En matemáticas, una característica distintiva de la geometría algebraica es que algunos conjuntos de líneas en una variedad proyectiva pueden considerarse "positivos", mientras que otros son "negativos" (o una mezcla de los dos). La noción más importante de positividad es la de un conjunto de líneas amplio , aunque existen varias clases relacionadas de paquetes de líneas. En términos generales, las propiedades de positividad de un paquete de líneas están relacionadas con tener muchas secciones globales . Comprender los conjuntos de líneas amplios en una variedad X determinada equivale a comprender las diferentes formas de mapear X en el espacio proyectivo . En vista de la correspondencia entre paquetes de líneas ydivisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de un divisor amplio .
Más detalladamente, un paquete de líneas se denomina libre de puntos base si tiene suficientes secciones para dar un morfismo al espacio proyectivo. Un paquete de líneas es semi-amplio si alguna de sus potencias positivas no tiene puntos de base; la semi-amplitud es una especie de "no negatividad". Más fuertemente, un paquete de líneas en X es muy amplio si tiene suficientes secciones para dar una inmersión cerrada (o "incrustación") de X en el espacio proyectivo. Un paquete de líneas es amplio si alguna potencia positiva es muy amplia.
Una amplia línea paquete en una variedad proyectiva X tiene grado positivo en cada curva en X . Lo contrario no es del todo cierto, pero hay versiones corregidas de lo contrario, los criterios de amplitud de Nakai-Moishezon y Kleiman.
Introducción
Retirada de un paquete de líneas y divisores de hiperplano
Dado un morfismo de esquemas , un paquete de vectores E en Y (o más generalmente un haz coherente en Y ) tiene un retroceso a X ,(ver Gavilla de módulos # Operaciones ). El retroceso de un paquete de vectores es un paquete de vectores del mismo rango. En particular, el retroceso de un paquete de líneas es un paquete de líneas. (Brevemente, la fibra deen un punto x en X es la fibra de E en f ( x ).)
Las nociones descritas en este artículo están relacionadas con esta construcción en el caso de un morfismo al espacio proyectivo.
con E = O (1) el paquete de líneas en el espacio proyectivo cuyas secciones globales son los polinomios homogéneos de grado 1 (es decir, funciones lineales) en variables. El paquete de líneas O (1) también se puede describir como el paquete de líneas asociado a un hiperplano en(porque el conjunto cero de una sección de O (1) es un hiperplano). Si f es una inmersión cerrada, por ejemplo, se deduce que el retrocesoes el paquete de líneas en X asociado a una sección de hiperplano (la intersección de X con un hiperplano en).
Paquetes de líneas sin puntos base
Deje que X sea un esquema de más de un campo k (por ejemplo, una variedad algebraica) con una línea de haz L . (Un paquete de líneas también se puede llamar haz invertible ).ser elementos del k - espacio vectorial de secciones globales de L . El conjunto cero de cada sección es un subconjunto cerrado de X ; Sea U el subconjunto abierto de puntos en los que al menos uno deno es cero. Entonces estas secciones definen un morfismo
Más detalladamente: para cada punto x de U , la fibra de L sobre x es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de residuos k ( x ). Elegir una base para esta fibra haceen una secuencia de n +1 números, no todos cero, y por lo tanto un punto en el espacio proyectivo. Al cambiar la elección de la base, todos los números se escalan con la misma constante distinta de cero, por lo que el punto en el espacio proyectivo es independiente de la elección.
Además, este morfismo tiene la propiedad de que la restricción de L a U es isomorfa al retroceso. [1]
El locus de base de una línea de haz de L en un esquema X es la intersección de los conjuntos de cero de todas las secciones globales de L . Un paquete de líneas L se denomina libre de puntos base si su lugar geométrico base está vacío. Es decir, para cada punto x de X hay una sección global de L que es distinta de cero en x . Si X es propio sobre un campo k , entonces el espacio vectorialde las secciones globales tiene una dimensión finita; la dimensión se llama. [2] Entonces, un paquete de líneas L libre de puntos base determina un morfismosobre k , donde, dado al elegir una base para . Sin hacer una elección, esto puede describirse como el morfismo
desde X al espacio de hiperplanos en, Canónicamente asociado a la libre-punto base línea de haz L . Este morfismo tiene la propiedad de que L es el retroceso.
