Progresión aritmética

Sequence of numbers with constant differences between consecutive numbers

Una progresión aritmética o secuencia aritmética es una secuencia de números tal que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es ${\displaystyle a_{1}}$y la diferencia común de los miembros sucesivos es d , entonces el n º término de la secuencia (${\displaystyle a_{n}}$) es dado por:

${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$,

y en general

${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$.

Una parte finita de una progresión aritmética se denomina progresión aritmética finita y, a veces, simplemente se denomina progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética .

Suma

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	=	80

Cálculo de la suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cuando la secuencia se invierte y se suma término por término, la secuencia resultante tiene un único valor repetido, igual a la suma del primer y último número (2 + 14 = 16). Por tanto, 16 × 5 = 80 es el doble de la suma.

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, considere la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se agregan (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número en la progresión (aquí 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier número real. ${\displaystyle a_{1}}$ y ${\displaystyle a_{n}}$. Por ejemplo:

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Derivación

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los primeros números enteros 1 + 2 + ... + n.

Para derivar la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos formas diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Sumando ambos lados de las dos ecuaciones, todos los términos que involucran d se cancelan:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Dividir ambos lados por 2 produce una forma común de la ecuación:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Una forma alternativa resulta de volver a insertar la sustitución: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante: ${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es muy similar a la media de una distribución uniforme discreta .

Producto

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d , yn elementos en total se determina en una expresión cerrada

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

donde ${\displaystyle \Gamma }$denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando${\displaystyle a_{1}/d}$ es negativo o cero.

Esta es una generalización del hecho de que el producto de la progresión ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$viene dado por el factorial ${\displaystyle n!}$ y que el producto

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para enteros positivos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ es dado por

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Derivación

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$denota el factorial ascendente .

Por la fórmula de recurrencia ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$, válido para un número complejo ${\displaystyle z>0}$,

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

así que eso

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

por ${\displaystyle m}$ un entero positivo y ${\displaystyle z}$ un número complejo positivo.

Por tanto, si ${\displaystyle a_{1}/d>0}$,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

y finalmente,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$, el producto de los términos de la progresión aritmética dada por ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$hasta el 50 ^º término es

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$ es dado por

${\displaystyle 1.3.5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$ = 654,729,075

Desviación estándar

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética se puede calcular como

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

donde ${\displaystyle n}$ es el número de términos en la progresión y${\displaystyle d}$es la diferencia común entre términos. La fórmula es muy similar a la desviación estándar de una distribución uniforme discreta .

Intersecciones

La intersección de cualesquiera dos progresiones aritméticas doblemente infinitas está vacía o es otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema chino del resto . Si cada par de progresiones en una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, progresiones aritméticas infinitas forman una familia Helly . ^[1] Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser en sí misma una progresión infinita.

Historia

Según una anécdota de confiabilidad incierta, ^{[2] el} joven Carl Friedrich Gauss en la escuela primaria reinventó este método para calcular la suma de los números enteros del 1 al 100, multiplicandonorte/2pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . Sin embargo, independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^[3] En la antigüedad se conocían reglas similares a Arquímedes , Hipsicles y Diofanto ; ^[4] en China a Zhang Qiujian ; en India a Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^[5] y en la Europa medieval a Alcuin , ^[6] Dicuil, ^[7] Fibonacci , ^[8] Sacrobosco ^[9] ya comentaristas anónimos del Talmud conocidos como Tosafistas . ^[10]

Ver también

• Progresión geométrica
• Progresión armónica
• Número triangular
• Secuencia aritmético-geométrica
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
• Primas en progresión aritmética
• Ecuación de diferencia lineal
• Progresión aritmética generalizada , un conjunto de enteros construido como una progresión aritmética, pero que permite varias diferencias posibles
• Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética
• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• La utonalidad

Referencias

1. Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", en Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Manual de combinatoria, vol. 1, 2 , Amsterdam: Elsevier, págs. 381–432, MR  1373663. Véase en particular la Sección 2.5, "Propiedad de Helly", págs. 393–394 .
2. Hayes, Brian (2006). "Día del juicio final de Gauss" . Científico estadounidense . 94 (3): 200. doi : 10.1511 / 2006.59.200 . Archivado desde el original el 12 de enero de 2012 . Consultado el 16 de octubre de 2020 .
3. Høyrup, J. La "herencia desconocida": rastro de un lugar olvidado de sofisticación matemática. Arco. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
4. Tropfke, Johannes (1924). Análisis, analytische Geometrie . Walter de Gruyter. págs. 3-15. ISBN 978-3-11-108062-8.
5. Tropfke, Johannes (1979). Arithmetik und Algebra . Walter de Gruyter. págs. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
6. Problemas para agudizar a los jóvenes , John Hadley y David Singmaster, The Mathematical Gazette , 76 , # 475 (marzo de 1992), págs. 102-126.
7. Ross, HE y Knott, BI (2019) Dicuil (siglo IX) sobre números triangulares y cuadrados, British Journal for the History of Mathematics , 34: 2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019. 1598687
8. Sigler, Laurence E. (traducción) (2002). Liber Abaci de Fibonacci . Springer-Verlag. págs.  259 –260. ISBN 0-387-95419-8.
9. Katz, Victor J. (editar) (2016). Libro de consulta sobre las matemáticas de la Europa medieval y el norte de África . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 91, 257. ISBN 9780691156859.
10. Stern, M. (1990). 74.23 Una derivación medieval de la suma de una progresión aritmética. The Mathematical Gazette, 74 (468), 157-159. doi: 10.2307 / 3619368

Enlaces externos

• "Serie aritmética" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Serie aritmética" . MathWorld .