Transformación de Weyl

Consulte también Transformada de Wigner-Weyl , para obtener otra definición de la transformada de Weyl.

En física teórica , la transformación de Weyl , que lleva el nombre de Hermann Weyl , es un cambio de escala local del tensor métrico :

{\ displaystyle g_ {ab} \ rightarrow e ^ {- 2 \ omega (x)} g_ {ab}}

que produce otra métrica en la misma clase conforme . Una teoría o expresión invariante bajo esta transformación se denomina invariante conforme , o se dice que posee invariancia de Weyl o simetría de Weyl . La simetría de Weyl es una simetría importante en la teoría de campos conforme . Es, por ejemplo, una simetría de la acción de Polyakov . Cuando los efectos de la mecánica cuántica rompen la invariancia conforme de una teoría, se dice que presenta una anomalía conforme o anomalía de Weyl .

La conexión Levi-Civita ordinaria y las conexiones de espín asociadas no son invariantes bajo las transformaciones de Weyl. Una noción apropiadamente invariante es la conexión de Weyl , que es una forma de especificar la estructura de una conexión conforme .

Peso conformal

Una cantidad tiene peso conforme si, bajo la transformación de Weyl, se transforma a través de ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle \ varphi \ to \ varphi e ^ {k \ omega}.}

Por tanto, las cantidades ponderadas de forma conforme pertenecen a ciertos haces de densidad ; ver también dimensión conforme . Sea la conexión de una forma asociada a la conexión Levi-Civita de . Introduzca una conexión que dependa también de una forma única inicial a través de ${\ Displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ omega}$

{\ Displaystyle B _ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ parcial _ {\ mu} \ omega.}

Entonces es covariante y tiene peso conforme . ${\ Displaystyle D _ {\ mu} \ varphi \ equiv \ parcial _ {\ mu} \ varphi + kB _ {\ mu} \ varphi}$ ${\ Displaystyle k-1}$

Fórmulas

Por la transformación

{\ Displaystyle g_ {ab} = f (\ phi (x)) {\ bar {g}} _ {ab}}

Podemos derivar las siguientes fórmulas

{\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D)\nabla _{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}

Tenga en cuenta que el tensor de Weyl es invariante bajo un cambio de escala de Weyl.

Referencias

Weyl, Hermann (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [ Espacio, Tiempo, Materia ]. Conferencias sobre relatividad general (en alemán). Berlín: Springer. ISBN 3-540-56978-2.