En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normalizado es compacta en la topología débil * . [1] Una prueba común identifica la bola unitaria con la topología débil- * como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología del producto . Como consecuencia del teorema de Tychonoff , este producto, y por tanto la bola unitaria que contiene, es compacto.
Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, es decir, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.
Historia
Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema de Alaoglu es un "resultado muy importante, tal vez el hecho más importante sobre la topología débil * , que hace eco en todo el análisis funcional". [2] En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo dees contablemente débil- * compacto. [3] En 1932, Stefan Banach demostró que la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado separable es secuencialmente débil- * compacta (Banach solo consideró la compacidad secuencial ). [3] La prueba del caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu . Según Pietsch [2007], hay al menos 12 matemáticos que pueden reclamar este teorema o un predecesor importante de él. [2]
El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización [4] [5] del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos . Este teorema también se denomina teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil * y comúnmente se denomina simplemente teorema de Alaoglu [2]
Declaración
Si es un espacio vectorial sobre el campo luego denotará el espacio dual algebraico dey estos dos espacios se asocian de ahora en adelante con el mapa de evaluación bilineal definido por
donde el triple forma un sistema dual llamado sistema dual canónico .
Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces su espacio dual continuo será denotado por dónde siempre aguanta. Denote la topología débil- * en por y denotar la topología débil- * en por La topología débil * también se denomina topología de convergencia puntual porque dado un mapay una red de mapas la red converge a en esta topología si y solo si para cada punto en el dominio, la red de valores converge al valor
Teorema de Alaoglu [3] : para cualquier espacio vectorial topológico (TVS)( no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) con espacio dual continuo el polar
de cualquier barrio de origen en es compacto en la topología débil- * [nota 1] en Es más, es igual a la polar de con respecto al sistema canónico y también es un subconjunto compacto de
Prueba que involucra la teoría de la dualidad
Denotar por el campo subyacente de por que son los números reales o números complejos Esta prueba utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar , sistema dual y operador lineal continuo .
Para comenzar la prueba, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificados. Cuándoestá dotado de la topología débil- * entonces este espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denota por El espacio es siempre un TVS completo ; sin emabargo, puede no ser un espacio completo, razón por la cual esta prueba involucra el espacio Específicamente, esta prueba utilizará el hecho de que un subconjunto de un espacio de Hausdorff completo es compacto si (y solo si) está cerrado y totalmente acotado . Es importante destacar que la topología subespacial que hereda de es igual a Esto se puede verificar fácilmente mostrando que, dado cualquier una red en converge a en una de estas topologías si y solo si también converge a en la otra topología (la conclusión sigue porque dos topologías son iguales si y solo si tienen exactamente las mismas redes convergentes).
El triple es un emparejamiento dual, aunque a diferencia deen general, no se garantiza que sea un sistema dual. A menos que se indique lo contrario, todos los conjuntos polares se tomarán con respecto al emparejamiento canónico.
Dejar ser un barrio del origen en y deja:
- ser el polar de con respecto al emparejamiento canónico ;
- ser el bipolar de U {\ Displaystyle U} con respecto a ;
- ser el polar de con respecto al sistema dual canónico
Un hecho bien conocido sobre los polares de conjuntos es que
(1) Demuestre que es un -subconjunto cerrado de Dejar y supongamos que es una red en que converge a en Para concluir que es suficiente (y necesario) demostrar que para cada Porque en el campo escalar y cada valor pertenece a lo cerrado (en ) subconjunto también debe el límite de esta red pertenecen a este conjunto. Por lo tanto
(2) Demuestre que y luego concluir que es un subconjunto cerrado de ambos y La inclusión se cumple porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa dejar así que eso que establece exactamente que el funcional lineal está delimitado en el barrio ; por lo tantoes un funcional lineal continuo (es decir,) y entonces como se desee. Usando (1) y el hecho de que la intersección está cerrado en la topología del subespacio en el reclamo sobre sigue siendo cerrado.
