En la mecánica clásica, el movimiento de una partícula (o sistema de partículas) está completamente determinado por el Lagrangiano. o equivalentemente el hamiltoniano , una función de las coordenadas generalizadas q , velocidades generalizadasy sus momentos conjugados :
Si L o H es independiente de una coordenada generalizada q , lo que significa que L y H no cambian cuando se cambia q , lo que a su vez significa que la dinámica de la partícula sigue siendo la misma incluso cuando q cambia, los momentos correspondientes se conjugan con esos se conservarán las coordenadas (esto es parte del teorema de Noether , y la invariancia del movimiento con respecto a la coordenada q es una simetría ). Los operadores de la mecánica clásica están relacionados con estas simetrías.
Más técnicamente, cuando H es invariante bajo la acción de un cierto grupo de transformaciones G :
- .
los elementos de G son operadores físicos, que mapean estados físicos entre sí.
Tabla de operadores de mecánica clásica
Transformación | Operador | Posición | Impulso |
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Simetría traslacional | | | |
Simetría de traducción de tiempo | | | |
Invariancia rotacional | | | |
Transformaciones galileanas | | | |
Paridad | | | |
Simetría en T | | | |
dónde es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario y ángulo θ .
Todo el grupo puede recuperarse, en circunstancias normales, de los generadores, a través del mapa exponencial . En el caso de las traducciones, la idea funciona así.
La traducción de un valor finito de se puede obtener mediante la aplicación repetida de la traducción infinitesimal:
con el de pie para la aplicación veces. Si es grande, cada uno de los factores puede considerarse infinitesimal:
Pero este límite puede reescribirse como exponencial:
Para estar convencidos de la validez de esta expresión formal, podemos expandir la exponencial en una serie de potencias:
El lado derecho se puede reescribir como
que es solo la expansión de Taylor de , que era nuestro valor original para .
Las propiedades matemáticas de los operadores físicos son un tema de gran importancia en sí mismo. Para obtener más información, consulte C * -álgebra y teorema de Gelfand-Naimark .
La formulación matemática de la mecánica cuántica (QM) se basa en el concepto de operador.
Los estados físicos puros en mecánica cuántica se representan como vectores de norma unitaria (las probabilidades se normalizan a uno) en un espacio de Hilbert complejo especial . La evolución temporal en este espacio vectorial viene dada por la aplicación del operador de evolución .
Cualquier observable , es decir, cualquier cantidad que se puede medir en un experimento de física, debe estar asociada con una autoadjunta lineal operador . Los operadores deben producir valores propios reales , ya que son valores que pueden surgir como resultado del experimento. Matemáticamente, esto significa que los operadores deben ser hermitianos . [1] La probabilidad de cada valor propio está relacionada con la proyección del estado físico en el subespacio relacionado con ese valor propio. Consulte a continuación los detalles matemáticos sobre los operadores hermitianos.
En la formulación de la mecánica ondulatoria de QM, la función de onda varía con el espacio y el tiempo, o de manera equivalente, el momento y el tiempo (consulte el espacio de posición y momento para obtener más detalles), por lo que los observables son operadores diferenciales .
En la formulación de la mecánica matricial , la norma del estado físico debe permanecer fija, por lo que el operador de evolución debe ser unitario y los operadores pueden representarse como matrices. Cualquier otra simetría, mapeando un estado físico en otro, debería mantener esta restricción.
Función de onda
La función de onda debe ser integrable en cuadrado (ver espacios Lp ), lo que significa:
y normalizable, de modo que:
Dos casos de autoestados (y autovalores) son:
- para autoestados discretosformando una base discreta, por lo que cualquier estado es una suma
donde c i son números complejos tales que | c i | 2 = c i * c i es la probabilidad de medir el estado, y el conjunto correspondiente de valores propios a i también es discreto, ya sea finito o numerablemente infinito . En este caso, el producto interno de dos autoestados viene dado por, dónde denota el delta de Kronecker . Sin emabargo, - para un continuo de autoestadosformando una base continua, cualquier estado es una integral
donde c (φ) es una función compleja tal que | c (φ) | 2 = c (φ) * c (φ) es la probabilidad de medir el estado, y hay un conjunto infinito incontable de valores propios a . En este caso, el producto interno de dos autoestados se define como, donde aqui denota el delta de Dirac .
Operadores lineales en mecánica ondulatoria
Sea ψ la función de onda de un sistema cuántico, yser cualquier operador lineal para algún A observable (como posición, momento, energía, momento angular, etc.). Si ψ es una función propia del operador, luego
donde a es el valor propio del operador, correspondiente al valor medido del observable, es decir, el observable A tiene un valor medido a .
Si ψ es una función propia de un operador dado, entonces se observará una cantidad definida (el valor propio a ) si se realiza una medición del observable A en el estado ψ . Por el contrario, si ψ no es una función propia de, entonces no tiene valor propio para , y lo observable no tiene un solo valor definido en ese caso. En cambio, las mediciones del observable A producirán cada valor propio con una cierta probabilidad (relacionada con la descomposición de ψ en relación con la base propia ortonormal de).
En notación bra-ket se puede escribir lo anterior;
que son iguales si es un vector propio , o eigenket de la observable A .
Debido a la linealidad, los vectores se pueden definir en cualquier número de dimensiones, ya que cada componente del vector actúa sobre la función por separado. Un ejemplo matemático es el operador del , que es en sí mismo un vector (útil en los operadores cuánticos relacionados con el momento, en la tabla siguiente).
