En matemáticas , una curva de Rham es un cierto tipo de curva fractal nombrada en honor a Georges de Rham .
La función de Cantor , la curva Cesàro, la función de signo de interrogación de Minkowski , la curva de Lévy C , la curva de manjar blanco de la curva de Koch y la curva de Osgood son todos los casos especiales del general de Rham curva.
Construcción
Considere un espacio métrico completo (generalmente 2 con la distancia euclidiana habitual), y un par de mapas de contratación en M:
Según el teorema del punto fijo de Banach , estos tienen puntos fijos y respectivamente. Sea x un número real en el intervalo, teniendo expansión binaria
donde cada es 0 o 1. Considere el mapa
definido por
dónde denota composición de funciones . Se puede demostrar que cada mapeará la cuenca común de atracción de y a un solo punto en . La colección de puntos, parametrizado por un único parámetro real x , se conoce como curva de de Rham.
Condición de continuidad
Cuando los puntos fijos se emparejan de manera que
entonces se puede demostrar que la curva resultante es una función continua de x . Cuando la curva es continua, en general no es diferenciable.
En el resto de esta página, asumiremos que las curvas son continuas.
Propiedades
Las curvas de De Rham son por construcción auto-similares, ya que
- por y
- por
Las auto-simetrías de todas las curvas de De Rham vienen dadas por el monoide que describe las simetrías del árbol binario infinito o conjunto de Cantor . Este llamado monoide de duplicación de períodos es un subconjunto del grupo modular .
La imagen de la curva, es decir, el conjunto de puntos., se puede obtener mediante un sistema de función iterada utilizando el conjunto de asignaciones de contracción. Pero el resultado de un sistema de funciones iteradas con dos mapeos de contracción es una curva de Rham si y solo si los mapeos de contracción satisfacen la condición de continuidad.
Se pueden encontrar ejemplos detallados y elaborados de las auto-semejanzas en los artículos sobre la función de Cantor y sobre la función del signo de interrogación de Minkowski . Precisamente el mismo monoide de auto-semejanzas, el monoide diádico , se aplica a cada curva de De Rham.
Clasificación y ejemplos
Curvas cesàro
Las curvas Cesàro (o curvas Cesàro-Faber ) son curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que conservan la orientación , con puntos fijos y .
Debido a estas limitaciones, las curvas de Cesàro están determinadas unívocamente por un número complejo tal que y .
Las asignaciones de contracción y luego se definen como funciones complejas en el plano complejo por:
Por el valor de , la curva resultante es la curva C de Lévy .
Curvas de Koch-Peano
De manera similar, podemos definir la familia de curvas de Koch-Peano como el conjunto de curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que invierten la orientación, con puntos fijos y .
Estas asignaciones se expresan en el plano complejo en función de , el complejo conjugado de:
El nombre de la familia proviene de sus dos miembros más famosos. La curva de Koch se obtiene configurando:
mientras que la curva de Peano corresponde a:
Mapas afines generales
Las curvas Cesàro-Faber y Peano-Koch son ambos casos especiales del caso general de un par de transformaciones lineales afines en el plano complejo. Al fijar un punto final de la curva en 0 y el otro en uno, el caso general se obtiene iterando sobre las dos transformadas
y
Al ser transformadas afines , estas transformadas actúan sobre un punto del plano 2-D actuando sobre el vector
Se puede ver que el punto medio de la curva se encuentra en ; los otros cuatro parámetros pueden variarse para crear una gran variedad de curvas.
La curva blancmange del parámetro se puede obtener configurando , y . Es decir:
y
Dado que la curva blancmange del parámetro es la parábola de la ecuación , esto ilustra el hecho de que en alguna ocasión, las curvas de De Rham pueden ser suaves.
Función de signo de interrogación de Minkowski
La función de signo de interrogación de Minkowski es generada por el par de mapas
y
Generalizaciones
Es fácil generalizar la definición utilizando más de dos mapeos de contracciones. Si uno usa n asignaciones, entonces el n descomposición ary de x tiene que ser utilizado en lugar de la expansión binaria de los números reales . La condición de continuidad debe generalizarse en:
- , por
Esta condición de continuidad se puede entender con el siguiente ejemplo. Supongamos que on está funcionando en base 10. Entonces uno tiene (famoso) que 0.999 ... = 1.000 ... que es una ecuación de continuidad que debe aplicarse en cada uno de esos espacios. Es decir, dados los dígitos decimales con , uno tiene
Esta generalización permite, por ejemplo, producir la curva de punta de flecha de Sierpiński (cuya imagen es el triángulo de Sierpiński ), utilizando los mapeos de contracción de un sistema de funciones iteradas que produce el triángulo de Sierpiński.
Curvas multifractales
Ornstein y otros describen un sistema multifractal , donde en lugar de trabajar en una base fija, se trabaja en una base variable.
Considere el espacio del producto de base variable espacios discretos
por el grupo cíclico , porun entero. Cualquier número real en el intervalo de la unidad se puede expandir en una secuencia tal que cada . Más precisamente, un número real está escrito como
Esta expansión no es única, si todos pasado algún punto . En este caso, uno tiene eso
Tales puntos son análogos a los racionales diádicos en la expansión diádica, y las ecuaciones de continuidad en la curva deben aplicarse en estos puntos.
Para cada , se deben especificar dos cosas: un conjunto de dos puntos y y un conjunto de funciones (con ). La condición de continuidad es entonces como arriba,
- , por
El ejemplo original de Ornstein utilizado
Ver también
- Sistema de funciones iteradas
- Función refinable
- Grupo modular
- Grupo fucsia
Referencias
Otras lecturas
- Georges de Rham, On Some Curves Defined by Functional Equations (1957), reimpreso en Classics on Fractals , ed. Gerald A. Edgar (Addison-Wesley, 1993), págs. 285-298.
- Georges de Rham, Sur quelques courbes define par des ecations fonctionnelles . Univ. e Politec. Torino. Desgarrar. Sem. Mat., 1957, 16, 101-113
- Linas Vepstas, Una galería de curvas de Rham , (2006).
- Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos , (2006). (Una exploración general de la simetría del grupo modular en curvas fractales).