(3) Demuestre que es un - subconjunto totalmente acotado dePor el teorema bipolar , donde porque el barrio es un subconjunto absorbente de lo mismo debe ser cierto para el conjunto ; es posible probar que esto implica que es un - subconjunto acotado de Porque distingue puntos de un subconjunto de es -limitado si y solo si es - totalmente acotado . Así que en particular es también -totalmente acotado.
(4) Concluya que también es un -subconjunto totalmente acotado de Recuerde que el topología en es idéntica a la topología subespacial que hereda de Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente acotado", implica que es un -subconjunto totalmente acotado de
(5) Finalmente, deduzca que es un -subconjunto compacto de Porque es un televisor completo y es un subconjunto cerrado (por (2)) y totalmente acotado (por (4)) de resulta que es compacto. ∎
Si es un espacio vectorial normalizado , entonces el polar de un vecindario está cerrado y delimitado por normas en el espacio dual. En particular, si es la bola de la unidad abierta (o cerrada) en entonces el polar de es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de (con la norma dual habitual ). En consecuencia, este teorema se puede especializar en:
- Teorema de Banach-Alaoglu : Si es un espacio normado, entonces la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo (dotado de su norma de operador habitual ) es compacto con respecto a la topología débil- * .
Cuando el espacio dual continuo de es un espacio normado de dimensión infinita, entonces es imposible que la bola unitaria cerrada en para ser un subconjunto compacto cuando tiene su topología de norma habitual. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología normal es compacta si y solo si el espacio es de dimensión finita (véase el teorema de F. Riesz ). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial.
Debe advertirse que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil- * sea localmente compacta . Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo una vecindad del origen en la topología fuerte , pero generalmente no es una vecindad del origen en la topología débil *, ya que tiene un interior vacío en la topología débil *, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, es un resultado de Weil que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.
Prueba elemental
La siguiente prueba involucra solo conceptos elementales de topología, teoría de conjuntos y análisis funcional.
Denotar por el campo subyacente de por que son los números reales o números complejos Por cualquier real dejar
denotar la bola cerrada de radio en el origen en que es un subconjunto compacto y cerrado de
Porque es un barrio del origen en también es un subconjunto absorbente de así que para cada existe un numero real tal que Dejar
denotar el polar de con respecto al sistema dual canónico Como se muestra ahora, este conjunto polar es lo mismo que el polar de con respecto a
Prueba de que La inclusión se cumple porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa dejar así que eso que establece exactamente que el funcional lineal está delimitado en el barrio ; por lo tantoes un funcional lineal continuo (es decir,) y entonces como se desee.
El resto de esta prueba requiere una comprensión adecuada de cómo el producto cartesiano se identifica como el espacio de todas las funciones de la forma Ahora se ofrece una explicación para los lectores interesados.
Estreno en identificación de funciones con tuplas |
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El producto cartesiano se suele considerar como el conjunto de todos -indexed tuplas pero, como se describe ahora, también se puede identificar con el espacio de todas las funciones que tienen prototipo
Esta es la razón por la que muchos autores escriben, a menudo sin comentarios, la igualdad y por qué el producto cartesiano a veces se toma como la definición del conjunto de mapas Sin embargo, el producto cartesiano, al ser el producto (categórico) en la categoría de conjuntos (que es un tipo de límite inverso ), también viene equipado con mapas asociados que se conocen como sus proyecciones (de coordenadas) . La proyección canónica del producto cartesiano en cualquier es la funcion
donde bajo la identificación anterior, envía una función a En palabras, por un punto y función "enchufar dentro "es lo mismo que" conectar dentro ".
El conjunto se supone que está dotado de la topología del producto . Es bien sabido que la topología del producto es idéntica a la topología de la convergencia puntual . Esto es porque dadoy una red dónde y cada es un elemento de entonces la red converge en la topología del producto si y solo si
dónde y Por lo tanto converge a en la topología del producto si y solo si converge a puntual en También se utilizará en esta prueba el hecho de que la topología de la convergencia puntual se conserva al pasar a subespacios topológicos . Esto significa, por ejemplo, que si para cada es un subespacio (topológico) de luego la topología de la convergencia puntual (o equivalentemente, la topología del producto) en es igual a la topología del subespacio que el conjunto hereda de |
Habiendo establecido eso [nota 2] para reducir el desorden de símbolos, esteEl conjunto olar se indicará mediante
a menos que se intente llamar la atención sobre la definición de o
La demostración del teorema estará completa una vez que se verifiquen las siguientes afirmaciones:
- es un subconjunto cerrado de
- Aquí está dotado de la topología de convergencia puntual, que es idéntica a la topología del producto .
