Variedad mundial

En la teoría de la gravitación , una variedad mundial dotada de alguna métrica pseudo-riemanniana de Lorentz y una estructura de espacio-tiempo asociada es un espacio-tiempo . La teoría de la gravitación se formula como teoría de campo clásica sobre haces naturales en una variedad mundial.

Topología

Un colector mundial es un colector liso real orientable en cuatro dimensiones . Se supone que es un Hausdorff y un segundo espacio topológico contable . En consecuencia, es un espacio localmente compacto que es una unión de un número contable de subconjuntos compactos, un espacio separable , un espacio paracompacto y completamente regular . Al ser paracompacto, un mundo múltiple admite una partición de unidad mediante funciones suaves. La paracompactancia es una característica esencial de una variedad mundial. Es necesario y suficiente para que una variedad mundial admita una métrica riemanniana y necesaria para la existencia de una métrica pseudo-riemanniana. Se supone que un mundo múltiple está conectado y, en consecuencia, está conectado en forma de arco .

Estructura riemanniana

El paquete tangente ${\displaystyle TX}$ de un mundo múltiple ${\displaystyle X}$y el paquete de tramas principal asociado ${\displaystyle FX}$ de cuadros tangentes lineales en ${\displaystyle TX}$Poseer una estructura de grupo lineal general grupo ${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$. Un mundo múltiple${\displaystyle X}$se dice que es paralelizable si el paquete tangente${\displaystyle TX}$ y, en consecuencia, el paquete de marcos ${\displaystyle FX}$son triviales, es decir, existe una sección global (un campo de marco ) de${\displaystyle FX}$. Es esencial que los paquetes tangentes y asociados de una variedad mundial admitan un atlas de paquetes de un número finito de gráficos de trivialización.

Los paquetes de tramas y tangentes sobre una variedad mundial son paquetes naturales caracterizados por transformaciones covariantes generales . Estas transformaciones son simetrías de calibre de la teoría de la gravitación en una variedad mundial.

En virtud del conocido teorema de la reducción de grupos de estructuras , un grupo de estructuras${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$ de un paquete de marcos ${\displaystyle FX}$ sobre una variedad mundial ${\displaystyle X}$ es siempre reducible a su máximo subgrupo compacto ${\displaystyle SO(4)}$. La sección global correspondiente del paquete de cocientes${\displaystyle FX/SO(4)}$ es una métrica de Riemann ${\displaystyle g^{R}}$ en ${\displaystyle X}$. Así, una variedad mundial siempre admite una métrica riemanniana que hace${\displaystyle X}$un espacio topológico métrico .

Estructura lorentziana

De acuerdo con el principio de equivalencia geométrica , una variedad mundial posee una estructura de Lorentz , es decir, un grupo de estructuras de un paquete de marcos.${\displaystyle FX}$debe reducirse a un grupo de Lorentz ${\displaystyle SO(1,3)}$. La sección global correspondiente del paquete de cocientes${\displaystyle FX/SO(1,3)}$ es una métrica pseudo-riemanniana ${\displaystyle g}$ de firma ${\displaystyle (+,---)}$ en ${\displaystyle X}$. Se trata como un campo gravitacional en la relatividad general y como un campo de Higgs clásico en la teoría de la gravitación de calibre .

No es necesario que exista una estructura lorentziana. Por lo tanto, se supone que una variedad mundial satisface una determinada condición topológica. Es un espacio topológico no compacto o un espacio compacto con una característica de Euler cero . Por lo general, también se requiere que una variedad mundial admita una estructura de espino para describir los campos de fermiones de Dirac en la teoría de la gravitación. Existe la obstrucción topológica adicional a la existencia de esta estructura. En particular, una variedad mundial no compacta debe ser paralelizable.

Estructura espacio-temporal

Si un grupo de estructura de un paquete de marcos ${\displaystyle FX}$ es reducible a un grupo de Lorentz, este último siempre es reducible a su subgrupo compacto máximo ${\displaystyle SO(3)}$. Por tanto, existe el diagrama conmutativo

${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )\to SO(4)}$

${\displaystyle \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow }$

${\displaystyle SO(1,3)\to SO(3)}$

de la reducción de grupos de estructuras de un paquete de marcos ${\displaystyle FX}$en la teoría de la gravitación. Este diagrama de reducción da como resultado lo siguiente.

(i) En la teoría de la gravitación en una variedad mundial ${\displaystyle X}$, siempre se puede elegir un atlas de un paquete de marcos ${\displaystyle FX}$ (caracterizado por campos de marco locales ${\displaystyle \{h^{\lambda }\}}$) con ${\displaystyle SO(3)}$-Funciones de transición valoradas. Estas funciones de transición conservan un componente similar al tiempo${\displaystyle h_{0}=h_{0}^{\mu }\partial _{\mu }}$de los campos del marco local que, por lo tanto, se define globalmente. Es un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte${\displaystyle X}$. En consecuencia, el campo covector de tiempo dual${\displaystyle h^{0}=h_{\lambda }^{0}dx^{\lambda }}$también se define globalmente, y produce una distribución espacial${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset TX}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle h^{0}\rfloor {\mathfrak {F}}=0}$. Entonces el paquete tangente${\displaystyle TX}$ de un mundo múltiple ${\displaystyle X}$ admite una descomposición espacio-temporal${\displaystyle TX={\mathfrak {F}}\oplus T^{0}X}$, donde ${\displaystyle T^{0}X}$ es un haz de fibras unidimensional atravesado por un campo vectorial similar al tiempo ${\displaystyle h_{0}}$. Esta descomposición, se llama${\displaystyle g}$-Estructura espacio-temporal compatible . Hace un mundo múltiple el espacio-tiempo .

(ii) Dado el diagrama de reducción de grupos de estructuras mencionado anteriormente, sea ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle g^{R}}$ ser las métricas pseudo-riemannianas y riemannianas correspondientes en ${\displaystyle X}$. Forman un triple${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$ obedeciendo la relación

${\displaystyle g=2h^{0}\otimes h^{0}-g^{R}}$.

Por el contrario, deja que un mundo se multiplique ${\displaystyle X}$ Admitir una forma única que desaparece en ninguna parte ${\displaystyle \sigma }$(o, de manera equivalente, un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte). Entonces cualquier métrica de Riemann${\displaystyle g^{R}}$ en ${\displaystyle X}$ produce la métrica pseudo-Riemanniana

${\displaystyle g={\frac {2}{g^{R}(\sigma ,\sigma )}}\sigma \otimes \sigma -g^{R}}$.

De ello se deduce que un mundo múltiple ${\displaystyle X}$ admite una métrica pseudo-Riemanniana si y solo si existe un campo de vector (o covector) de fuga en ninguna parte en ${\displaystyle X}$.

Notemos que un ${\displaystyle g}$-métrica Riemanniana compatible ${\displaystyle g^{R}}$ en un triple ${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$ define un ${\displaystyle g}$-Función de distancia compatible en un colector mundial ${\displaystyle X}$. Tal función trae${\displaystyle X}$ en un espacio métrico cuya topología euclidiana local es equivalente a una topología múltiple en ${\displaystyle X}$. Dado un campo gravitacional${\displaystyle g}$, la ${\displaystyle g}$-Las métricas de Riemannian compatibles y las funciones de distancia correspondientes son diferentes para diferentes distribuciones espaciales ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$y ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$. De ello se deduce que los observadores físicos asociados con estas diferentes distribuciones espaciales perciben una variedad mundial${\displaystyle X}$como diferentes espacios riemannianos. Los conocidos cambios relativistas de tamaño de los cuerpos en movimiento ejemplifican este fenómeno.

Sin embargo, uno intenta derivar una topología mundial directamente de una estructura de espacio-tiempo (una topología de ruta , una topología de Alexandrov ). Si un espacio-tiempo satisface la condición de causalidad fuerte , tales topologías coinciden con una topología múltiple familiar de una variedad mundial. En un caso general, sin embargo, son bastante extraordinarios.

Condiciones de causalidad

Una estructura de espacio-tiempo se llama integrable si una distribución espacial ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ es involutivo. En este caso, sus variedades integrales constituyen una foliación espacial de una variedad mundial cuyas hojas son subespacios espaciales tridimensionales. Una foliación espacial se llama causal si ninguna curva transversal a sus hojas cruza cada hoja más de una vez. Esta condición es equivalente a la causalidad estable de Stephen Hawking . Una foliación espacio-temporal es causal si y solo si es una foliación de superficies niveladas de alguna función real suave en${\displaystyle X}$cuyo diferencial en ninguna parte se desvanece. Tal foliación es una variedad fibrosa. ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$. Sin embargo, este no es el caso de una variedad compacta mundial que no puede ser una variedad fibrosa sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La causalidad estable no proporciona la estructura causal más simple. Si un colector de fibra${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$ es un haz de fibras, es trivial, es decir, una variedad mundial ${\displaystyle X}$es una variedad globalmente hiperbólica ${\displaystyle X=\mathbb {R} \times M}$. Dado que cualquier variedad tridimensional orientada es paralelizable, una variedad mundial globalmente hiperbólica es paralelizable.

Ver también

• Tiempo espacial
• Matemáticas de la relatividad general
• Teoría de la gravitación del calibre

Referencias

• SW Hawking , GFR Ellis , La estructura a gran escala del espacio-tiempo (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973) ISBN  0-521-20016-4
• CTG Dodson, Categorías, paquetes y topología del espacio-tiempo (Shiva Publ.Ltd., Orpington, Reino Unido, 1980) ISBN 0-906812-01-1 

Enlaces externos

• Sardanashntly, G. (2011). "Teoría clásica de la gravitación de calibre". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 8 (8): 1869–1895. arXiv : 1110.1176 . Código bibliográfico : 2011IJGMM..08.1869S . doi : 10.1142 / S0219887811005993 . S2CID  119711561 .