En matemáticas, un espacio métrico hiperbólico es un espacio métrico que satisface ciertas relaciones métricas (que dependen cuantitativamente de un número real no negativo δ) entre puntos. La definición, introducida por Mikhael Gromov , generaliza las propiedades métricas de la geometría hiperbólica clásica y de los árboles . La hiperbolicidad es una propiedad a gran escala y es muy útil para el estudio de ciertos grupos infinitos llamados (Gromov-) grupos hiperbólicos .
Definiciones
En este párrafo damos varias definiciones de un -espacio hiperbólico. Se dice que un espacio métrico es (Gromov-) hiperbólico si es-hiperbólico para algunos .
Definición utilizando el producto Gromov
Dejar ser un espacio métrico . El producto de Gromov de dos puntos con respecto a un tercero está definido por la fórmula:
La definición de Gromov de un espacio métrico hiperbólico es entonces la siguiente: es -hiperbólico si y solo si todos satisfacer la condición de cuatro puntos
Tenga en cuenta que si esta condición se cumple para todos y un punto base fijo , entonces se satisface para todos con una constante . [1] Por lo tanto, la condición de hiperbolicidad solo necesita verificarse para un punto base fijo; por esta razón, el subíndice del punto base a menudo se elimina del producto de Gromov.
Definiciones usando triángulos
Hasta cambiar por un múltiplo constante, hay una definición geométrica equivalente que involucra triángulos cuando el espacio métrico es geodésico , es decir, dos puntos cualesquiera son puntos finales de un segmento geodésico (una imagen isométrica de un subintervalo compacto de los reales). [2] [3] [4] Tenga en cuenta que la definición a través de los productos de Gromov no requiere que el espacio sea geodésico.
Dejar . Un triángulo geodésico con vértices. es la unión de tres segmentos geodésicos (dónde denota un segmento con puntos finales y ).
Si por algun punto hay un punto en a una distancia menor que de , y de manera similar para los puntos en los otros bordes, y entonces se dice que el triángulo es -delgado .
Una definición de -El espacio hiperbólico es entonces un espacio métrico geodésico cuyos triángulos geodésicos son -Delgado. Esta definición generalmente se le atribuye a Eliyahu Rips .
Se puede dar otra definición utilizando la noción de -Centro aproximado de un triángulo geodésico: este es un punto que está a la distancia como máximo de cualquier borde del triángulo (una versión "aproximada" del incentro ). Un espacio es-hiperbólico si cada triángulo geodésico tiene un -centrar.
Estas dos definiciones de un -El espacio hiperbólico que utiliza triángulos geodésicos no es exactamente equivalente, pero existe tal que un -espacio hiperbólico en el primer sentido es -hiperbólico en el segundo, y viceversa. [5] Por tanto, la noción de espacio hiperbólico es independiente de la definición elegida.
Ejemplos de
El plano hiperbólico es hiperbólico: de hecho, el círculo de un triángulo geodésico es el círculo de mayor diámetro contenido en el triángulo y cada triángulo geodésico se encuentra en el interior de un triángulo ideal, todos los cuales son isométricos con círculos de diámetro 2 log 3. [6] Tenga en cuenta que en este caso el producto de Gromov también tiene una interpretación simple en términos del círculo de un triángulo geodésico. De hecho, la cantidad ( A , B ) C es solo la distancia hiperbólica p desde C a cualquiera de los puntos de contacto del círculo con los lados adyacentes: para del diagrama c = ( a - p ) + ( b - p ) , de modo que p = ( a + b - c ) / 2 = ( a , B ) C . [7]
El plano euclidiano no es hiperbólico, por ejemplo debido a la existencia de homotecias .
Dos ejemplos "degenerados" de espacios hiperbólicos son los espacios con diámetro limitado (por ejemplo, espacios finitos o compactos) y la línea real.
Los árboles métricos y, en general, los árboles reales son los ejemplos interesantes más simples de espacios hiperbólicos, ya que son 0-hiperbólicos (es decir, todos los triángulos son trípodes).
El esqueleto 1 de la triangulación por triángulos equiláteros euclidianos no es hiperbólico (de hecho es cuasi-isométrico al plano euclidiano). Una triangulación del avión. tiene un esqueleto hiperbólico 1 si cada vértice tiene grado 7 o más.
La cuadrícula bidimensional no es hiperbólica (es cuasi-isométrica al plano euclidiano). Es el gráfico de Cayley del grupo fundamental del toro ; el gráfico de Cayley de los grupos fundamentales de una superficie de género superior es hiperbólico (de hecho es cuasi-isométrico al plano hiperbólico).
Hiperbolicidad y curvatura
El plano hiperbólico (y más generalmente cualquier variedad Hadamard de curvatura seccional ) es -hiperbólico. Si escalamos la métrica de Riemann por un factor entonces las distancias se multiplican por y así obtenemos un espacio que es -hiperbólico. Dado que la curvatura se multiplica por vemos que en este ejemplo "cuanto más (negativamente) curvado es el espacio, más hiperbólico es (medido por su constante de hiperbolicidad ) ".