Se puede escribir un operador en un espacio n- dimensional:
donde e j son vectores base correspondientes a cada operador componente A j . Cada componente producirá un valor propio correspondiente. Actuando esto en la función de onda ψ :
en el que hemos usado
En notación bra-ket:
Conmutación de operadores en Ψ
Si dos observables A y B tienen operadores lineales y , el conmutador está definido por,
El conmutador es en sí mismo un operador (compuesto). Actuando el conmutador en ψ da:
Si ψ es una función propia con valores propios a y b para observaciones A y B respectivamente, y si los operadores conmutan:
entonces los observables A y B se pueden medir simultáneamente con precisión infinita, es decir, incertidumbres, simultaneamente. Entonces se dice que ψ es la función propia simultánea de A y B. Para ilustrar esto:
Muestra que la medición de A y B no causa ningún cambio de estado, es decir, los estados inicial y final son los mismos (sin perturbación debido a la medición). Suponga que medimos A para obtener el valor a. Luego medimos B para obtener el valor b. Medimos A de nuevo. Seguimos obteniendo el mismo valor a. Claramente, el estado ( ψ ) del sistema no se destruye y, por lo tanto, podemos medir A y B simultáneamente con infinita precisión.
Si los operadores no viajan diariamente:
no pueden prepararse simultáneamente con precisión arbitraria, y existe una relación de incertidumbre entre los observables,
incluso si ψ es una función propia, la relación anterior se cumple. Los pares notables son las relaciones de incertidumbre de posición y momento y de energía y tiempo, y los momentos angulares (espín, orbital y total) sobre dos ejes ortogonales cualesquiera (como L x y L y , o s y y s z, etc.). [2]
Valores de expectativa de los operadores en Ψ
El valor esperado (equivalentemente el valor medio o media) es la medida media de un observable, por partícula en la región R . El valor esperado del operador se calcula a partir de: [3]
Esto se puede generalizar a cualquier función F de un operador:
Un ejemplo de F es la acción doble de A sobre ψ , es decir, cuadrar un operador o hacerlo dos veces:
Operadores hermitianos
La definición de operador hermitiano es: [1]
Siguiendo a esto, en notación bra-ket:
Las propiedades importantes de los operadores hermitianos incluyen:
- valores propios reales,
- los autovectores con diferentes autovalores son ortogonales ,
- Los vectores propios se pueden elegir para que sean una base ortonormal completa ,
Operadores en mecánica matricial
Se puede escribir un operador en forma de matriz para asignar un vector base a otro. Dado que los operadores son lineales, la matriz es una transformación lineal (también conocida como matriz de transición) entre bases. Cada elemento basese puede conectar a otro, [3] mediante la expresión:
que es un elemento de matriz:
Otra propiedad de un operador hermitiano es que las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. [1] En forma de matriz, los operadores permiten encontrar valores propios reales, correspondientes a las medidas. La ortogonalidad permite un conjunto de vectores base adecuado para representar el estado del sistema cuántico. Los autovalores del operador también se evalúan de la misma manera que para la matriz cuadrada, resolviendo el polinomio característico :
donde I es la matriz identidad n × n , como operador corresponde al operador identidad. Para una base discreta:
mientras que de forma continua:
Inverso de un operador
Un operador no singular tiene una inversa definido por:
Si un operador no tiene inverso, es un operador singular. En un espacio de dimensión finita, un operador no es singular si y solo si su determinante es distinto de cero:
y por tanto, el determinante es cero para un operador singular.
Tabla de operadores QM
Los operadores utilizados en mecánica cuántica se recopilan en la siguiente tabla (ver, por ejemplo, [1] [4] ). Los vectores en negrita con circunflejos no son vectores unitarios , son operadores de 3 vectores; los tres componentes espaciales tomados en conjunto.
Operador (nombre / s común) | Componente cartesiano | Definición general | Unidad SI | Dimensión |
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Posición | | | metro | [L] |
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Impulso | General | General | J sm −1 = N s | [M] [L] [T] −1 |
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Campo electromagnetico | Campo electromagnético (utiliza el momento cinético ; A , potencial vectorial) | J sm −1 = N s | [M] [L] [T] −1 |
Energía cinética | Traducción | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
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Campo electromagnetico | Campo electromagnético ( A , potencial vectorial ) | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
Rotación ( I , momento de inercia ) | Rotación [ cita requerida ] | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
Energía potencial | N / A | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
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Energía total | N / A | Potencial dependiente del tiempo:
Tiempo independiente: | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
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Hamiltoniano | | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
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Operador de momento angular | | | J s = N sm | [M] [L] 2 [T] −1 |
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Momento angular de giro | dónde son las matrices de Pauli para partículas de espín ½ . | donde σ es el vector cuyos componentes son las matrices de Pauli. | J s = N sm | [M] [L] 2 [T] −1 |
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Momento angular total | | | J s = N sm | [M] [L] 2 [T] −1 |
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Momento dipolar de transición (eléctrico) | | | Cm | [I] [T] [L] |
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Ejemplos de aplicación de operadores cuánticos
El procedimiento para extraer información de una función de onda es el siguiente. Considere el momento p de una partícula como ejemplo. El operador de impulso en base a la posición en una dimensión es:
Dejando actuar sobre ψ obtenemos:
si ψ es una función propia de, entonces el valor propio de la cantidad de movimiento p es el valor de la cantidad de movimiento de la partícula, encontrado por:
Para tres dimensiones, el operador de impulso usa el operador nabla para convertirse en:
En coordenadas cartesianas (usando los vectores base cartesianos estándar e x , e y , e z ) esto se puede escribir;
es decir:
El proceso de encontrar valores propios es el mismo. Dado que esta es una ecuación de vector y operador, si ψ es una función propia, entonces cada componente del operador de momento tendrá un valor propio correspondiente a ese componente de momento. Interinoel ψ obtiene: