | ||||||||
97 | 4 | ||||||||
91 | 1 | 99 | 3 | 96 | 7 | 13 | 86 | 17 | 92 |
Método de composición
Para cuadrados de orden m × n donde m , n > 2
Este es un método que recuerda al producto de Kronecker de dos matrices, que construye un cuadrado mágico nm × nm a partir de un cuadrado mágico n × n y un cuadrado mágico m × m . [74] El "producto" de dos cuadrados mágicos crea un cuadrado mágico de orden superior a los dos multiplicandos. Deje que los dos cuadrados mágicos sean de órdenes m y n . El cuadrado final será de orden m × n . Divida el cuadrado de orden m × n en m × m subcuadrados, de modo que haya un total de n 2 de tales subcuadrados. En el cuadrado de orden n , reduzca en 1 el valor de todos los números. Multiplique estos valores reducidos por m 2 y coloque los resultados en los subcuadrados correspondientes del cuadrado completo m × n . Los cuadrados de orden m se suman n 2 veces a los subcuadrados del cuadrado final. La peculiaridad de este método de construcción es que cada subcuadrado mágico tendrá diferentes sumas mágicas. El cuadrado formado por tales sumas mágicas de cada subcuadrado mágico volverá a ser un cuadrado mágico. El cuadrado mágico compuesto más pequeño de orden 9, compuesto por dos cuadrados de orden 3, se muestra a continuación.
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Dado que cada uno de los subcuadrados de 3 × 3 se puede rotar y reflejar de forma independiente en 8 cuadrados diferentes, de este único cuadrado compuesto de 9 × 9 podemos derivar 8 9 = 134,217,728 cuadrados compuestos de 9 × 9 esencialmente diferentes. También se pueden derivar muchos más cuadrados mágicos compuestos si seleccionamos números no consecutivos en los subcuadrados mágicos, como en la versión de Yang Hui del cuadrado mágico compuesto de 9 × 9. Los siguientes cuadrados mágicos compuestos más pequeños de orden 12, compuestos por cuadrados mágicos de orden 3 y 4, se dan a continuación.
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Para los cuadrados base, solo hay un cuadrado de tercer orden esencialmente diferente, mientras que hay 880 cuadrados de cuarto orden esencialmente diferentes entre los que podemos elegir. Cada pareja puede producir dos cuadrados compuestos diferentes. Dado que cada subcuadrado mágico en cada cuadrado compuesto se puede expresar en 8 formas diferentes debido a rotaciones y reflejos, puede haber 1 × 880 × 8 9 + 880 × 1 × 8 16 ≈ 2.476 × 10 17 esencialmente diferente compuesto 12 × 12 cuadrados mágicos creados de esta manera, con números consecutivos en cada subcuadrado. En general, si hay c m y c n esencialmente diferentes cuadrados mágicos de orden m y n , entonces podemos formar c m × c n × (8 m 2 + 8 n 2 ) cuadrados compuestos de orden mn , siempre m ≠ n . Si m = n , entonces podemos formar ( c m ) 2 × 8 m 2 cuadrados compuestos de orden m 2 .
Para cuadrados de orden doblemente parejo
Cuando los cuadrados son de orden doblemente parejo, podemos construir un cuadrado mágico compuesto de una manera más elegante que el proceso anterior, en el sentido de que cada subcuadrado mágico tendrá la misma constante mágica. Sea n el orden del cuadrado principal y m el orden de los subcuadrados iguales. Los subcuadrados se llenan uno por uno, en cualquier orden, con una secuencia continua de m 2 /2 menor números (es decir, números de menos de o igual a n 2 /2) junto con sus complementos a n 2 + 1. Cada subcuadrado como una todo producirá la misma suma mágica. La ventaja de este tipo de cuadrado compuesto es que cada subcuadrado se rellena de la misma forma y su disposición es arbitraria. Por lo tanto, el conocimiento de una sola construcción de orden par será suficiente para llenar todo el cuadrado. Además, si los subcuadrados se rellenan en la secuencia natural, el cuadrado resultante será pandiagonal. La suma mágica de los subcuadrados está relacionada con la suma mágica del cuadrado completo pordonde n = km . [24]
En los ejemplos a continuación, hemos dividido el cuadrado de orden 12 en nueve subcuadrados de orden 4 llenos cada uno con ocho números más pequeños y, en las celdas del obispo correspondientes (dos celdas diagonalmente de ancho, incluidas las envolventes, en el subcuadrado de 4 × 4), complementos a n 2 + 1 = 145. Cada subcuadrado es pandiagonal con constante mágica 290; mientras que todo el cuadrado de la izquierda también es pandiagonal con la constante mágica 870.
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En otro ejemplo a continuación, hemos dividido el cuadrado de orden 12 en cuatro cuadrados de orden 6. Cada uno de los 6 cuadrados del orden se rellena con dieciocho números pequeños y sus complementos utilizando la técnica del borde dada por al-Antaki. Si eliminamos los bordes sombreados de los subcuadrados de orden 6 y formamos un cuadrado de orden 8, entonces este cuadrado de orden 8 es nuevamente un cuadrado mágico. En su generalidad, podemos tomar cualquier m 2 /2 números más pequeños junto con sus complementos a n 2 + 1 para llenar los subcuadrados, no necesariamente en secuencia continua.
60 | 82 | 88 | 56 | 90 | 59 | 24 | 118 | 124 | 20 | 126 | 23 |
64 | 69 | 74 | 79 | 68 | 81 | 28 | 33 | 110 | 115 | 32 | 117 |
83 | 75 | 72 | sesenta y cinco | 78 | 62 | 119 | 111 | 36 | 29 | 114 | 26 |
84 | 66 | 77 | 76 | 71 | 61 | 120 | 30 | 113 | 112 | 35 | 25 |
58 | 80 | 67 | 70 | 73 | 87 | 22 | 116 | 31 | 34 | 109 | 123 |
86 | 63 | 57 | 89 | 55 | 85 | 122 | 27 | 21 | 125 | 19 | 121 |
6 | 136 | 142 | 2 | 144 | 5 | 42 | 100 | 106 | 38 | 108 | 41 |
10 | 15 | 128 | 133 | 14 | 135 | 46 | 51 | 92 | 97 | 50 | 99 |
137 | 129 | 18 | 11 | 132 | 8 | 101 | 93 | 54 | 47 | 96 | 44 |
138 | 12 | 131 | 130 | 17 | 7 | 102 | 48 | 95 | 94 | 53 | 43 |
4 | 134 | 13 | dieciséis | 127 | 141 | 40 | 98 | 49 | 52 | 91 | 105 |
140 | 9 | 3 | 143 | 1 | 139 | 104 | 45 | 39 | 107 | 37 | 103 |
Método de Medjig para cuadrados de orden par 2 n , donde n > 2
En este método, un cuadrado mágico se "multiplica" por un cuadrado medjig para crear un cuadrado mágico más grande. El homónimo de este método se deriva del juego matemático llamado medjig creado por Willem Barink en 2006, aunque el método en sí es mucho más antiguo. Un ejemplo temprano de un cuadrado mágico construido con este método ocurre en el texto de Yang Hui para el cuadrado mágico de orden 6. El método LUX para construir cuadrados mágicos pares individuales es un caso especial del método medjig, donde solo se utilizan 3 de los 24 patrones para construir el cuadrado medjig.
Las piezas del rompecabezas medjig son cuadrados de 2 × 2 en los que se colocan los números 0, 1, 2 y 3. Hay tres patrones básicos mediante los cuales los números 0, 1, 2 y 3 se pueden colocar en un cuadrado de 2 × 2, donde 0 está en la esquina superior izquierda:
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Cada patrón se puede reflejar y rotar para obtener 8 patrones equivalentes, lo que nos da un total de 3 × 8 = 24 patrones. El objetivo del rompecabezas es tomar n 2 piezas de medjig y colocarlas en un cuadrado de medjig de n × n de tal manera que cada fila, columna, junto con las dos diagonales largas, formadas por el cuadrado de medjig sumen 3 n , la constante mágica del cuadrado medjig. Un cuadrado medjig de n × n puede crear un cuadrado mágico de 2 n × 2 n donde n > 2.
Dado un cuadrado de n × n medjig y una base de cuadrado mágico de n × n , un cuadrado mágico de orden 2 n × 2 n se puede construir de la siguiente manera:
- Cada celda de un cuadrado mágico n × n está asociada con un subcuadrado correspondiente de 2 × 2 del cuadrado medjig
- Llene cada 2 × 2 subcuadrados del cuadrado medjig con los cuatro números del 1 al 4 n 2 que sean iguales al número original módulo n 2 , es decir, x + n 2 y donde x es el número correspondiente del cuadrado mágico e y es un número de 0 a 3 en las subcuadradas de 2 × 2.
Suponiendo que tenemos una base de cuadrado mágico inicial, el desafío radica en construir un cuadrado de medjig. Como referencia, las sumas de cada pieza de medjig a lo largo de las filas, columnas y diagonales, indicadas en cursiva, son:
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Cuadrados doblemente pares : el cuadrado medjig ordenado par más pequeño es de orden 2 con constante mágica 6. Si bien es posible construir un cuadrado medjig de 2 × 2, no podemos construir un cuadrado mágico de 4 × 4 a partir de él, ya que se requieren cuadrados mágicos de 2 × 2 para "multiplicar" no existe. Sin embargo, vale la pena construir estos cuadrados medjig de 2 × 2. La constante mágica 6 se puede dividir en dos partes de tres formas como 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3. Existen 96 cuadrados medjig de 2 × 2 de este tipo. En los ejemplos a continuación, cada cuadrado de medjig de 2 × 2 se hace combinando diferentes orientaciones de una sola pieza de medjig.
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Podemos usar los cuadrados medjig de 2 × 2 para construir cuadrados medjig ordenados pares más grandes. Un posible enfoque es simplemente combinar los cuadrados medjig de 2 × 2 juntos. Otra posibilidad es envolver un núcleo cuadrado medjig más pequeño con un borde medjig. Las piezas de un cuadrado medjig de 2 × 2 pueden formar las esquinas del borde. Otra posibilidad más es agregar una fila y una columna a un cuadrado medjig ordenado impar. Un ejemplo de un cuadrado mágico de 8 × 8 se construye a continuación combinando cuatro copias del cuadrado medjig de 2 × 2 más a la izquierda que se muestra arriba:
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El siguiente ejemplo se construye bordeando un núcleo cuadrado medjig de 2 × 2.
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Cuadrados individuales pares : el cuadrado de Medjig de orden 1 no existe. Como tal, el cuadrado medjig ordenado impar más pequeño es de orden 3, con constante mágica 9. Solo hay 7 formas de dividir el número entero 9, nuestra constante mágica, en tres partes. Si estas tres partes corresponden a tres de las piezas medjig en una fila, columna o diagonal, entonces las particiones relevantes para nosotros son
- 9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.
Se puede construir un cuadrado medjig de 3 × 3 con algo de prueba y error, como en el cuadrado más a la izquierda a continuación. Otro enfoque es agregar una fila y una columna a un cuadrado medjig de 2 × 2. En el cuadrado central de abajo, se han agregado una columna izquierda y una fila inferior, creando un borde medjig en forma de L, a un cuadrado medjig de 2 × 2 dado anteriormente. El cuadrado más a la derecha a continuación es esencialmente el mismo que el cuadrado del medio, excepto que la fila y la columna se han agregado en el medio para formar una cruz, mientras que las piezas del cuadrado medjig de 2 × 2 se colocan en las esquinas.
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Una vez que se ha construido un cuadrado medjig de 3 × 3, podemos convertirlo en un cuadrado mágico de 6 × 6. Por ejemplo, usando el cuadrado medjig de 3 × 3 más a la izquierda dado arriba:
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Hay 1.740.800 cuadrados medjig de 3 × 3. [75] Un enfoque fácil para construir un cuadrado de medjig impar de orden superior es envolver un cuadrado de medjig de orden impar más pequeño con un borde de medjig, al igual que con los cuadrados de medjig ordenados pares. Otro método consiste en añadir una fila y una columna a un cuadrado medjig ordenado uniformemente. También se pueden utilizar enfoques como el método LUX. En el siguiente ejemplo, un cuadrado medjig de 5 × 5 se crea envolviendo un borde medjig alrededor de un cuadrado medjig de 3 × 3 dado anteriormente:
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Resolver cuadrados mágicos parcialmente completados
Resolver cuadrados mágicos parcialmente completados es un pasatiempo matemático popular. Las técnicas necesarias son similares a las que se utilizan en los rompecabezas de Sudoku o KenKen , e implican deducir los valores de los cuadrados sin rellenar utilizando la lógica y la teoría de grupos de permutación (las cuadrículas de Sudoku no son cuadrados mágicos, sino que se basan en una idea relacionada llamada cuadrados grecolatinos ). [64]
Variaciones del cuadrado mágico
Restricciones adicionales
Se pueden imponer ciertas restricciones adicionales a los cuadrados mágicos.
Si elevar cada número a los n th rendimientos de energía otro cuadrado mágico, el resultado es un bimagic (n = 2), un trimagic (n = 3), o, en general, un cuadrado multimagic .
Un cuadrado mágico en el que el número de letras en el nombre de cada número en el cuadrado genera otro cuadrado mágico se llama cuadrado alfamágico .
Hay cuadrados mágicos que consisten enteramente en números primos . Rudolf Ondrejka (1928-2001) descubrió el siguiente cuadrado mágico de primos de 3 × 3 , en este caso nueve primos de Chen :
17 | 89 | 71 |
113 | 59 | 5 |
47 | 29 | 101 |
El teorema de Green-Tao implica que hay cuadrados mágicos arbitrariamente grandes que consisten en números primos.
El siguiente "cuadrado mágico reversible" tiene una constante mágica de 264 tanto al revés como hacia arriba: [76]
96 | 11 | 89 | 68 |
88 | 69 | 91 | dieciséis |
61 | 86 | 18 | 99 |
19 | 98 | 66 | 81 |
Cuando la restricción adicional es mostrar alguna fecha, especialmente una fecha de nacimiento, estos cuadrados mágicos se denominan cuadrados mágicos de cumpleaños. Un ejemplo temprano de este cuadrado mágico de cumpleaños fue creado por Srinivasa Ramanujan . Creó un cuadrado de 4 × 4 en el que ingresó su fecha de nacimiento en formato DD-MM-CC-YY en la fila superior y la magia sucedió con sumas y restas de números en cuadrados. No solo las filas, columnas y diagonales suman el mismo número, sino que las cuatro esquinas, los cuatro cuadrados del medio (17, 9, 24, 89), la primera y la última fila son dos números del medio (12, 18, 86 , 23), y la primera y la última columna dos números del medio (88, 10, 25, 16) suman la suma de 139.