Ejemplos similares son los espacios CAT de curvatura negativa. Sin embargo, con respecto a la curvatura y la hiperbolicidad, debe tenerse en cuenta que mientras que la curvatura es una propiedad que es esencialmente local, la hiperbolicidad es una propiedad a gran escala que no ve los fenómenos métricos locales (es decir, que ocurren en una región acotada). Por ejemplo, la unión de un espacio hiperbólico con un espacio compacto con cualquier métrica que extienda las originales permanece hiperbólica.
Propiedades importantes
Invarianza bajo cuasi-isometría
Una forma de precisar el significado de "gran escala" es requerir invariancia bajo cuasi-isometría . Esto es cierto en el caso de la hiperbolicidad.
- Si un espacio métrico geodésico es cuasi-isométrica a -espacio hiperbólico entonces existe tal que es -hiperbólico.
El constante depende de y sobre las constantes multiplicativas y aditivas para la cuasi-isometría. [8]
Árboles aproximados en espacios hiperbólicos
La definición de un espacio hiperbólico en términos del producto de Gromov se puede ver en el sentido de que las relaciones métricas entre cuatro puntos cualesquiera son las mismas que serían en un árbol, hasta la constante aditiva . De manera más general, la siguiente propiedad muestra que cualquier subconjunto finito de un espacio hiperbólico parece un árbol finito.
- Para cualquier hay una constante de manera que se mantenga lo siguiente: si son puntos en un -espacio hiperbólico hay un árbol finito y una incrustación tal que para todos y
El constante puede ser tomado para ser con y esto es óptimo. [9]
Crecimiento exponencial de la distancia y las desigualdades isoperimétricas
En un espacio hiperbólico tenemos la siguiente propiedad: [10]
- Existen tal que para todos con , cada camino unión a y mantenerse a distancia al menos de tiene longitud al menos .
De manera informal, esto significa que la circunferencia de un "círculo" de radio crece exponencialmente con . Esto recuerda el problema isoperimétrico en el plano euclidiano . Aquí hay una declaración más específica a este efecto. [11]
- Suponer que es un complejo celular de dimensión 2 tal que su esqueleto 1 es hiperbólico, y existe tal que el límite de cualquier celda de 2 contenga como máximo 1 celdas. Entonces hay una constante tal que para cualquier subcomplejo finito tenemos
Aquí el área de un complejo 2 es el número de 2 celdas y la longitud de un complejo 1 es el número de 1 celdas. El enunciado anterior es una desigualdad isoperimétrica lineal ; resulta que tener tal desigualdad isoperimétrica caracteriza los espacios hiperbólicos de Gromov. [12] Las desigualdades isoperimétricas lineales se inspiraron en las pequeñas condiciones de cancelación de la teoría combinatoria de grupos .
Subespacios cuasiconvexos
Un subespacio de un espacio métrico geodésico se dice que es cuasiconvexo si hay una constante tal que cualquier geodésica en entre dos puntos de se mantiene a distancia de .
- Un subespacio cuasi-convexo de un espacio hiperbólico es hiperbólico.
Conos asintóticos
Todos los conos asintóticos de un espacio hiperbólico son árboles reales . Esta propiedad caracteriza los espacios hiperbólicos. [13]
El límite de un espacio hiperbólico
Generalizando la construcción de los extremos de un árbol simplicial existe una noción natural de límite en el infinito para espacios hiperbólicos, que ha demostrado ser de gran utilidad para analizar acciones grupales.
En este párrafo es un espacio métrico geodésico que es hiperbólico.
Definición utilizando el producto Gromov
Una secuencia se dice que converge al infinito si para algún (o cualquier) punto tenemos eso como ambos y ir al infinito. Dos secuencias convergiendo al infinito se consideran equivalentes cuando (para algunos o cualquiera ). El límite dees el conjunto de clases de equivalencia de secuencias que convergen al infinito, [14] que se denota.
Si son dos puntos en el límite, entonces su producto de Gromov se define como:
que es finito si . A continuación, se puede definir una topología en usando las funciones . [15] Esta topología enes medible y existe una distinguida familia de métricas definidas utilizando el producto Gromov. [dieciséis]
Definición de espacios propios mediante rayos.
Dejar ser dos incrustaciones cuasi-isométricas de dentro ("rayos cuasi-geodésicos"). Se consideran equivalentes si y solo si la función está limitado a . Si el espacio es apropiado, entonces el conjunto de todas esas incrustaciones módulo equivalencia con su topología natural es homeomorfo para como se define arriba. [17]
Una realización similar es fijar un punto base y considerar solo los rayos cuasi geodésicos que se originan en este punto. En caso es geodésico y adecuado también se puede restringir a los rayos geodésicos genuinos.
Ejemplos de
Cuándo es un árbol regular simple, el límite es solo el espacio de extremos, que es un conjunto de Cantor. Fijar un punto produce una distancia natural en : dos puntos representados por rayos originado en están a distancia .