Por el contrario, para cualquier morfismo f de un esquema X al espacio proyectivosobre k , el paquete de la línea de retrocesoes libre de puntos base. De hecho, O (1) no tiene punto de base en, porque por cada punto y enhay un hiperplano que no contiene y . Por lo tanto, para cada punto x en X , hay una sección s de O (1) sobreque no es cero en f ( x ), y el retroceso de s es una sección global deque no es cero en x . En resumen, los paquetes de líneas sin puntos de base son exactamente aquellos que pueden expresarse como el retroceso de O (1) mediante algún morfismo al espacio proyectivo.
Nef, generado globalmente, semi-amplio
El grado de una línea de haz de L en una curva adecuada C sobre k se define como el grado del divisor ( s ) de cualquier sección diferente de cero racional s de L . Los coeficientes de este divisor son positivos en los puntos donde s desaparece y negativos donde s tiene un polo. Por lo tanto, cualquier paquete de líneas L en una curva C tal quetiene un grado no negativo (porque las secciones de L sobre C , a diferencia de las secciones racionales, no tienen polos). [3] En particular, cada conjunto de líneas sin puntos base en una curva tiene un grado no negativo. Como resultado, una libre de punto de base línea de haz L en cualquier esquema adecuado X sobre un campo es nef , lo que significa que L tiene un grado no negativa en cada curva (irreducible) en X . [4]
De manera más general, una gavilla F de-los módulos en un esquema X se dice que se generan globalmente si hay un conjunto I de secciones globales tal que el morfismo correspondiente
de gavillas es sobreyectiva. [5] Un paquete de líneas se genera globalmente si y solo si está libre de puntos base.
Por ejemplo, cada gavilla casi coherente en un esquema afín se genera globalmente. [6] De manera análoga, en geometría compleja , el teorema A de Cartan dice que cada haz coherente en una variedad Stein se genera globalmente.
Un paquete de líneas L en un esquema adecuado sobre un campo es semi-amplio si hay un entero positivo r tal que la potencia del tensor es libre de puntos base. Un paquete de líneas semi-amplio es nef (por el hecho correspondiente para paquetes de líneas sin puntos de base). [7]
Paquetes de línea muy amplios
Se dice que un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo k es muy amplio si no tiene puntos de base y el morfismo asociado
es una inmersión cerrada. Aquí. De manera equivalente, L es muy amplia si X puede ser embebido en el espacio proyectivo de alguna dimensión más de k de tal manera que L es la restricción de la línea de haz de O (1) a X . [8] La última definición se utiliza para definir la amplitud de un paquete de líneas en un esquema adecuado sobre cualquier anillo conmutativo . [9]
El nombre "muy amplio" fue introducido por Alexander Grothendieck en 1961. [10] Anteriormente se habían utilizado varios nombres en el contexto de sistemas lineales de divisores .
Para un haz de líneas muy amplio L en un esquema adecuado X sobre un campo con morfismo asociado f , el grado de L en una curva C en X es el grado de f ( C ) como una curva en. Entonces L tiene un grado positivo en cada curva de X (porque cada subvariedad de espacio proyectivo tiene un grado positivo). [11]
Definiciones
Se dice que un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un anillo conmutativo R es amplio si hay un entero positivo r tal que la potencia del tensores muy amplio. [12] En particular, un esquema adecuado de R tiene una amplia línea paquete si y sólo si es proyectiva sobre R . Un paquete de líneas amplio en un esquema adecuado X sobre un campo tiene un grado positivo en cada curva de X , según el enunciado correspondiente para paquetes de líneas muy amplios.
Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema adecuado X sobre un campo k es amplio si el paquete de líneas correspondiente O ( D ) es amplio. (Por ejemplo, si X es uniforme sobre k , entonces un divisor de Cartier puede identificarse con una combinación lineal finita de subvariedades de codimensión 1 cerrada de X con coeficientes enteros).
En un esquema arbitrario X , Grothendieck definió que un paquete de líneas L es amplio si X es cuasi-compacto y para cada punto x en X hay un entero positivo r y una seccióntal que s es distinto de cero en xy el subesquema abiertoes afín. [13] Por ejemplo, el paquete de línea triviales amplio si y solo si X es cuasi afín . [14] El resto de este artículo se concentrará en la amplitud de los esquemas adecuados en un campo.
Debilitar la noción de "muy amplio" a "amplio" da un concepto flexible con una amplia variedad de caracterizaciones diferentes. Un primer punto es que tensar las altas potencias de un haz de líneas amplio con cualquier haz coherente da un haz con muchas secciones globales. Más precisamente, un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano ) es amplio si y solo si para cada gavilla coherente F en X , hay un entero s tal que la gavilla se genera globalmente para todos . Aquí s puede depender de F . [15] [16]
Otra caracterización de la amplitud, conocida como el teorema de Cartan - Serre - Grothendieck , es en términos de cohomología de gavilla coherente . Es decir, un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , hay un número entero s tal que
para todos y todo . [17] [16] En particular, las altas potencias de un haz de líneas amplio matan la cohomología en grados positivos. Esta implicación se denomina teorema de desaparición de Serre , demostrado por Jean-Pierre Serre en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents .
Ejemplos / No ejemplos
- El paquete de la línea trivial en una variedad proyectiva X de dimensión positiva no tiene puntos de base pero no es suficiente. De manera más general, para cualquier morfismo f de una variedad proyectiva X a algún espacio proyectivo sobre un campo, el paquete de línea de retroceso siempre está libre de puntos de base, mientras que L es amplio si y solo si el morfismo f es finito (es decir, todas las fibras de f tienen dimensión 0 o están vacías). [18]
- Para un entero d , el espacio de las secciones del haz de líneas O ( d ) sobrees el espacio vectorial complejo de polinomios homogéneos de grado d en las variables x , y . En particular, este espacio es cero para d <0. Para, el morfismo al espacio proyectivo dado por O ( d ) es
- por
- Esta es una inmersión cerrada para , con imagen una curva normal racional de grado d en . Por lo tanto, O ( d ) está libre de punto base si y solo si , y muy amplio si y solo si . De ello se deduce que O ( d ) es amplio si y solo si .
- Para un ejemplo en el "amplia" y "muy amplia" son diferentes, deja que X sea una curva proyectiva suave de género 1 (una curva elíptica ) más de C , y dejar que p sea un punto de complejo X . Deje O ( p ) ser el haz de línea asociada de grado 1 en X . Entonces, el espacio vectorial complejo de las secciones globales de O ( p ) tiene dimensión 1, dividida por una sección que desaparece en p . [19] Entonces, el lugar geométrico de la base de O ( p ) es igual ap . Por otro lado, O (2 p ) no tiene punto base y O ( dp ) es muy amplio para(dando una incrustación de X como una curva elíptica de grado d en). Por tanto, O ( p ) es amplio pero no muy amplio. Además, O (2 p ) es amplio y sin puntos base, pero no muy amplio; el morfismo asociado al espacio proyectivo es una doble cubierta ramificada.
- En las curvas de géneros superiores, hay amplios haces de líneas L para los cuales cada sección global es cero. (Pero los múltiplos altos de L tienen muchas secciones, por definición.) Por ejemplo, sea X una curva cuártica plana suave (de grado 4 en) Sobre C , y dejar que p y q sean puntos complejos distintos de X . Entonces el paquete de líneas es amplio pero tiene . [20]
Criterios de amplitud de paquetes de líneas
Teoría de la intersección
Para determinar si un conjunto de líneas dado en una variedad proyectiva X es amplio, los siguientes criterios numéricos (en términos de números de intersección) suelen ser los más útiles. Es equivalente a preguntar cuándo un divisor de Cartier D en X es amplio, lo que significa que el paquete de líneas asociado O ( D ) es amplio. El número de intersecciónpuede ser definido como el grado de la línea de haz O ( D ) restringido a C . En la otra dirección, para un paquete de líneas L en una variedad proyectiva, la primera clase Chern significa el divisor asociado Cartier (definido hasta equivalencia lineal), el divisor de cualquier sección racional no nulo de L .
En una curva proyectiva suave X sobre un campo k algebraicamente cerrado , un haz de líneas L es muy amplio si y solo sipara todos k - puntos racionales x , y en X . [21] Let g ser el género de la X . Según el teorema de Riemann-Roch , cada haz de líneas de grado al menos 2 g + 1 satisface esta condición y, por lo tanto, es muy amplio. Como resultado, un conjunto de líneas en una curva es amplio si y solo si tiene un grado positivo. [22]
Por ejemplo, el paquete canónico de una curva X tiene grado 2 g - 2, por lo que es amplio si y solo si. Las curvas con amplio haz canónico forman una clase importante; por ejemplo, sobre los números complejos, estas son las curvas con una métrica de curvatura negativa . El paquete canónico es muy amplio si y solo siy la curva no es hiperelíptica . [23]
El criterio de Nakai-Moishezon (llamado así por Yoshikazu Nakai (1963) y Boris Moishezon (1964)) establece que un paquete de líneas L en un esquema X adecuado sobre un campo es amplio si y solo sipara cada ( irreducible ) subvariedad cerrada Y de X ( Y no se le permite ser un punto). [24] En términos de divisores, un divisor D de Cartier es amplio si y solo sipara cada subvariedad (distinto de cero dimensiones) Y de X . Para X una curva, esto dice que un divisor es amplio si y solo si tiene un grado positivo. Para X una superficie, el criterio dice que un divisor D es amplio si y solo si su número de auto-intersección es positivo y cada curva C en X tiene.
Criterio de Kleiman
Para enunciar el criterio de Kleiman (1966), sea X un esquema proyectivo sobre un campo. Dejarser el espacio vectorial real de 1-ciclos (combinaciones lineales reales de curvas en X ) módulo de equivalencia numérica, lo que significa que dos 1-ciclos A y B son iguales ensi y sólo si cada línea paquete tiene el mismo grado en A y en B . Según el teorema de Néron-Severi , el espacio vectorial realtiene dimensión finita. El criterio de Kleiman establece que un haz de líneas L en X es amplio si y solo si L tiene un grado positivo en cada elemento C distinto de cero del cierre del cono de curvas NE ( X ) en. (Esto es un poco más fuerte que decir que L tiene un grado positivo en cada curva). De manera equivalente, un paquete de líneas es amplio si y solo si su clase en el espacio vectorial dual está en el interior del cono nef . [25]
El criterio de Kleiman falla en general para esquemas X apropiados (en lugar de proyectivos) sobre un campo, aunque se mantiene si X es uniforme o, más generalmente, Q- factorial. [26]
Un conjunto de líneas en una variedad proyectiva se llama estrictamente nef si tiene un grado positivo en cada curva. Nagata (1959) y David Mumford construyeron haces de líneas sobre superficies proyectivas lisas que son estrictamente nuevas pero no amplias. Esto muestra que la condiciónno se puede omitir en el criterio de Nakai-Moishezon, y es necesario utilizar el cierre de NE ( X ) en lugar de NE ( X ) en el criterio de Kleiman. [27] Cada paquete de líneas nef en una superficie tiene, y los ejemplos de Nagata y Mumford han .
