Espacio vectorial topológico completo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (TVS) con la propiedad de que cada vez que los puntos se acercan progresivamente entre sí, existe algún punto hacia el cual todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se hace rigurosa mediante redes de Cauchy o filtros de Cauchy , que son generalizaciones de secuencias de Cauchy , mientras que "punto hacia el que se acercan todos" significa que esta red o filtro converge a A diferencia de la noción de integridad para espacios métricos ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x.}$ , que generaliza, la noción de integridad para TVS no depende de ninguna métrica y se define para todos los TVS, incluidos aquellos que no son metrizables o Hausdorff .

La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para espacios normativos y TVS metrizables , que se definen comúnmente en términos de completitud de una norma o métrica en particular, pueden reducirse a esta noción de completitud de TVS; una noción que es independiente de cualquier norma o métrica en particular. Un espacio vectorial topológico metrizable con una invariante traducción métrica ^{[nota 1]} es completa como TVS si y sólo si es un espacio métrico completo , que por medio de definición que cada - Cauchy secuencia converge a algún punto en ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle (X, d)}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle X.}$ Ejemplos destacados de TVS completos que también son metrizables incluyen todos los espacios F y, en consecuencia, también todos los espacios Fréchet , espacios Banach y espacios Hilbert . Ejemplos destacados de TVS completos que (típicamente) no son metrizables incluyen espacios LF estrictos y muchos espacios nucleares como el espacio de Schwartz de funciones suaves que disminuyen rápidamente y también los espacios de distribuciones y funciones de prueba.

Explícitamente, un espacio vectorial topológico (TVS) está completo si cada red , o equivalentemente, cada filtro , que es Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio, necesariamente converge en algún punto. Dicho de otra manera, un TVS está completo si su uniformidad canónica es una uniformidad completa . La uniformidad canónica en un TVS es la uniformidad invariante de traducción única ^{[nota 2]} que induce en la topología. Esta noción de "completitud TVS" depende sólo ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ tau.}$ sobre la sustracción de vectores y la topología de los TVS; en consecuencia, se puede aplicar a todos los TVS, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos métricos o pseudométricos . Un primer TVS contable está completo si y solo si cada secuencia de Cauchy (o de manera equivalente, cada filtro elemental de Cauchy) converge en algún punto.