Cuándo es el disco unitario, es decir, el modelo de disco de Poincaré para el plano hiperbólico, la métrica hiperbólica en el disco es
y el límite de Gromov se puede identificar con el círculo unitario.
El límite de -el espacio hiperbólico dimensional es homeomórfico al -esfera dimensional y las métricas son similares a la anterior.
Funciones de Busemann
Si es apropiado entonces su límite es homeomorfo al espacio de las funciones de Busemann entraducciones modulo. [18]
La acción de las isometrías sobre la frontera y su clasificación.
Una cuasi-isometría entre dos espacios hiperbólicos induce un homeomorfismo entre los límites.
En particular, el grupo de isometrías de actúa por homeomorfismos sobre . Esta acción se puede utilizar [19] para clasificar isometrías según su comportamiento dinámico en el límite, generalizando eso para árboles y espacios hiperbólicos clásicos. Dejar ser una isometría de , entonces ocurre uno de los siguientes casos:
- Primer caso: tiene una órbita limitada en (en caso es apropiado esto implica que tiene un punto fijo en ). Entonces se llama isometría elíptica .
- Segundo caso: tiene exactamente dos puntos fijos en y cada órbita positiva se acumula solo en . Luegose llama isometría hiperbólica .
- Tercer caso: tiene exactamente un punto fijo en el límite y todas las órbitas se acumulan en este punto. Entonces se llama isometría parabólica .
Más ejemplos
Se pueden utilizar subconjuntos de la teoría de grupos hiperbólicos para dar más ejemplos de espacios hiperbólicos, por ejemplo, el gráfico de Cayley de un pequeño grupo de cancelación . También se sabe que los gráficos de Cayley de ciertos modelos de grupos aleatorios (que de hecho es un gráfico regular infinito generado aleatoriamente) tienden a ser hiperbólicos muy a menudo.
Puede resultar difícil e interesante demostrar que determinados espacios son hiperbólicos. Por ejemplo, los siguientes resultados de hiperbolicidad han llevado al descubrimiento de nuevos fenómenos para los grupos que actúan sobre ellos.
- La hiperbolicidad del complejo de curvas [20] ha dado lugar a nuevos resultados en el grupo de clases de mapeo. [21]
- De manera similar, la hiperbolicidad de ciertos gráficos [22] asociados al grupo de automorfismo externo Out (Fn) ha dado lugar a nuevos resultados en este grupo.
Ver también
- Grupo curvado negativamente
- Triángulo ideal
Notas
- ^ Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990 , págs. 2-3
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 2, Proposition 21.
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , Capítulo III.H, Proposición 1.22.
- ^ Coorneart, Delzant y Papadopoulos , págs. 6–8.
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , Capítulo III.H, Proposición 1.17.
- ^ Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990 , págs. 11-12
- ^ Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990 , p. 1-2 s
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 5, Proposition 15.
- ^ Bowditch 2006 , capítulo 6.4.
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , Capítulo III.H, Proposición 1.25.
- ^ una declaración más general se da en Bridson y Haefliger (1999 , Capítulo III.H, Proposición 2.7)
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , Capítulo III.H, Teorema 2.9.
- ↑ Dyubina (Erschler), Anna; Polterovich, Iosif (2001). "Construcciones explícitas de árboles R universales y geometría asintótica de espacios hiperbólicos". Toro. London Math. Soc . 33 . págs. 727–734. Señor 1853785 .
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 7, página 120.
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 7, sección 2.
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 7, sección 3.
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 7, Proposition 4.
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , p. 428.
- ↑ de la Harpe & Ghys 1990 , Chapitre 8.
- ^ Masur, Howard A .; Minsky, Yair N. (1999). "Geometría del complejo de curvas. I. Hiperbolicidad". Inventar. Matemáticas. 138 . págs. 103-149. doi : 10.1007 / s002220050343 . Señor 1714338 .
- ^ Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis (2017). "Subgrupos hiperbólicamente embebidos y familias rotativas en grupos que actúan sobre espacios hiperbólicos". Memorias de la American Mathematical Society . 245 (1156). arXiv : 1111.7048 . doi : 10.1090 / memo / 1156 .
- ^ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (2014). "Hiperbolicidad del complejo de factores libres" . Avances en Matemáticas . 256 : 104-155. doi : 10.1016 / j.aim.2014.02.001 . Señor 3177291 .
Referencias
- Bowditch, Brian (2006), Un curso sobre teoría de grupos geométricos (PDF) , Mat. soc. Japón
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Springer
- Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 1441 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
- de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (en francés), Birkhäuser
- Gromov, Mikhael (1987), "Hyperbolic groups", en Gersten, SM (ed.), Ensayos en teoría de grupos , Springer, págs. 75-264
- Roe, John (2003), Lectures on Coarse Geometry , University Lecture Series, 31 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3332-2
- Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolic spaces" (PDF) , Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187-231, doi : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010 , MR 2164775.