CS Seshadri demostró que un paquete de líneas L en un esquema adecuado sobre un campo algebraicamente cerrado es amplio si y solo si hay un número real positivo ε tal que grados ( L | C ) ≥ ε m ( C ) para todas las curvas (irreductibles) C en X , donde m ( C ) es el máximo de las multiplicidades en los puntos de C . [28]
Varias caracterizaciones de amplitud son válidas de manera más general para haces de líneas en un espacio algebraico adecuado sobre un campo k . En particular, el criterio de Nakai-Moishezon es válido en esa generalidad. [29] El criterio Cartan-Serre-Grothendieck se mantiene incluso más en general, para un espacio algebraica adecuada sobre un anillo noetheriano R . [30] (Si un espacio algebraico apropiado sobre R tiene un conjunto de líneas amplio, entonces es de hecho un esquema proyectivo sobre R. ) El criterio de Kleiman falla para espacios algebraicos apropiados X sobre un campo, incluso si X es uniforme. [31]
Apertura de amplitud
En un esquema proyectivo X sobre un campo, el criterio de Kleiman implica que la amplitud es una condición abierta en la clase de un divisor R (una combinación lineal R de divisores de Cartier) en, con su topología basada en la topología de los números reales. (Un divisor R se define como amplio si se puede escribir como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios. [32] ) Un caso especial elemental es: para un divisor amplio H y cualquier divisor E , hay un divisor real positivo número b tal quees suficiente para todos los números reales a de valor absoluto menor que b . En términos de divisores con coeficientes enteros (o haces de líneas), esto significa que nH + E es suficiente para todos los enteros positivos n suficientemente grandes .
La amplitud es también una condición abierta en un sentido muy diferente, cuando la variedad o el conjunto de líneas varía en una familia algebraica. Es decir, dejasea un morfismo adecuada de los esquemas, y dejar que L sea un paquete de línea en X . Entonces el conjunto de puntos y en Y tal que L es amplio en la fibra está abierto (en la topología de Zariski ). Más fuertemente, si L es amplio en una fibra, entonces hay un vecindario abierto afín U de y tal que L es amplio enmás de U . [33]
Otras caracterizaciones de amplitud de Kleiman
Kleiman también demostró las siguientes caracterizaciones de amplitud, que pueden verse como pasos intermedios entre la definición de amplitud y los criterios numéricos. Es decir, para un paquete de líneas L en un esquema adecuado X sobre un campo, los siguientes son equivalentes: [34]
- L es amplio.
- Por cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, hay un entero positivo r y una secciónque no es idénticamente cero, pero se desvanece en un cierto punto de Y .
- Por cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, las características holomórficas de Euler de las potencias de L en Y van al infinito:
- como .
Generalizaciones
Amplios paquetes de vectores
Robin Hartshorne definió un paquete de vectores F en un esquema proyectivo X sobre un campo para que sea amplio si el paquete de líneas en el espacio de hiperplanos en F es amplio. [35]
Varias propiedades de los paquetes de líneas amplios se extienden a paquetes de vectores amplios. Por ejemplo, un paquete de vectores F es amplio si y solo si las altas potencias simétricas de F matan la cohomología de gavillas coherentes para todos . [36] Además, la clase Chern de un amplio paquete de vectores tiene un grado positivo en cada subvariedad r- dimensional de X , para. [37]
Paquetes de grandes líneas
Un debilitamiento útil de la amplitud, especialmente en la geometría biracional , es la noción de un gran paquete de líneas . Se dice que un paquete de líneas L en una variedad proyectiva X de dimensión n sobre un campo es grande si hay un número real positivo ay un número entero positivo tal que para todos . Esta es la tasa de crecimiento máxima posible para los espacios de secciones de potencias de L , en el sentido de que para cada paquete de líneas L sobre X hay un número positivo b conpara todo j > 0. [38]
Hay varias otras caracterizaciones de paquetes de grandes líneas. Primero, un paquete de líneas es grande si y solo si hay un entero positivo r tal que el mapa racional de X a dado por las secciones de es biracional en su imagen. [39] Además, un paquete de líneas L es grande si y solo si tiene una potencia tensorial positiva que es el producto tensorial de un paquete de líneas amplio A y un paquete de líneas efectivo B (lo que significa que). [40] Por último, un paquete de líneas es grande si y solo si su clase enestá en el interior del cono de divisores efectivos. [41]
La grandeza puede verse como un análogo biracionalmente invariante de amplitud. Por ejemplo, sies un mapa racional dominante entre variedades proyectivas lisas de la misma dimensión, a continuación, la retirada de un haz de línea grande en Y es grande en X . (A primera vista, el retroceso es solo un paquete de líneas en el subconjunto abierto de X donde f es un morfismo, pero esto se extiende únicamente a un paquete de líneas en todo X ). Para paquetes de líneas amplios, solo se puede decir que el retroceso de un haz de líneas amplio por un morfismo finito es amplio. [18]
Ejemplo: sea X la explosión del plano proyectivoen un punto sobre los números complejos. Sea H el retroceso a X de una línea en, y sea E la curva excepcional de la explosión. Entonces el divisor H + E es grande pero no amplio (o incluso nef) en X , porque
Esta negatividad también implica que el locus de base de H + E (o de cualquier múltiplo positivo) contiene la curva E . De hecho, este locus base es igual a E .
Amplitud relativa
Dado un morfismo cuasi-compacto de esquemas , Una gavilla invertible L en X se dice que es amplia con relación a f o f -Amplio si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: [42] [43]
- Para cada subconjunto afín abierto , la restricción de L aes amplio (en el sentido habitual).
- f está casi separado y hay una inmersión abiertainducida por el mapa de adjunciones :
- .
- La condición 2. sin "abrir".
La condición 2 dice (aproximadamente) que X puede compactarse abiertamente a un esquema proyectivo con (no solo a un esquema adecuado).
Ver también
Geometría algebraica general
- Geometría algebraica de espacios proyectivos
- Variedad Fano : variedad cuyo paquete canónico es anti-amplio
- El gran teorema de Matsusaka
- Esquema divisorio : esquema que admite una amplia familia de paquetes de líneas.
Amplitud en geometría compleja
- Paquete de vectores holomórficos
- Teorema de incrustación de Kodaira : en una variedad compleja compacta, la amplitud y la positividad coinciden.
- Teorema de desaparición de Kodaira
- Lefschetz hiperplano teorema : un amplio divisor en una compleja variedad proyectiva X es topológicamente similar a la X .
Notas
- ^ Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
- ↑ Hartshorne (1977), Teorema III.5.2; Proyecto de pilas, etiqueta 02O6.
- ^ Hartshorne (1977), Lema IV.1.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.4.5.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01AM.
- ^ Hartshorne (1977), ejemplo II.5.16.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.26.
- ^ Hartshorne (1977), sección II.5.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 02NP.
- ^ Grothendieck, EGA II, definición 4.2.2.
- ^ Hartshorne (1977), Proposición I.7.6 y Ejemplo IV.3.3.2.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01VU.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01PS.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01QE.
- ↑ Hartshorne (1977), Teorema II.7.6
- ↑ a b Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.6.
- ^ Hartshorne (1977), Proposición III.5.3
- ↑ a b Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.13.
- ^ Hartshorne (1977), ejemplo II.7.6.3.
- ^ Hartshorne (1977), ejercicio IV.3.2 (b).
- ^ Hartshorne (1977), Proposición IV.3.1.
- ^ Hartshorne (1977), Corolario IV.3.3.
- ^ Hartshorne (1977), Proposición IV.5.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.23, Observación 1.2.29; Kleiman (1966), Teorema III.1.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teoremas 1.4.23 y 1.4.29; Kleiman (1966), Teorema IV.1.
- ^ Fujino (2005), Corolario 3.3; Lazarsfeld (2004), Observación 1.4.24.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.5.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.13; Hartshorne (1970), Teorema I.7.1.
- ^ Kollár (1990), Teorema 3.11.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 0D38.
- ^ Kollár (1996), Capítulo VI, Apéndice, Ejercicio 2.19.3.
- ^ Lazarsfeld (2004), Definición 1.3.11.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.17 y su demostración.
- ^ Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.2.32; Kleiman (1966), Teorema III.1.
- ^ Lazarsfeld (2004), definición 6.1.1.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 6.1.10.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 8.2.2.
- ^ Lazarsfeld (2004), Corolario 2.1.38.
- ^ Lazarsfeld (2004), sección 2.2.A.
- ^ Lazarsfeld (2004), Corolario 2.2.7.
- ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 2.2.26.
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/01VG
- ^ EGA , Proposición 4.6.3.
Referencias
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enlaces externos
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