Cuadrados mágicos multiplicativos
En lugar de sumar los números en cada fila, columna y diagonal, se puede aplicar alguna otra operación. Por ejemplo, un cuadrado mágico multiplicativo tiene un producto constante de números. Un cuadrado mágico multiplicativo puede derivarse de un cuadrado mágico aditivo elevando 2 (o cualquier otro número entero) a la potencia de cada elemento, porque el logaritmo del producto de 2 números es la suma del logaritmo de cada uno. Alternativamente, si cualesquiera 3 números en una línea son 2 a , 2 b y 2 c , su producto es 2 a + b + c , que es constante si a + b + c es constante, como lo sería si a , b y c se tomaron del cuadrado mágico ordinario (aditivo). [77] Por ejemplo, el cuadrado mágico Lo-Shu original se convierte en:
dieciséis | 512 | 4 |
8 | 32 | 128 |
256 | 2 | 64 |
Otros ejemplos de cuadrados mágicos multiplicativos incluyen:
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Cuadrados mágicos multiplicativos de números complejos
Aún utilizando el método no iterativo de Ali Skalli , es posible producir una infinidad de cuadrados mágicos multiplicativos de números complejos [78] pertenecientes acolocar. En el siguiente ejemplo, las partes real e imaginaria son números enteros, pero también pueden pertenecer al conjunto completo de números reales.. El producto es: −352,507,340,640 - 400,599,719,520 i .
21 | +14 yo | −70 | +30 yo | −93 | −9 yo | −105 | −217 yo | dieciséis | +50 yo | 4 | −14 yo | 14 | −8 yo |
63 | −35 yo | 28 | +114 yo | −14 yo | 2 | +6 yo | 3 | −11 yo | 211 | +357 yo | −123 | −87 yo | |
31 | −15 yo | 13 | −13 yo | −103 | +69 yo | −261 | −213 yo | 49 | −49 yo | −46 | +2 yo | −6 | +2 yo |
102 | −84 yo | −28 | −14 yo | 43 | +247 yo | −10 | −2 yo | 5 | +9 yo | 31 | −27 yo | −77 | +91 yo |
−22 | −6 yo | 7 | +7 yo | 8 | +14 yo | 50 | +20 yo | −525 | −492 yo | −28 | −42 yo | −73 | +17 yo |
54 | +68 yo | 138 | −165 yo | −56 | −98 yo | −63 | +35 yo | 4 | −8 yo | 2 | −4 yo | 70 | −53 yo |
24 | +22 yo | −46 | −16 yo | 6 | −4 yo | 17 | +20 yo | 110 | +160 yo | 84 | −189 yo | 42 | −14 yo |
Magia aditivo-multiplicativa y cuadrados semimágicos
Los cuadrados mágicos aditivo-multiplicativos y los cuadrados semimágicos satisfacen las propiedades de los cuadrados mágicos ordinarios y multiplicativos y de los cuadrados semimágicos, respectivamente. [79]
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Se desconoce si existen cuadrados mágicos aditivo-multiplicativos menores a 8 × 8, pero se ha demostrado que no existen cuadrados mágicos aditivo-multiplicativos de 3 × 3 o 4 × 4 ni cuadrados semimágicos aditivo-multiplicativos de 3 × 3. [80]
Cuadrados mágicos geométricos
Se pueden construir cuadrados mágicos que contengan formas geométricas en lugar de números. Estos cuadrados, conocidos como cuadrados mágicos geométricos , fueron inventados y nombrados por Lee Sallows en 2001. [81]
En el ejemplo que se muestra, las formas que aparecen son bidimensionales. Fue el descubrimiento de Sallows de que todos los cuadrados mágicos son geométricos, los números que aparecen en los cuadrados mágicos numéricos se pueden interpretar como una notación abreviada que indica las longitudes de los segmentos de línea recta que son las 'formas' geométricas que ocurren en el cuadrado. Es decir, los cuadrados mágicos numéricos son ese caso especial de un cuadrado mágico geométrico que usa formas unidimensionales. [82]
Cuadrados mágicos de área
En 2017, siguiendo las ideas iniciales de William Walkington e Inder Taneja , Walter Trump construyó el primer cuadrado mágico de área lineal (L-AMS) . [83]
Otras formas mágicas
Se pueden considerar otras formas bidimensionales distintas a los cuadrados. El caso general es considerar un diseño con N partes como mágico si las N partes están etiquetadas con los números del 1 al N y varios sub-diseños idénticos dan la misma suma. Los ejemplos incluyen círculos mágicos , magia, rectángulos triángulos mágicos [84] mágica estrellas , hexágonos mágicos , diamantes mágicos. Subir de dimensión da como resultado esferas mágicas, cilindros mágicos , cubos mágicos, paralelepípedo mágico, sólidos mágicos y otros hipercubos mágicos .
Las posibles formas mágicas están limitadas por el número de subconjuntos de igual tamaño y suma igual del conjunto de etiquetas elegido. Por ejemplo, si uno propone formar una forma mágica etiquetando las partes con {1, 2, 3, 4}, los sub-diseños deberán etiquetarse con {1,4} y {2,3}. [84]
Problemas relacionados
n -problema de reinas
En 1992, Demirörs, Rafraf y Tanik publicaron un método para convertir algunos cuadrados mágicos en soluciones de n reinas y viceversa. [85]
Cuadrados mágicos en el ocultismo
Los cuadrados mágicos de orden 3 a 9, asignados a los siete planetas, y descritos como medios para atraer la influencia de los planetas y sus ángeles (o demonios) durante las prácticas mágicas, se pueden encontrar en varios manuscritos de toda Europa comenzando al menos desde el 15. siglo. Entre los más conocidos, el Liber de Angelis , un manual mágico escrito alrededor de 1440, se incluye en la Universidad de Cambridge. Lib. MS Dd.xi.45. [86] El texto del Liber de Angelis es muy parecido al de De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici , otro manual de magia de imágenes planetarias contenido en el Codex 793 de la Biblioteka Jagiellońska (Ms BJ 793). [87] Las operaciones mágicas implican grabar el cuadrado apropiado en una placa hecha con el metal asignado al planeta correspondiente, [88] así como realizar una variedad de rituales. Por ejemplo, el cuadrado de 3 × 3, que pertenece a Saturno, tiene que estar inscrito en una placa de plomo. En particular, ayudará a las mujeres durante un parto difícil.
Hacia 1510, Heinrich Cornelius Agrippa escribió De Occulta Philosophia , basándose en las obras herméticas y mágicas de Marsilio Ficino y Pico della Mirandola . En su edición de 1531, expuso las virtudes mágicas de los siete cuadrados mágicos de los órdenes 3 a 9, cada uno asociado con uno de los planetas astrológicos , de la misma manera que lo hacían los textos más antiguos. Este libro fue muy influyente en toda Europa hasta la contrarreforma , y los cuadrados mágicos de Agripa, a veces llamados kameas, continúan usándose dentro de la magia ceremonial moderna de la misma manera que él prescribió por primera vez. [89]
El uso más común de estos kameas es proporcionar un patrón sobre el cual construir los sigilos de espíritus, ángeles o demonios ; las letras del nombre de la entidad se convierten en números y las líneas se trazan a través del patrón que estos números sucesivos hacen en el kamea. En un contexto mágico, el término cuadrado mágico también se aplica a una variedad de cuadrados de palabras o cuadrados de números que se encuentran en grimorios mágicos , incluidos algunos que no siguen ningún patrón obvio, e incluso aquellos con diferentes números de filas y columnas. Por lo general, están destinados a usarse como talismanes. Por ejemplo, los siguientes cuadrados son: El cuadrado Sator , uno de los cuadrados mágicos más famosos que se encuentran en varios grimorios, incluida la Llave de Salomón ; un cuadrado "para vencer la envidia", de El libro del poder ; [90] y dos cuadrados del Libro de la Magia Sagrada de Abramelin el Mago , el primero en hacer aparecer la ilusión de un magnífico palacio, y el segundo para ser usado en la cabeza de un niño durante una invocación angelical :
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Cuadrados mágicos en la cultura popular
- En el Fausto de Goethe , el hechizo de la bruja utilizado para hacer un elixir juvenil para Fausto, el Hexen-Einmal-Eins , ha sido interpretado como una construcción de un cuadrado mágico.
- El compositor inglés Peter Maxwell Davies ha utilizado cuadrados mágicos para estructurar muchas de sus composiciones. Por ejemplo, su Ave Maris Stella de 1975 usa el cuadrado mágico de 9 × 9 de la Luna, mientras que su A Mirror of Whitening Light de 1977 usa el cuadrado mágico de Mercurio de 8 × 8 para crear el conjunto completo de notas y duraciones de la pieza. Sus otras obras que emplean cuadrados mágicos incluyen The Lighthouse (1979), Resurrection (1987), Strathclyde Concerto No. 3 for Horn and Trumpet (1989), así como muchas de sus sinfonías. [91] [92] Según el propio relato de Davies:
Un cuadrado mágico en una composición musical no es un bloque de números, es un principio generador, que debe ser aprendido y conocido íntimamente, percibido internamente como una proyección multidimensional en esa vasta (¡caótica!) Área del oído interno: el espacio. / crisol del tiempo - donde se concibe la música. ... Proyectado en la página, un cuadrado mágico es un conglomerado negro y muerto de dígitos; sintonice, y se oye una poderosa dinamo orbital de imágenes musicales, brillando con numen y lumen. [92]
- Los cuadrados mágicos, incluido el de Benjamin Franklin , aparecen como pistas del misterio en las novelas de Katherine Neville The Eight y The Fire .
- El cuadrado mágico de Durero y su Melencolia I también jugaron papeles importantes en la novela de Dan Brown de 2009, El símbolo perdido .
- En el drama de televisión coreano de 2011 Deep Rooted Tree , se muestra al Rey Sejong intentando construir un cuadrado mágico de 33 × 33 usando loncheras. Finalmente descubre el "método de la pirámide" y completa el cuadrado mágico con la ayuda de un ejército de asistentes de la corte. Esto lo inspira a crear una forma de gobierno más justa gobernada por la razón y las palabras en lugar del poderío militar.
- El 9 de octubre de 2014, la oficina de correos de Macao en la República Popular China emitió una serie de sellos basados en cuadrados mágicos. [93] La siguiente figura muestra los sellos con los nueve cuadrados mágicos elegidos para formar parte de esta colección. [94]
- Chuck Burks alega que el artefacto metálico en el centro del episodio " Biogénesis " de The X-Files es un cuadrado mágico. [95] [96]
- El matemático Matt Parker intentó crear un cuadrado mágico de 3 × 3 usando números cuadrados en un video de YouTube en el canal Numberphile . Su intento fallido se conoce como Parker Square .
- El episodio "Brotherhood" de Stargate Atlantis de la primera temporada consiste en completar un cuadrado mágico como parte de un rompecabezas que protege un poderoso artefacto antiguo.
- Magic Squares también aparece en la película española Vivir dos veces de 2019 .
Ver también
- Plaza antimagia
- Secuencia aritmética
- Cuadrado mágico asociativo
- Diseño combinatorio
- Cuadrado mágico de Freudenthal
- John R. Hendricks
- Problema de tortuga hexagonal
- Plaza latina
- circulo mágico
- Clases de cubo mágico
- Serie mágica
- Cuadrado mágico más perfecto
- Hipercubo mágico Nasik
- Primer cuadrado mágico recíproco
- Plaza de la habitación
- Matrices cuadradas
- Sigil (magia)
- Sriramachakra
- Sudoku
- Problemas sin resolver en matemáticas
- Plaza védica
- Polígono mágico
Notas
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Me encanta cuando traen al tipo nerd del FBI para explicar el concepto de "el cuadrado mágico", lo que hace diciéndonos que los cuadrados mágicos han existido por un tiempo, y nada más. A menos que me haya perdido algo, todo lo que tengo en este momento es que los cuadrados mágicos son cuadrados que la gente alguna vez pensó que eran mágicos.
Referencias
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