- denota la bola cerrada de radio centrado en Para cada se definió al comienzo de esta prueba como cualquier verdadero que satisface (así en particular, es una elección válida para cada ).
Estas declaraciones implican que es un subconjunto cerrado de donde este espacio de producto es compacto por el teorema de Tychonoff [nota 3] (porque cada bola cerradaes un espacio compacto). Debido a que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, se sigue que es compacto, que es la principal conclusión del teorema de Banach-Alaoglu.
Prueba de (1) :
El espacio dual algebraico es siempre un subconjunto cerrado de (esto se demuestra en el lema siguiente para los lectores que no están familiarizados con este resultado). Para probar eso está cerrado en basta con mostrar que el conjunto definido por
es un subconjunto cerrado de porque entonces es una intersección de dos subconjuntos cerrados de Dejar y supongamos que es una red en que converge a en Para concluir que es suficiente (y necesario) mostrar que para cada (o equivalentemente, que ). Porque en el campo escalar y cada valor pertenece a lo cerrado (en ) subconjunto también debe el límite de esta red pertenecen a este conjunto cerrado. Por lo tanto que completa la prueba de (1).
Como nota al margen, esta prueba se puede generalizar para probar el siguiente resultado más general, del cual se sigue la conclusión anterior como el caso especial y
- Proposición : Si es cualquier conjunto y si es un subconjunto cerrado de un espacio topológico luego es un subconjunto cerrado de con respecto a la topología de convergencia puntual.
Prueba de (2) :
Para cualquier dejar denotar la proyección a la th coordenada (como se define arriba). Para probar eso es suficiente (y necesario) demostrar que para cada Así que arregla y deja ; Queda por demostrar que La condición definitoria en era que lo que implica que Porque el funcional lineal satisface y entonces implica
Por lo tanto que muestra que como se desee.
La prueba elemental anterior en realidad muestra que si es cualquier subconjunto que satisfaga (como cualquier subconjunto absorbente de), luego es un subconjunto débil * compacto de
Como nota al margen, con la ayuda de la prueba elemental anterior, se puede mostrar (ver esta nota al pie) [nota 4] que
dónde es definido por para cada con (como en la prueba) y
De echo,
- y
dónde denota la intersección de todos los conjuntos pertenecientes a
Esto implica (entre otras cosas [nota 5] ) queel único elemento mínimo de con respecto a ; esto puede usarse como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado ). La funciónes una seminorma y no cambia sies reemplazado por el casco convexo equilibrado de (porque ). Del mismo modo, porque tampoco cambia si es reemplazado por su cierre en
Lema - El espacio dual algebraico de cualquier espacio vectorial sobre un campo (dónde es o ) es un subconjunto cerrado de en la topología de convergencia puntual. (El espacio vectorial no necesita estar dotado de ninguna topología).
Prueba de lema |
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Una red en es por definición una función de un conjunto dirigido no vacío Cada secuencia en que por definición es solo una función de la forma también es una red. Al igual que con las secuencias, el valor de una red en un índice se denota por ; sin embargo, para esta prueba, este valor también puede denotarse mediante la notación habitual de paréntesis de función De manera similar para la composición de funciones , si es cualquier función, entonces la red (o secuencia) que resulta de "conectar dentro "es solo la función aunque esto se denota típicamente por (o por Si es una secuencia). En esta prueba, esta red resultante puede ser denotada por cualquiera de las siguientes notaciones dependiendo de la notación que sea más limpia o que comunique con mayor claridad la información deseada. En particular, si es continuo y en entonces la conclusión comúnmente escrita como en su lugar, puede escribirse como o Inicio de prueba : Dejar y supongamos que es una red en el converge a en Si luego denotará es neto de valores en Para concluir que se debe demostrar que es un funcional lineal, así que deja sé un escalar y deja La topología en es la topología de la convergencia puntual, por lo que al considerar los puntos y la convergencia de en implica que cada una de las siguientes redes de escalares converge en
lo que prueba que Porque tambien y límites en son únicos, se deduce que como se desee.
lo que prueba que Porque tambien resulta que como se desee. |
Corolario del lema : cuando el espacio dual algebraico de un espacio vectorial está equipado con la topología de convergencia puntual (también conocida como topología débil *), luego el espacio vectorial topológico resultante (TVS)es un completo Hausdorff localmente convexo TVS.
Prueba de corolario |
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Porque el campo subyacente es un TVS localmente convexo de Hausdorff completo, lo mismo ocurre con el producto cartesiano Un subconjunto cerrado de un espacio completo está completo, por lo que según el lema, el espacio Esta completo. |
Teorema secuencial de Banach-Alaoglu
Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del teorema, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil *. De hecho, la topología débil * en la bola unitaria cerrada del dual de un espacio separable es metrizable y, por lo tanto, la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.
Específicamente, deje ser un espacio normado separable y la bola de la unidad cerrada en Desde es separable, deja ser un subconjunto denso contable. Entonces lo siguiente define una métrica, donde para cualquier
en el cual denota el emparejamiento de dualidad de con Compacidad secuencial de en esta métrica se puede demostrar mediante un argumento de diagonalización similar al empleado en la demostración del teorema de Arzelà-Ascoli .
Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de elección), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu se utiliza a menudo en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a PDE o problemas variacionales. . Por ejemplo, si uno quiere minimizar un funcional en el dual de un espacio vectorial normado separable una estrategia común es construir primero una secuencia minimizadora que se acerca al mínimo de utilizar el teorema secuencial de Banach-Alaoglu para extraer una subsecuencia que converja en la topología débil * hasta un límite y luego establecer que es un minimizador de El último paso a menudo requiere para obedecer una propiedad de semicontinuidad inferior (secuencial) en la topología débil *.
Cuándo es el espacio de medidas finitas de radón en la línea real (de modo que es el espacio de funciones continuas que desaparecen en el infinito, según el teorema de representación de Riesz ), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu es equivalente al teorema de selección de Helly .
Para cada dejar
y
Porque cada es un subconjunto compacto del plano complejo, también es compacto en la topología del producto según el teorema de Tychonoff .
La bola de la unidad cerrada en puede identificarse como un subconjunto de de forma natural:
Este mapa es inyectivo y continuo, con tener la topología débil- * y la topología del producto. La inversa de este mapa, definida en su rango, también es continua.
Para terminar de probar este teorema, ahora se mostrará que el rango del mapa anterior está cerrado. Dada una red
en el funcional definido por
yace en
Consecuencias
- Consecuencias para los espacios normativos
Asumir que es un espacio normado y dota a su espacio dual continuocon la norma dual habitual .
- La bola de la unidad cerrada en es débil- * compacto. [3] Entonces, sies de dimensión infinita, entonces su bola unitaria cerrada no es necesariamente compacta en la topología normal según el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débil- * compacto).
- Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es-compacto. [3]
- Si es un espacio reflexivo de Banach , entonces cada secuencia acotada entiene una subsecuencia débilmente convergente. (Esto sigue aplicando el teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrizable de; o, más sucintamente, aplicando el teorema de Eberlein-Šmulian .) Por ejemplo, suponga que es el espacio L pag ( μ ) {\ Displaystyle L ^ {p} (\ mu)}
, Dejar ser una secuencia acotada de funciones en Entonces existe una subsecuencia y un tal que
- Consecuencias para los espacios de Hilbert
- En un espacio de Hilbert, cada conjunto delimitado y cerrado es débilmente relativamente compacto, por lo tanto, cada red delimitada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos ).
- Como los conjuntos convexos cerrados por norma están débilmente cerrados ( teorema de Hahn-Banach ), los cierres normativos de conjuntos acotados convexos en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.
- Conjuntos cerrados y acotados en son precompactos con respecto a la topología de operador débil (la topología de operador débil es más débil que la topología ultradebil que es a su vez la topología débil- * con respecto a la predual delos operadores de clase de rastreo ). Por tanto, las secuencias acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. Como consecuencia,tiene la propiedad Heine-Borel , si está equipado con el operador débil o la topología ultra débil.
Relación con el axioma de elección
Dado que el teorema de Banach-Alaoglu generalmente se demuestra a través del teorema de Tychonoff , se basa en el marco axiomático ZFC y, en particular, en el axioma de elección . La mayoría de los análisis funcionales convencionales también se basan en ZFC. Sin embargo, el teorema no se basa en el axioma de elección en el caso separable (ver arriba ): en este caso uno tiene realmente una demostración constructiva. En el caso no separable, el ultrafiltro Lemma , que es estrictamente más débil que el axioma de elección, es suficiente para demostrar el teorema de Banach-Alaoglu y, de hecho, es equivalente a él.
Ver también
- Teorema de Bishop-Phelps
- Teorema de Banach-Mazur
- Teorema de compacidad delta
- Teorema de Eberlein-Šmulian : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
- Teorema de Goldstine
- Teorema de james
- Teorema de Kerin-Milman
- Lema de Mazur : sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Explícitamente, un subconjunto se dice que es "compacto (resp. totalmente acotado, etc.) en la topología débil- *" si cuando se le da la topología débil- * y el subconjuntose le da la topología subespacial heredada de luego es un espacio compacto (resp. totalmente acotado , etc.).
- ^ Si denota la topología que está (originalmente) dotado, entonces la igualdad muestra que el polar de depende solo de (y ) y que el resto de la topología puede ignorarse. Para aclarar lo que se quiere decir, suponga ¿Hay alguna topología de TVS en tal que el conjunto es (también) una vecindad del origen en Denote el espacio dual continuo de por y denotar el polar de con respecto a por
- ^ Porque cadaes también un espacio de Hausdorff , la conclusión de quees compacto solo requiere el llamado "teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff", que es equivalente al lema del ultrafiltro y estrictamente más débil que el axioma de elección .
- ^ Para cualquier subconjunto no vacío la igualdad sostiene (la intersección de la izquierda es un disco cerrado, en lugar de abierto, posiblemente de radio - porque es una intersección de subconjuntos cerrados de y por lo tanto debe cerrarse). Para cada dejar de modo que la igualdad del conjunto anterior implica De resulta que y haciendo así el menor elemento de con respecto a (De hecho, la familia está cerrado bajo intersecciones arbitrarias (no nulares ) y también bajo uniones finitas de al menos un conjunto). La declaración (2) en la prueba elemental anterior mostró que y no están vacías y, además, también demostró que tiene un elemento que satisface para cada lo que implica que para cada La inclusión es inmediato, así que para probar la inclusión inversa, dejemos Por definición, si y solo si Entonces deja y queda por demostrar que De resulta que lo que implica que como se desee.
- ^ Esta tuplaes el menor elemento decon respecto al orden parcial puntual inducido natural definido por si y solo si para cada Así, cada barrio del origen en se puede asociar con esta función única (mínima) Para cualquier Si es tal que luego para que en particular, y para cada
Referencias
- ^ Rudin 1991 , Teorema 3.15.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 235-240.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225-273.
- ↑ Köthe 1969 , Teorema (4) en §20.9.
- ^ Meise y Vogt 1997 , Teorema 23.5.
- Köthe, Gottfried (1969). Espacios vectoriales topológicos I . Nueva York: Springer-Verlag. Ver §20.9.
- Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.Véase el teorema 23.5, pág. 264.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .Véase el teorema 3.15, pág. 68.
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos. San Diego: Prensa académica.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Otras lecturas
- John B. Conway (1994). Un curso de análisis funcional (2ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. Consulte el Capítulo 5, sección 3.
- Peter B. Lax (2002). Análisis funcional . Wiley-Interscience. págs. 120-121. ISBN 0-471-55604-1.