Colector
En matemáticas , una variedad es un espacio topológico que localmente se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, un n colector -dimensional, o n -manifold para abreviar, es un espacio topológico con la propiedad de que cada punto tiene una zona que es homeomorfo a un subconjunto abierto de n espacio euclidiano -dimensional.
Las variedades unidimensionales incluyen líneas y círculos , pero no figuras en ocho . Las variedades bidimensionales también se denominan superficies . Los ejemplos incluyen el plano , la esfera y el toro , y también la botella de Klein y el plano proyectivo real .
El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna porque permite describir estructuras complicadas en términos de propiedades topológicas bien entendidas de espacios más simples. Los colectores surgen naturalmente como conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones y como gráficos de funciones. El concepto tiene aplicaciones en gráficos por computadora y realidad aumentada dada la necesidad de asociar imágenes con coordenadas (por ejemplo, tomografías computarizadas ).
Los colectores pueden equiparse con estructura adicional. Una clase importante de variedades son las variedades diferenciables ; su estructura diferenciable permite realizar cálculos . Una métrica de Riemann en una variedad permite medir distancias y ángulos . Las variedades simplécticas sirven como espacios de fase en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica , mientras que las variedades de Lorentz en cuatro dimensiones modelan el espacio-tiempo en la relatividad general .
Después de una línea, el círculo es el ejemplo más simple de una variedad topológica. La topología ignora la flexión, por lo que una pequeña parte de un círculo se trata de la misma manera que una pequeña parte de una línea. Considerando, por ejemplo, la parte superior del círculo unitario , x 2 + y 2 = 1, donde la coordenada y es positiva (indicada por el arco amarillo en la Figura 1 ). Cualquier punto de este arco se puede describir de forma única por su coordenada x . Por lo tanto, la proyección sobre la primera coordenada es un continuo , y invertible , mapeo desde el arco superior al intervalo abierto (−1, 1):
Estas funciones, junto con las regiones abiertas que mapean, se denominan gráficos . De manera similar, hay gráficos para las partes inferior (rojo), izquierda (azul) y derecha (verde) del círculo:
