En matemáticas , la dualidad Artin-Verdier es un teorema de dualidad para haces abelianos construibles sobre el espectro de un anillo de números algebraicos , introducido por Michael Artin y Jean-Louis Verdier ( 1964 ), que generaliza la dualidad Tate .
Muestra que, en lo que respecta a la cohomología etale (o plana ) , el anillo de números enteros en un campo numérico se comporta como un objeto matemático tridimensional .
Declaración
Deje que X sea el espectro del anillo de los enteros en un totalmente imaginario campo de número de K , y F una construible étale abeliano gavilla en X . Entonces el emparejamiento de Yoneda
es un emparejamiento no degenerado de grupos abelianos finitos, para cada entero r .
Aquí, H r ( X, F ) es el grupo de cohomología de étale r -ésimo del esquema X con valores en F, y Ext r ( F, G ) es el grupo de r - extensiones de la gavilla étale G por la gavilla étale F en la categoría de gavillas étale abelian en X. Además, G m denota la gavilla étale de unidades en la gavilla de estructura de X.
Christopher Deninger ( 1986 ) demostró la dualidad Artin-Verdier para gavillas construibles, pero no necesariamente de torsión. Para tal gavilla F , el emparejamiento anterior induce isomorfismos
dónde
Esquemas de grupos planos finitos
Vamos U ser un subesquema abierto del espectro del anillo de los enteros en un campo de número K , y F una conmutativa plana finita esquema de grupo más de U . Entonces el producto de taza define un maridaje no degenerado
de grupos abelianos finitos, para todos los enteros r .
Aquí F D indica la Cartier dual de F , que es otro esquema de grupo conmutativo plana finita sobre U . Es más,es el r -ésimo grupo de cohomología plana del esquema U con valores en la gavilla abeliana plana F , yes la cohomología plana r -ésima con soportes compactos de U con valores en la gavilla abeliana plana F.
La cohomología plana con soportes compactos se define para dar lugar a una secuencia larga y exacta.
La suma se toma sobre todos los lugares de K , que no están en U , incluidos los de Arquímedes. La contribución local H r ( K v , F ) es la cohomología de Galois de la Henselización K v de K en el lugar v , modificado a la Tate :
Aquí es un cierre separable de
Referencias
- Artin, Michael ; Verdier, Jean-Louis (1964), "Seminario sobre cohomología étale de campos numéricos", Apuntes de conferencias preparados en relación con los seminarios celebrados en el instituto de verano sobre geometría algebraica. Finca Whitney, Woods Hole, Massachusetts. 6 de julio - 31 de julio de 1964 (PDF) , Providence, RI: American Mathematical Society , archivado desde el original (PDF) el 26 de mayo de 2011
- Deninger, Christopher (1986), "Una extensión de la dualidad Artin-Verdier a gavillas sin torsión", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 366 : 18–31, doi : 10.1515 / crll.1986.366.18 , MR 0833011
- Mazur, Barry (1973), "Notes on étale cohomology of number fields" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 : 521–552, ISSN 0012-9593 , MR 0344254
- Milne, James S. (2006), Teoremas de la dualidad aritmética (Segunda ed.), BookSurge, LLC , págs. Viii + 339, ISBN 1-4196-4274-X