En matemáticas , el teorema inverso acotado (o teorema de mapeo inverso ) es un resultado en la teoría de operadores lineales acotados en espacios de Banach . Establece que un operador lineal acotado biyectivo T de un espacio de Banach a otro tiene T −1 inverso acotado . Es equivalente tanto al teorema de mapeo abierto como al teorema de grafo cerrado .
Generalización
Teorema [1] - Si A : X → Y es una biyección lineal continua desde un espacio vectorial topológico pseudometrizable (TVS) completo en un TVS de Hausdorff que es un espacio de Baire , entonces A : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo de televisores).
Contraejemplo
Este teorema puede no ser válido para espacios normativos que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito de términos distintos de cero equipados con la norma suprema . El mapa T : X → X definido por
está acotado, lineal e invertible, pero T −1 no está acotado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no está completo, considere la secuencia de secuencias x ( n ) ∈ X dada por
converge cuando n → ∞ a la secuencia x (∞) dada por
que tiene todos sus términos no cero, y por lo tanto no se encuentra en X .
La finalización de X es el espaciode todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) del ℓ p espacio ℓ ∞ ( N ), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, el mapa T no está sobre y, por lo tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con tener en cuenta que la secuencia
es un elemento de , pero no está en el rango de .
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Teorema del gráfico cerrado
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 469.
Bibliografía
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 356 . ISBN 0-387-00444-0. (Sección 8.2)
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .