Revestimiento tetrahexagonal truncado

Revestimiento tetrahexagonal truncado
Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico
Escribe	Azulejos uniformes hiperbólicos
Configuración de vértice	4.8.12
Símbolo de Schläfli	tr {6,4} o ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$
Símbolo de Wythoff	2 6 4 |
Diagrama de Coxeter	o
Grupo de simetría	[6,4], (* 642)
Doble	Baldosas de orden-4-6 kisrhombille
Propiedades	Vértice-transitivo

En geometría , el mosaico tetrahexagonal truncado es un mosaico semirregular del plano hiperbólico. Hay un cuadrado , un octágono y un dodecágono en cada vértice . Tiene el símbolo de Schläfli de tr {6,4}.

Mosaico doble

El mosaico dual se denomina mosaico kisrhombille de orden 4-6 , hecho como una bisección completa del mosaico hexagonal de orden 4 , aquí con triángulos que se muestran en colores alternos. Este mosaico representa los dominios triangulares fundamentales de la simetría [6,4] (* 642).

Poliedros y teselados relacionados

* n 42 mutación de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.8.2n v t mi
Simetría * n 42 [n, 4]	Esférico		Euclidiana	Hiperbólico compacto				Paracomp.
	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncated figure	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncated duals	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

* nn 2 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.2 n .2 n v t mi
Symmetry *nn2 [n,n]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Figure
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dual
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

De una construcción de Wythoff hay catorce mosaicos uniformes hiperbólicos que pueden basarse en el mosaico hexagonal de orden 4 regular.

Dibujando los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 7 formas con simetría [6,4] completa y 7 con subsimetría.

Azulejos tetrahexagonales uniformes v t mi
Symmetry: [6,4], (*642) (with [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,3,∞,3)] (*3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=
{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Uniform duals
V64	V4.12.12	V(4.6)2	V6.8.8	V46	V4.4.4.6	V4.8.12
Alternations
[1+,6,4] (*443)	[6+,4] (6*2)	[6,1+,4] (*3222)	[6,4+] (4*3)	[6,4,1+] (*662)	[(6,4,2+)] (2*32)	[6,4]+ (642)
=	=	=	=	=	=
h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

Simetría

Revestimiento tetrahexagonal truncado con líneas de espejo en verde, rojo y azul:

Diagramas de simetría para subgrupos de índice pequeño de [6,4], mostrados en una celda de traslación hexagonal dentro de un mosaico {6,6} , con un dominio fundamental en amarillo.

El dual del mosaico representa los dominios fundamentales de la simetría orbifold (* 642) . A partir de la simetría [6,4], hay 15 subgrupos de índice pequeño por operadores de alternancia y eliminación de espejos . Los espejos se pueden eliminar si todos los pedidos de las sucursales son uniformes y se reducen a la mitad los pedidos de las sucursales vecinas. Quitar dos espejos deja un punto de giro de medio orden donde se unen los espejos quitados. En estas imágenes, los espejos únicos son de color rojo, verde y azul, y los triángulos de colores alternativos muestran la ubicación de los puntos de giro. El subgrupo [6 ⁺ , 4 ⁺ ], (32 ×) tiene líneas estrechas que representan reflejos de planeo. El subgrupo índice -8 grupo, [1 ⁺ , 6,1 ⁺ , 4,1 ⁺] (3232) es el subgrupo de conmutadores de [6,4].

Subgrupo más grande construido como [6,4 *], eliminando los puntos de giro de [6,4 ⁺ ], (3 * 22), el índice 6 se convierte en ( * 3333 ), y [6 *, 4], eliminando los puntos de giro de [6 ⁺ , 4], (2 * 33), índice 12 como ( * 222222 ). Finalmente, sus subgrupos directos [6,4 *] ⁺ , [6 *, 4] ⁺ , índices de subgrupos 12 y 24 respectivamente, se pueden dar en notación orbifold como (3333) y (222222).

Subgrupos de índice pequeño de [6,4]
Índice	1	2			4
Diagrama
Coxeter	[6,4] =	[1 + , 6,4] =	[6,4,1 + ] =	[6,1 + , 4] =	[1 + , 6,4,1 + ] =	[6 + , 4 + ]
Orbifold	* 642	* 443	* 662	* 3222	* 3232	32 ×
Subgrupos semidirectos
Diagrama
Coxeter		[6,4 + ]	[6 + , 4]	[(6,4,2 + )]	[6,1 + , 4,1 + ] = = = =	[1 + , 6,1 + , 4] = = = =
Orbifold		4 * 3	6 * 2	2 * 32	2 * 33	3 * 22
Subgrupos directos
Índice	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[6,4] + =	[6,4 + ] + =	[6 + , 4] + =	[(6,4,2 + )] + =	[6 + , 4 + ] + = [1 + , 6,1 + , 4,1 + ] = = =
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Subgrupos radicales
Índice		8	12	dieciséis	24
Diagrama
Coxeter		[6,4 *] =	[6 *, 4]	[6,4 *] + =	[6 *, 4] +
Orbifold		* 3333	* 222222	3333	222222

Ver también

• Mosaicos de polígonos regulares
• Lista de teselaciones planas uniformes

Referencias

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
• "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
• Galería de mosaico hiperbólico y esférico
• KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
• Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch