En matemáticas , particularmente en el análisis funcional , un espacio reticulado es un espacio vectorial topológico diseñado con el objetivo de permitir que los resultados del teorema de mapeo abierto y el teorema de grafo cerrado se mantengan para una clase más amplia de mapas lineales cuyos codominios son espacios reticulados. Un espacio se llama red si existe una colección de conjuntos , llamada red que satisface ciertas propiedades. Las redes fueron investigadas por primera vez por de Wilde.
Web
Sea X un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff . Una web es una colección estratificada de discos que satisface los siguientes requisitos de absorbencia y convergencia. El primer estrato debe consistir en una secuencia de discos en X , denotado por tal que . Para cada discoen el primer estrato, debe existir una secuencia de discos en X , denotada por tal que
- para cada
y absorbe Esta secuencia de secuencias formará el segundo estrato. A cada disco del segundo estrato se le puede asignar otra secuencia de discos con propiedades definidas de forma análoga. Este proceso es continuo para innumerables estratos.
Una hebra es una secuencia de discos, con el primer disco seleccionado del primer estrato, digamos, y el segundo se selecciona de la secuencia que se asoció con , y así. También requerimos que si una secuencia de vectores se selecciona de una hebra (con perteneciente al primer disco de la hebra, perteneciente al segundo, y así sucesivamente) luego la serie converge.
Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en el que se puede definir una red se denomina espacio reticulado .
Ejemplos y condiciones suficientes
Teorema [1] (de Wilde 1978) - Un espacio vectorial topológico X es un espacio de Fréchet si y solo si es tanto un espacio entremezclado como un espacio de Baire .
Todos los siguientes espacios están reticulados:
- Espacios fréchet .
- Límites proyectivos y límites inductivos de secuencias de espacios palmeados.
- Un subespacio vectorial secuencialmente cerrado de un espacio palmeado. [2]
- Productos contables de espacios palmeados. [2]
- Un cociente de Hausdorff de un espacio palmeado. [2]
- La imagen de un espacio palmeado bajo un mapa lineal secuencialmente continuo si esa imagen es Hausdorff. [2]
- La bornologificación de un espacio palmeado.
- El espacio dual continuo de un espacio convexo localmente metrizable con la topología fuerte está palmeado.
- Si X es el límite inductivo estricto de una familia numerable de espacios metrizables localmente convexos, entonces el espacio dual continuo de X con la topología fuerte está palmeado.
- Entonces, en particular, los duales fuertes de los espacios metrizables localmente convexos están reticulados. [3]
- Si X es un espacio reticulado, entonces cualquier topología convexa local de Hausdorff que sea más débil que esta topología reticular también está reticulada. [2]
Teoremas
Teorema de gráfico cerrado [4] - Sea A : X → Y un mapa lineal entre TVS que se cierra secuencialmente (es decir, su gráfico se cierra secuencialmente en X × Y ). Si Y es un espacio palmeado y X es un espacio ultrabornológico (por ejemplo, un espacio de Fréchet o un límite inductivo de los espacios de Fréchet), entonces A es continuo.
Teorema del gráfico cerrado : cualquier mapa lineal cerrado desde el límite inductivo de los espacios localmente convexos de Baire a un espacio localmente convexo con rejilla es continuo.
Teorema de mapeo abierto : cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo desde un espacio reticular localmente convexo hasta un límite inductivo de espacios localmente convexos de Baire está abierto.
Teorema de mapeo abierto [4] - Cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo desde un espacio localmente convexo con telarañas a un espacio ultrabornológico está abierto.
Teorema de mapeo abierto [4] - Si la imagen de un operador lineal cerrado A : X → Y desde el espacio reticular localmente convexo X al espacio localmente convexo Y de Hausdorff no es exigua en Y entonces A : X → Y es un mapa abierto sobreyectivo.
Si los espacios no son localmente convexos, entonces existe una noción de red donde el requisito de ser un disco se reemplaza por el requisito de estar equilibrado . Para tal noción de web tenemos los siguientes resultados:
Teorema de gráfico cerrado : cualquier mapa lineal cerrado desde el límite inductivo de los espacios vectoriales topológicos de Baire a un espacio vectorial topológico reticulado es continuo.
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Espacio en barril : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Operador lineal cerrado
- Mapa lineal discontinuo
- Espacio F: espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
- Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
- Teorema de punto fijo de Kakutani : activado cuando una función f: S → Pow (S) en un subconjunto convexo compacto no vacío S⊂ℝⁿ tiene un punto fijo
- Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Teorema de Ursescu : teorema que generaliza simultáneamente el gráfico cerrado, el mapeo abierto y los teoremas de Banach-Steinhaus.
Citas
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 472.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , p. 481.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 459-483.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 474-476.
Referencias
- De Wilde, Marc (1978). Teoremas de grafos cerrados y espacios palmeados . Londres: Pitman.
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Kriegl, Andreas ; Michor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y Monografías Matemáticas. 53 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279 .
- Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global . Encuestas y Monografías Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 557–578. ISBN 9780821807804.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .