En matemáticas , la secuencia espectral de Adams es una secuencia espectral introducida por J. Frank Adams ( 1958 ) que calcula los grupos de homotopía estables de los espacios topológicos . Como todas las secuencias espectrales, es una herramienta computacional; relaciona la teoría de la homología con lo que ahora se llama teoría de la homotopía estable . Es una reformulación que utiliza álgebra homológica , y una extensión, de una técnica llamada "matar grupos de homotopía" aplicada por la escuela francesa de Henri Cartan y Jean-Pierre Serre .
Motivación
Para todo lo que se muestra a continuación, de una vez por todas, fijamos un primer p . Se supone que todos los espacios son complejos CW . Los grupos de cohomología ordinaria se entienden que significan .
El objetivo principal de la topología algebraica es tratar de entender la colección de todos los mapas, hasta homotopy, entre los espacios arbitrarios X e Y . Esto es extraordinariamente ambicioso: en particular, cuando X es, Estos mapas forman el n º grupo homotopy de Y . Un objetivo más razonable (¡pero aún muy difícil!) Es comprender el conjuntode mapas (hasta homotopía) que quedan después de aplicar el functor de suspensión un gran número de veces. A esto le llamamos la colección de mapas estables desde X a Y . (Este es el punto de partida de la teoría de la homotopía estable ; los tratamientos más modernos de este tema comienzan con el concepto de espectro . El trabajo original de Adams no usó espectros, y evitamos mencionarlos en esta sección para mantener el contenido aquí como elemental como sea posible.)
El conjunto resulta ser un grupo abeliano, y si X e Y son espacios razonables, este grupo se genera de forma finita. Para averiguar qué es este grupo, primero aislamos un primo p . En un intento de calcular la p- torsión de, miramos la cohomología: enviar a Hom ( H * ( Y ), H * ( X )). Esta es una buena idea porque los grupos de cohomología suelen ser manejables para calcular.
La idea clave es que es más que un grupo abeliano graduado , y más aún que un anillo graduado (a través del producto de taza ). La representabilidad del functor de cohomología convierte a H * ( X ) en un módulo sobre el álgebra de sus operaciones de cohomología estables , el álgebra A de Steenrod . Pensar en H * ( X ) como un módulo A olvida la estructura del producto de copa, pero la ganancia es enorme: ¡Hom ( H * ( Y ), H * ( X )) ahora puede tomarse como A- lineal! A priori, el módulo A no ve más de [ X , Y ] que cuando lo consideramos un mapa de espacios vectoriales sobre F p . Pero ahora podemos considerar los functores derivados de Hom en la categoría de módulos A , Ext A r ( H * ( Y ), H * ( X )). Estos adquieren una segunda calificación de la calificación en H * ( Y ), y así obtenemos una "página" bidimensional de datos algebraicos. Los grupos Ext están diseñados para medir el fracaso de la preservación de la estructura algebraica de Hom, por lo que este es un paso razonable.
El punto de todo esto es que A es tan grande que la hoja anterior de datos cohomológicos contiene toda la información que necesitamos para recuperar la parte p -primaria de [ X , Y ], que son los datos de homotopía. Este es un logro importante porque la cohomología fue diseñada para ser computable, mientras que la homotopía fue diseñada para ser poderosa. Este es el contenido de la secuencia espectral de Adams.
Formulación clásica
Formulación para calcular grupos de espectros de homotopía
La secuencia espectral clásica de Adams se puede establecer para cualquier espectro conectivo de tipo finito , es decir por y es un grupo abeliano de generación finita en cada grado. Entonces, hay una secuencia espectral[1] : 41 tal que
- por el mod Álgebra de Steenrod
- Para de tipo finito, es un grupo de gran comercio asociado con una filtración de ( los enteros p-ádicos )
Tenga en cuenta que esto implica para , esto calcula la p-torsión de los grupos de homotopía del espectro de esferas , es decir, los grupos de homotopía estables de las esferas. Además, porque para cualquier complejo CW podemos considerar el espectro de suspensión , esto también da la declaración de la formulación anterior.
Esta declaración se generaliza un poco más al reemplazar el -módulo con los grupos de cohomología para algún espectro conectivo (o espacio topológico ). Esto se debe a que la construcción de la secuencia espectral utiliza una resolución "libre" de como un -módulo, por lo tanto, podemos calcular los grupos Ext con como la segunda entrada. Por tanto, obtenemos una secuencia espectral con-página dada por
que tiene la propiedad de convergencia de ser isomorfo a las piezas graduadas de una filtración del torsión del grupo de homotopía estable de clases de homotopía de mapas entre y , es decir
Secuencia espectral para los grupos de esferas de homotopía estable
Por ejemplo, si dejamos que ambos espectros sean el espectro de la esfera, entonces , entonces la secuencia espectral de Adams tiene la propiedad de convergencia
dando una herramienta técnica para abordar un cálculo de los grupos de esferas de homotopía estable. Resulta que muchos de los primeros términos se pueden calcular explícitamente a partir de información puramente algebraica [2] págs . 23-25 . También tenga en cuenta que podemos reescribir, entonces el -la página es
Incluimos esta información de cálculo a continuación para .
Términos externos de la resolución
Dada la resolución de Adams
tenemos el términos como
para los grupos hom calificados. Entonces el-página se puede escribir como
entonces el grado de Se puede pensar en cuán "profundo" en la resolución de Adams vamos antes de que podamos encontrar los generadores.
Cálculos
La secuencia en sí no es un dispositivo algorítmico, pero se presta a la resolución de problemas en casos particulares.
Ejemplos con espectros de Eilenberg-Maclane
Algunos de los cálculos más simples se realizan con espectros de Eilenberg-Maclane , como y . [1] : 48 Para el primer caso, tenemos el página
dando una secuencia espectral colapsada, por lo tanto . Esto se puede reescribir como
dando el -página. Para el otro caso, tenga en cuenta que hay una secuencia de cofibra
que termina dando una escisión en cohomología, por lo que como -módulos. Entonces el-página de se puede leer como
Curiosamente, con este cálculo, la única forma de que la secuencia espectral converja a la esperada -página que tiene
es si hay no triviales
para cada .
Otras aplicaciones
El uso original de Adams para su secuencia espectral fue la primera prueba del problema del invariante 1 de Hopf :admite una estructura de división álgebra sólo para n = 1, 2, 4 u 8. Posteriormente conocer una prueba mucho más corto usando operaciones de cohomología en K-teoría .
El teorema del isomorfismo de Thom relaciona la topología diferencial con la teoría de la homotopía estable, y aquí es donde la secuencia espectral de Adams encontró su primer uso importante: en 1960, John Milnor y Sergei Novikov usaron la secuencia espectral de Adams para calcular el anillo de coeficientes de cobordismo complejo . Además, Milnor y CTC Wall utilizaron la secuencia espectral para probar la conjetura de Thom sobre la estructura del anillo de cobordismo orientado : dos variedades orientadas son cobordantes si y solo si sus números de Pontryagin y Stiefel-Whitney concuerdan.
Grupos de esferas homotópicas estables
Usando la secuencia espectral anterior para podemos calcular varios términos explícitamente, dando algunos de los primeros grupos de esferas de homotopía estable. [2] Para esto equivale a mirar el -página con
Esto se puede hacer mirando primero la resolución de Adams de . Desde está en grado , tenemos una sobreyeccion
dónde tiene un generador en grado denotado . El kernel consta de todos los elementos para monomios admisibles generando , por lo tanto tenemos un mapa
y denotamos cada uno de los generadores mapeando a en la suma directa como , y el resto de generadores como para algunos . Por ejemplo,
Observe que los dos últimos elementos de mapear al mismo elemento, que se sigue de las relaciones Adem. Además, hay elementos en el kernel, como desde
debido a la relación Adem. Llamamos al generador de este elemento en, . Podemos aplicar el mismo proceso y obtener un kernel., resolverlo, etc. Cuando lo hacemos, obtenemos un-página que se parece a
que se puede ampliar por computadora hasta el grado con relativa facilidad. Usando los generadores y relaciones encontrados, podemos calcular el-página con relativa facilidad. A veces, a los teóricos de la homotopía les gusta reorganizar estos elementos haciendo que el índice horizontal denote y el índice vertical denota dando un tipo diferente de diagrama para el -página [2] pág . 21 . Consulte el diagrama anterior para obtener más información.
Generalizaciones
La secuencia espectral Adams-Novikov es una generalización de la secuencia espectral Adams introducida por Novikov (1967) donde la cohomología ordinaria es reemplazada por una teoría de cohomología generalizada , a menudo bordismo complejo o cohomología de Brown-Peterson . Esto requiere conocimiento del álgebra de operaciones de cohomología estable para la teoría de cohomología en cuestión, pero permite cálculos que son completamente intratables con la secuencia espectral clásica de Adams.
Ver también
- Sistema Postnikov
- Álgebra de Steenrod
- Espectro (topología)
- Resolución de Adams
Referencias
- Adams, J. Frank (1958), "Sobre la estructura y aplicaciones del álgebra de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici , 32 (1): 180-214, doi : 10.1007 / BF02564578 , ISSN 0010-2571 , MR 0096219 , S2CID 15677036
- Adams, J. Frank (2013) [1964], Teoría de la homotopía estable , Lecture Notes in Mathematics, 3 , Springer-Verlag, ISBN 9783662159422, MR 0185597
- Botvinnik, Boris (1992), Manifolds with Singularities and the Adams-Novikov Spectral Sequence , London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42608-1
- McCleary, John (febrero de 2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 58 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521567599 , ISBN 978-0-521-56759-6, Señor 1793722
- Novikov, Sergei (1967), "Métodos de topología algebraica desde el punto de vista de la teoría del cobordismo", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 31 : 855–951
- Ravenel, Douglas C. (1978), "Una guía para principiantes de la secuencia espectral Adams-Novikov", en Barratt, MG; Mahowald, Mark E. (eds.), Aplicaciones geométricas de la teoría de homotopía (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II , Lecture Notes in Mathematics, 658 , Springer-Verlag , págs. 404–475, doi : 10.1007 / BFb0068728 , ISBN 978-3-540-08859-2, MR 0513586
- Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable (2a ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, MR 0860042.
Descripción general de los cálculos
- Tallos más estables : calcula todas las secuencias espectrales de Adams para los grupos de esferas de homotopía estable hasta el grado 90
Términos de orden superior
- Cálculo del término E_3 de la secuencia espectral de Adams
- Functores derivados de orden superior y la secuencia espectral de Adams
- Álgebras de 2 pistas y la secuencia espectral de Adams
enlaces externos
- Bruner, Robert R. (2 de junio de 2009), An Adams Spectral Sequence Primer (PDF)
- Hatcher, Allen , "La secuencia espectral de Adams" (PDF) , Secuencias espectrales
Notas
- ^ a b Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable . Orlando: Prensa académica. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772 .
- ^ a b c Hatcher, Allen. "Secuencias espectrales en topología algebraica" (PDF) .